Cum se construiește o matrice inversă. Matrix slough solution: Un exemplu de soluție folosind o matrice inversă. Metoda matricei inverse

O matrice inversă pentru una dată este o astfel de matrice, multiplicarea celei inițiale prin care dă o matrice de identitate: O condiție obligatorie și suficientă pentru prezența unei matrice inverse este inegalitatea determinantului celei originale (care la rândul său implică că matricea trebuie să fie pătrată). Dacă determinantul unei matrice este egal cu zero, atunci se numește degenerat și o astfel de matrice nu are inversă. În matematica superioară, matricele inverse sunt importante și sunt folosite pentru a rezolva o serie de probleme. De exemplu, pe aflarea matricei inverse se construieşte o metodă matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii. Site-ul nostru de servicii permite calcula inversul matricei online două metode: metoda Gauss-Iordan și folosind matricea adunărilor algebrice. Prima implică un număr mare de transformări elementare în cadrul matricei, a doua - calculul determinantului și adunărilor algebrice la toate elementele. Pentru a calcula determinantul unei matrice online, puteți utiliza celălalt serviciu al nostru - Calcularea determinantului unei matrice online

.

Găsiți matricea inversă pe site

site-ul web vă permite să găsiți matrice inversă online rapid și gratuit. Pe site se fac calcule de către serviciul nostru și se afișează un rezultat cu o soluție detaliată de găsire matrice inversă. Serverul oferă întotdeauna doar răspunsul exact și corect. În sarcini prin definiție matrice inversă online, este necesar ca determinantul matrici era diferit de zero, altfel site-ul web va raporta imposibilitatea de a găsi matricea inversă datorită faptului că determinantul matricei originale este egal cu zero. Găsirea sarcinii matrice inversăîntâlnit în multe ramuri ale matematicii, fiind unul dintre cele mai de bază concepte ale algebrei și un instrument matematic în problemele aplicate. Independent definirea matricei inverse necesită efort considerabil, mult timp, calcule și mare grijă pentru a nu face o derapaj sau o mică eroare în calcule. Prin urmare, serviciul nostru găsirea matricei inverse online vă va facilita foarte mult sarcina și va deveni un instrument indispensabil pentru rezolvarea problemelor matematice. Chiar daca tu găsiți matricea inversă dvs., vă recomandăm să vă verificați soluția pe serverul nostru. Introduceți matricea dumneavoastră originală în Calculate Inverse Matrix Online și verificați răspunsul. Sistemul nostru nu greșește niciodată și găsește matrice inversă dimensiune dată în mod pe net imediat! Pe site site-ul web intrările de caractere sunt permise în elemente matrici, în acest caz matrice inversă online vor fi prezentate sub formă simbolică generală.

Acest subiect este unul dintre cele mai urâte printre studenți. Mai rău, probabil, doar factori determinanți.

Trucul este că însuși conceptul de element invers (și nu vorbesc acum doar despre matrice) ne trimite la operația de înmulțire. Chiar și în programa școlară, înmulțirea este considerată o operație complexă, iar înmulțirea matriceală este în general o temă separată, căreia am un paragraf întreg și o lecție video dedicată acesteia.

Astăzi nu vom intra în detaliile calculelor matriceale. Nu uitați: cum sunt notate matricele, cum sunt înmulțite și ce rezultă din aceasta.

Recenzie: Înmulțirea matricelor

În primul rând, să cădem de acord asupra notării. O matrice $A$ de dimensiunea $\left[ m\times n \right]$ este pur și simplu un tabel de numere cu exact $m$ rânduri și $n$ coloane:

\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrice) \right])_(n)\]

Pentru a nu confunda accidental rândurile și coloanele pe alocuri (credeți-mă, la examen puteți confunda unul cu doi - ce putem spune despre unele rânduri de acolo), aruncați o privire la imagine:

Determinarea indicilor pentru celulele matriceale

Ce se întâmplă? Dacă plasăm sistemul de coordonate standard $OXY$ în colțul din stânga sus și direcționăm axele astfel încât să acopere întreaga matrice, atunci fiecare celulă a acestei matrice poate fi asociată în mod unic cu coordonatele $\left(x;y \right) $ - acesta va fi numărul rândului și numărul coloanei.

De ce sistemul de coordonate este plasat exact în colțul din stânga sus? Da, pentru că de acolo începem să citim orice texte. Este foarte ușor de reținut.

De ce axa $x$ este îndreptată în jos și nu spre dreapta? Din nou, este simplu: luați sistemul de coordonate standard (axa $x$ merge la dreapta, axa $y$ merge în sus) și rotiți-l astfel încât să încapă matricea. Aceasta este o rotație de 90 de grade în sensul acelor de ceasornic - rezultatul îl vedem în imagine.

În general, ne-am dat seama cum să determinăm indicii elementelor matricei. Acum să ne ocupăm de înmulțire.

Definiție. Matricele $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$, când numărul de coloane din prima se potrivește cu numărul de rânduri din a doua, sunt numite consistente.

Este în ordinea aceea. Se poate fi ambiguu și se poate spune că matricele $A$ și $B$ formează o pereche ordonată $\left(A;B \right)$: dacă sunt consistente în această ordine, atunci nu este deloc necesar ca $B $ și $A$, acelea. perechea $\left(B;A \right)$ este de asemenea consistentă.

Numai matricele consistente pot fi multiplicate.

Definiție. Produsul matricelor consistente $A=\left[ m\times n \right]$ și $B=\left[ n\times k \right]$ este noua matrice $C=\left[ m\times k \right ]$ , ale căror elemente $((c)_(ij))$ se calculează prin formula:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Cu alte cuvinte: pentru a obține elementul $((c)_(ij))$ al matricei $C=A\cdot B$, trebuie să luați $i$-rândul primei matrice, $j$ -a coloană a celei de-a doua matrice, apoi înmulțiți în perechi elementele din acest rând și coloană. Adunați rezultatele.

Da, este o definiție dură. Din aceasta decurg imediat mai multe fapte:

1. Înmulțirea prin matrice este, în general, necomutativă: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Totuși, înmulțirea este asociativă: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. Și chiar distributiv: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Și din nou distributiv: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distributivitatea înmulțirii a trebuit să fie descrisă separat pentru suma multiplicatorului din stânga și din dreapta doar din cauza necomutativității operației de înmulțire.

Dacă, totuși, se dovedește că $A\cdot B=B\cdot A$, astfel de matrici se numesc permutabile.

Printre toate matricele care sunt înmulțite cu ceva acolo, există unele speciale - cele care, atunci când sunt înmulțite cu orice matrice $A$, dau din nou $A$:

Definiție. O matrice $E$ se numește identitate dacă $A\cdot E=A$ sau $E\cdot A=A$. În cazul unei matrice pătrate $A$ putem scrie:

Matricea de identitate este un invitat frecvent în rezolvarea ecuațiilor matriceale. Și, în general, un invitat frecvent în lumea matricelor. :)

Și din cauza acestui $E$, cineva a venit cu tot jocul care va fi scris în continuare.

Ce este o matrice inversă

Deoarece înmulțirea matricei este o operație care necesită foarte mult timp (trebuie să înmulțiți o grămadă de rânduri și coloane), conceptul de matrice inversă nu este, de asemenea, cel mai banal. Și are nevoie de niște explicații.

Definiție cheie

Ei bine, este timpul să cunoaștem adevărul.

Definiție. Matricea $B$ se numește inversul matricei $A$ dacă

Matricea inversă este notată cu $((A)^(-1))$ (a nu se confunda cu gradul!), deci definiția poate fi rescrisă astfel:

S-ar părea că totul este extrem de simplu și clar. Dar atunci când se analizează o astfel de definiție, apar imediat câteva întrebări:

1. Există întotdeauna o matrice inversă? Și dacă nu întotdeauna, atunci cum să determinați: când există și când nu există?
2. Și cine a spus că o astfel de matrice este exact una? Ce se întâmplă dacă pentru o matrice originală $A$ există o mulțime întreagă de inverse?
3. Cum arată toate aceste „reversuri”? Și cum le numeri de fapt?

În ceea ce privește algoritmii de calcul - vom vorbi despre asta puțin mai târziu. Dar la restul întrebărilor vom răspunde chiar acum. Să le aranjam sub forma unor aserțiuni-leme separate.

Proprietăți de bază

Să începem cu cum ar trebui să arate matricea $A$ pentru ca aceasta să aibă $((A)^(-1))$. Acum ne vom asigura că ambele matrice trebuie să fie pătrate și de aceeași dimensiune: $\left[ n\times n \right]$.

Lema 1. Având în vedere o matrice $A$ și inversul ei $((A)^(-1))$. Atunci ambele matrice sunt pătrate și au aceeași ordine $n$.

Dovada. Totul este simplu. Fie matricea $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Deoarece produsul $A\cdot ((A)^(-1))=E$ există prin definiție, matricele $A$ și $((A)^(-1))$ sunt consistente în această ordine:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( alinia)\]

Aceasta este o consecință directă a algoritmului de multiplicare a matricei: coeficienții $n$ și $a$ sunt „tranzit” și trebuie să fie egali.

În același timp, se definește și înmulțirea inversă: $((A)^(-1))\cdot A=E$, deci matricele $((A)^(-1))$ și $A$ sunt de asemenea, consecvent în această ordine:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( alinia)\]

Astfel, fără pierderea generalității, putem presupune că $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Cu toate acestea, conform definiției lui $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, deci dimensiunile matricelor sunt exact aceleași:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

Deci, se dovedește că toate cele trei matrice - $A$, $((A)^(-1))$ și $E$ - au dimensiunea $\left[ n\times n \right]$. Lema este dovedită.

Ei bine, asta e deja bine. Vedem că numai matricele pătrate sunt inversabile. Acum să ne asigurăm că matricea inversă este întotdeauna aceeași.

Lema 2. Având în vedere o matrice $A$ și inversul ei $((A)^(-1))$. Atunci această matrice inversă este unică.

Dovada. Să începem de la opus: să fie matricea $A$ să aibă cel puțin două instanțe de inversă — $B$ și $C$. Atunci, conform definiției, următoarele egalități sunt adevărate:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(align)\]

Din lema 1 concluzionăm că toate cele patru matrice $A$, $B$, $C$ și $E$ sunt pătrate de aceeași ordine: $\left[ n\times n \right]$. Prin urmare, produsul este definit:

Deoarece înmulțirea matriceală este asociativă (dar nu comutativă!), putem scrie:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(align)\]

Avem singura opțiune posibilă: două copii ale matricei inverse sunt egale. Lema este dovedită.

Raționamentul de mai sus repetă aproape textual demonstrația unicității elementului invers pentru toate numerele reale $b\ne 0$. Singura adăugare semnificativă este luarea în considerare a dimensiunii matricelor.

Cu toate acestea, încă nu știm nimic despre dacă vreo matrice pătrată este inversabilă. Aici determinantul ne vine în ajutor - aceasta este o caracteristică cheie pentru toate matricele pătrate.

Lema 3. Dată o matrice $A$. Dacă matricea $((A)^(-1))$ inversă cu aceasta există, atunci determinantul matricei originale este diferit de zero:

\[\stanga| A \dreapta|\ne 0\]

Dovada. Știm deja că $A$ și $((A)^(-1))$ sunt matrici pătrate de dimensiune $\left[ n\times n \right]$. Prin urmare, pentru fiecare dintre ele este posibil să se calculeze determinantul: $\left| A \right|$ și $\left| ((A)^(-1)) \dreapta|$. Totuși, determinantul produsului este egal cu produsul determinanților:

\[\stanga| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \dreapta|\]

Dar conform definiției lui $A\cdot ((A)^(-1))=E$, iar determinantul lui $E$ este întotdeauna egal cu 1, deci

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\dreapta|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(align)\]

Produsul a două numere este egal cu unul numai dacă fiecare dintre aceste numere este diferit de zero:

\[\stanga| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \dreapta|\ne 0.\]

Deci, se dovedește că $\left| A \dreapta|\ne 0$. Lema este dovedită.

De fapt, această cerință este destul de logică. Acum vom analiza algoritmul de găsire a matricei inverse - și va deveni complet clar de ce, în principiu, nu poate exista nicio matrice inversă cu un determinant zero.

Dar mai întâi, să formulăm o definiție „auxiliară”:

Definiție. O matrice degenerată este o matrice pătrată de dimensiunea $\left[ n\times n \right]$ al cărei determinant este zero.

Astfel, putem afirma că orice matrice inversabilă este nedegenerată.

Cum se află matricea inversă

Acum vom lua în considerare un algoritm universal pentru găsirea matricilor inverse. În general, există doi algoritmi general acceptați și îl vom lua în considerare și pe al doilea astăzi.

Cea care va fi luată în considerare acum este foarte eficientă pentru matrice de dimensiune $\left[ 2\times 2 \right]$ și - parțial - de dimensiune $\left[ 3\times 3 \right]$. Dar pornind de la dimensiunea $\left[ 4\times 4 \right]$ este mai bine să nu-l folosești. De ce - acum vei înțelege totul.

Adunări algebrice

Pregateste-te. Acum va fi durere. Nu, nu-ți face griji: o asistentă frumoasă în fustă, ciorapi cu dantelă nu vin la tine și nu-ți vor face o injecție în fese. Totul este mult mai prozaic: adăugările algebrice și Majestatea Sa „Matricea Unirii” vin la tine.

Să începem cu cea principală. Să fie o matrice pătrată de mărimea $A=\left[ n\times n \right]$ ale cărei elemente sunt numite $((a)_(ij))$. Apoi, pentru fiecare astfel de element, se poate defini un complement algebric:

Definiție. Complement algebric $((A)_(ij))$ la elementul $((a)_(ij))$ din $i$-lea rând și $j$-a coloană a matricei $A=\left [ n \times n \right]$ este o construcție a formei

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Unde $M_(ij)^(*)$ este determinantul matricei obținute din $A$ inițial prin ștergerea aceluiași $i$-lea rând și $j$-a coloană.

Din nou. Complementul algebric al elementului de matrice cu coordonatele $\left(i;j \right)$ se notează $((A)_(ij))$ și se calculează conform schemei:

1. În primul rând, ștergem $i$-rândul și $j$-a coloană din matricea originală. Obținem o nouă matrice pătrată și notăm determinantul ei ca $M_(ij)^(*)$.
2. Apoi înmulțim acest determinant cu $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - la început această expresie poate părea uimitoare, dar de fapt doar aflăm semnul din fața lui $ M_(ij)^(*) $.
3. Numărăm - obținem un anumit număr. Acestea. adunarea algebrică este doar un număr, nu o matrice nouă și așa mai departe.

Matricea $M_(ij)^(*)$ însăși este numită minoră complementară elementului $((a)_(ij))$. Și în acest sens, definiția de mai sus a unui complement algebric este un caz special al unei definiții mai complexe – cea pe care am considerat-o în lecția despre determinant.

Notă importantă. De fapt, în matematica „adulților”, adunările algebrice sunt definite după cum urmează:

1. Luăm $k$ rânduri și $k$ coloane într-o matrice pătrată. La intersecția lor, obținem o matrice de dimensiunea $\left[ k\times k \right]$ — determinantul său se numește minor de ordin $k$ și este notat cu $((M)_(k))$.
2. Apoi tăiem aceste $k$ rânduri și $k$ coloane „selectate”. Din nou, obținem o matrice pătrată - determinantul ei se numește minor complementar și este notat cu $M_(k)^(*)$.
3. Înmulțiți $M_(k)^(*)$ cu $((\left(-1 \right))^(t))$, unde $t$ este (atenție acum!) suma numerelor tuturor rândurilor selectate si coloane. Aceasta va fi adunarea algebrică.

Aruncă o privire la al treilea pas: există de fapt o sumă de termeni de 2k$! Alt lucru este că pentru $k=1$ obținem doar 2 termeni - aceștia vor fi aceiași $i+j$ - "coordonatele" elementului $((a)_(ij))$, pentru care suntem căutând un complement algebric.

Deci astăzi folosim o definiție ușor simplificată. Dar după cum vom vedea mai târziu, va fi mai mult decât suficient. Mult mai important este următorul:

Definiție. Matricea de unire $S$ cu matricea pătrată $A=\left[ n\times n \right]$ este o nouă matrice de dimensiune $\left[ n\times n \right]$, care se obține din $A$ prin înlocuirea $(( a)_(ij))$ cu complemente algebrice $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrice) \right]\]

Primul gând care apare în momentul realizării acestei definiții este „asta trebuie să numeri în total!” Relaxează-te: trebuie să numeri, dar nu atât. :)

Ei bine, toate acestea sunt foarte frumoase, dar de ce este necesar? Dar de ce.

Teorema principală

Să ne întoarcem puțin înapoi. Amintiți-vă, lema 3 a afirmat că o matrice inversabilă $A$ este întotdeauna nesingulară (adică determinantul său este diferit de zero: $\left| A \right|\ne 0$).

Deci, este și inversul: dacă matricea $A$ nu este degenerată, atunci este întotdeauna inversabilă. Și există chiar și o schemă de căutare $((A)^(-1))$. Verifică:

Teorema matricei inverse. Fie dată o matrice pătrată $A=\left[ n\times n \right]$, iar determinantul ei este diferit de zero: $\left| A \dreapta|\ne 0$. Atunci matricea inversă $((A)^(-1))$ există și se calculează prin formula:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

Și acum - la fel, dar cu un scris de mână lizibil. Pentru a găsi matricea inversă, aveți nevoie de:

1. Calculați determinantul $\left| A \right|$ și asigurați-vă că este diferit de zero.
2. Compilați matricea de unire $S$, i.e. numărați 100500 de adunări algebrice $((A)_(ij))$ și puneți-le în loc $((a)_(ij))$.
3. Transpuneți această matrice $S$ și apoi înmulțiți-o cu un număr $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

Si asta e! Se găsește matricea inversă $((A)^(-1))$. Să ne uităm la exemple:

\[\left[ \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right]\]

Soluţie. Să verificăm reversibilitatea. Să calculăm determinantul:

\[\stanga| A \right|=\stânga| \begin(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrix) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinantul este diferit de zero. Deci matricea este inversabilă. Să creăm o matrice de unire:

Să calculăm adunările algebrice:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\right|=3. \\ \end(align)\]

Atenție: determinanți |2|, |5|, |1| și |3| sunt determinanții matricilor de dimensiune $\left[ 1\times 1 \right]$, nu module. Acestea. dacă au existat numere negative în determinanți, nu este necesar să se elimine „minus”.

În total, matricea noastră de uniuni arată astfel:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(array) \right])^(T))=\left[ \begin (matrice)(*(35)(r)) 2 și -1 \\ -5 și 3 \\\end(matrice) \right]\]

OK, totul sa terminat acum. Problema rezolvata.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(array) \right]$

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

Soluţie. Din nou, luăm în considerare determinantul:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrix)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinantul este diferit de zero - matricea este inversabilă. Dar acum va fi cel mai mic: trebuie să numeri până la 9 (nouă, la naiba!) adunări algebrice. Și fiecare dintre ele va conține calificativul $\left[ 2\times 2 \right]$. A zburat:

\[\begin(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrix) \right|=2; \\ \end(matrice)\]

Pe scurt, matricea de unire va arăta astfel:

Prin urmare, matricea inversă va fi:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrix) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\end(matrice) \right]\]

Ei bine, asta-i tot. Iată răspunsul.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(array) \right ]$

După cum puteți vedea, la sfârșitul fiecărui exemplu, am efectuat o verificare. În acest sens, o notă importantă:

Nu fi lene să verifici. Înmulțiți matricea originală cu inversul găsit - ar trebui să obțineți $E$.

Este mult mai ușor și mai rapid să efectuați această verificare decât să căutați o eroare în calculele ulterioare, atunci când, de exemplu, rezolvați o ecuație matriceală.

Mod alternativ

După cum am spus, teorema matricei inverse funcționează bine pentru dimensiunile $\left[ 2\times 2 \right]$ și $\left[ 3\times 3 \right]$ (în acest din urmă caz, nu este atât de „frumoasă” mai).”), dar pentru matrice mari, începe tristețea.

Dar nu vă faceți griji: există un algoritm alternativ care poate fi folosit pentru a găsi calm inversul chiar și pentru matricea $\left[ 10\times 10 \right]$. Dar, așa cum se întâmplă adesea, pentru a lua în considerare acest algoritm, avem nevoie de puțin fundal teoretic.

Transformări elementare

Printre diferitele transformări ale matricei, există câteva speciale - ele sunt numite elementare. Există exact trei astfel de transformări:

1. Multiplicare. Puteți lua $i$-al-lea rând (coloană) și îl puteți înmulți cu orice număr $k\ne 0$;
2. Plus. Adaugă la $i$--lea rând (coloană) orice alt $j$--lea rând (coloană) înmulțit cu orice număr $k\ne 0$ (desigur, $k=0$ este, de asemenea, posibil, dar care este rostul de asta? ?Nimic nu se va schimba însă).
3. Permutare. Luați rândurile (coloanele) $i$-th și $j$-th și schimbați-le.

De ce aceste transformări sunt numite elementare (pentru matrice mari nu arată atât de elementar) și de ce sunt doar trei dintre ele - aceste întrebări depășesc scopul lecției de astăzi. Prin urmare, nu vom intra în detalii.

Un alt lucru este important: trebuie să realizăm toate aceste perversiuni pe matricea asociată. Da, da, ai auzit bine. Acum va mai exista o definiție - ultima din lecția de astăzi.

Matrice atașată

Cu siguranță la școală ai rezolvat sisteme de ecuații folosind metoda adunării. Ei bine, scădeți altul dintr-o linie, înmulțiți o linie cu un număr - asta-i tot.

Deci: acum totul va fi la fel, dar deja „în mod adult”. Gata?

Definiție. Fie date matricea $A=\left[ n\times n \right]$ și matricea de identitate $E$ de aceeași dimensiune $n$. Apoi matricea asociată $\left[ A\left| E\ dreapta. \right]$ este o nouă matrice $\left[ n\time 2n \right]$ care arată astfel:

\[\left[ A\left| E\ dreapta. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(matrice) \right]\]

Pe scurt, luăm matricea $A$, în dreapta îi atribuim matricea de identitate $E$ de mărimea cerută, le separăm cu o bară verticală pentru frumusețe - iată-o pe cea atașată. :)

Care e siretlicul? Și iată ce:

Teorema. Fie matricea $A$ să fie inversabilă. Se consideră matricea adjunctă $\left[ A\left| E\ dreapta. \dreapta]$. Dacă se utilizează transformări elementare de șiruri aduceți-l la forma $\left[ E\left| Luminos. \right]$, adică prin înmulțirea, scăderea și rearanjarea rândurilor pentru a obține din $A$ matricea $E$ din dreapta, apoi matricea $B$ obținută în stânga este inversul lui $A$:

\[\left[ A\left| E\ dreapta. \right]\la \left[ E\left| Luminos. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

Este atat de simplu! Pe scurt, algoritmul pentru găsirea matricei inverse arată astfel:

1. Scrieți matricea asociată $\left[ A\left| E\ dreapta. \dreapta]$;
2. Efectuați conversii elementare de șir până când în dreapta în loc de $A$ apare $E$;
3. Desigur, ceva va apărea și în stânga - o anumită matrice $B$. Acesta va fi invers;
4. PROFIT! :)

Desigur, mult mai ușor de spus decât de făcut. Deci, să ne uităm la câteva exemple: pentru dimensiunile $\left[ 3\times 3 \right]$ și $\left[ 4\times 4 \right]$.

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

Soluţie. Compunem matricea atașată:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 și 1 \\\end(matrice) \right]\]

Deoarece ultima coloană a matricei originale este umplută cu unele, scădeți primul rând din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrice)\to \\ & \to \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Nu mai există unități, cu excepția primei linii. Dar nu o atingem, altfel unitățile proaspăt eliminate vor începe să se „înmulțească” în a treia coloană.

Dar putem scădea a doua linie de două ori din ultima - obținem o unitate în colțul din stânga jos:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrice)\to \\ & \left [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Acum putem scădea ultimul rând din primul și de două ori din al doilea - în acest fel vom „reduce la zero” prima coloană:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right]\begin(matrix) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrice)\to \\ & \ la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Înmulțiți al doilea rând cu −1 și apoi scădeți-l de 6 ori din primul și adăugați 1 dată la ultimul:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\end(matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Rămâne doar să schimbați liniile 1 și 3:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\end(matrice) \right]\]

Gata! În dreapta este matricea inversă necesară.

Răspuns. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$

Sarcină. Aflați matricea inversă:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end(matrice) \dreapta]\]

Soluţie. Din nou îl compunem pe cel atașat:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right]\]

Să împrumutăm puțin, să ne îngrijorăm cât de mult trebuie să numărăm acum... și să începem să numărăm. Pentru început, „reducem la zero” prima coloană scăzând rândul 1 din rândurile 2 și 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(array) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Observăm prea multe „minusuri” în rândurile 2-4. Înmulțiți toate cele trei rânduri cu -1 și apoi ardeți a treia coloană scăzând rândul 3 din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(matrice) \right]\begin(matrix) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(matrice)\la \\ & \la \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (matrice) \right]\begin(matrix) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Acum este timpul să „prăjim” ultima coloană a matricei originale: scădeți rândul 4 din rest:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(matrice) \right] \\ \end(align)\]

Rola finală: „arzi” a doua coloană scăzând rândul 2 din rândul 1 și 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( matrice) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end(matrice)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

Și din nou, matricea de identitate din stânga, deci inversul din dreapta. :)

Răspuns. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrice) \right]$

OK, totul sa terminat acum. Verificați singuri - sunt casat. :)

Similar cu inversele în multe proprietăți.

YouTube enciclopedic

1 / 5

✪ Matrice inversă (2 moduri de a găsi)

✪ Cum să găsiți matricea inversă - bezbotvy

✪ Matrice inversă #1

✪ Rezolvarea unui sistem de ecuații folosind metoda matricei inverse - bezbotvy

✪ Matrice inversă

Subtitrări

Proprietățile matricei inverse

• det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Unde det (\displaystyle \ \det ) denotă un determinant.
• (A B) - 1 = B - 1 A - 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) pentru două matrici inversabile pătrate A (\displaystyle A)Și B (\displaystyle B).
• (A T) - 1 = (A - 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Unde (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) denotă matricea transpusă.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) pentru orice coeficient k ≠ 0 (\displaystyle k\nu =0).
• E - 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Dacă este necesar să se rezolve un sistem de ecuații liniare, (b este un vector diferit de zero) unde x (\displaystyle x) este vectorul dorit, iar dacă A - 1 (\displaystyle A^(-1)) există, atunci x = A - 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). În caz contrar, fie dimensiunea spațiului soluției este mai mare decât zero, fie nu există deloc.

Modalități de a găsi matricea inversă

Dacă matricea este inversabilă, atunci pentru a găsi inversul matricei, puteți utiliza una dintre următoarele metode:

Metode exacte (directe).

metoda Gauss-Jordan

Să luăm două matrice: el însuși A si singura E. Să aducem matricea A la matricea de identitate prin metoda Gauss-Jordan aplicând transformări în rânduri (puteți aplica și transformări în coloane, dar nu într-un mix). După aplicarea fiecărei operații la prima matrice, aplicați aceeași operație la a doua. Când se finalizează reducerea primei matrice la forma de identitate, a doua matrice va fi egală cu A -1.

Când se folosește metoda Gauss, prima matrice va fi înmulțită de la stânga cu una dintre matricele elementare Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvecție sau diagonal matrice cu cele pe diagonala principală, cu excepția unei poziții):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A - 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

A doua matrice după aplicarea tuturor operațiilor va fi egală cu Λ (\displaystyle \Lambda ), adică va fi cea dorită. Complexitatea algoritmului - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Folosind matricea adunărilor algebrice

Matrice Matrice inversă A (\displaystyle A), reprezintă sub formă

A - 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Unde adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matrice  atașată ;

Complexitatea algoritmului depinde de complexitatea algoritmului de calcul al determinantului O det și este egală cu O(n²) O det .

Folosind descompunerea LU/LUP

Ecuația matriceală A X = eu n (\displaystyle AX=I_(n)) pentru matrice inversă X (\displaystyle X) poate fi privit ca o colecție n (\displaystyle n) sisteme de formă A x = b (\displaystyle Ax=b). Denota i (\displaystyle i)-a coloană a matricei X (\displaystyle X) prin X i (\displaystyle X_(i)); Apoi A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),deoarece i (\displaystyle i)-a coloană a matricei eu n (\displaystyle I_(n)) este vectorul unitar e i (\displaystyle e_(i)). cu alte cuvinte, găsirea matricei inverse se reduce la rezolvarea n ecuații cu aceeași matrice și părți din dreapta diferite. După rularea expansiunii LUP (timp O(n³)), fiecare dintre ecuațiile n are nevoie de timp O(n²) pentru a se rezolva, astfel încât această parte a lucrării necesită și timp O(n³).

Dacă matricea A este nesingulară, atunci putem calcula descompunerea LUP pentru ea PA = L U (\displaystyle PA=LU). Lăsa PA = B (\displaystyle PA=B), B - 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Apoi, din proprietățile matricei inverse, putem scrie: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Dacă înmulțim această egalitate cu U și L, atunci putem obține două egalități de formă U D = L - 1 (\displaystyle UD=L^(-1))Și D L = U - 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Prima dintre aceste egalități este un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) dintre care se cunosc laturile din dreapta (din proprietăţile matricelor triunghiulare). Al doilea este, de asemenea, un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n - 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) dintre care se cunosc laturile din dreapta (tot din proprietatile matricelor triunghiulare). Împreună formează un sistem de n² egalități. Folosind aceste egalități, putem determina recursiv toate n² elemente ale matricei D. Apoi din egalitatea (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. obținem egalitatea A - 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

În cazul utilizării descompunerii LU, nu este necesară nicio permutare a coloanelor matricei D, dar soluția poate diverge chiar dacă matricea A este nesingulară.

Complexitatea algoritmului este O(n³).

Metode iterative

Metodele Schultz

( Ψ k = E - A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k)),\\U_() k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Estimarea erorii

Alegerea aproximării inițiale

Problema alegerii aproximării inițiale în procesele de inversare iterativă a matricei luate în considerare aici nu ne permite să le tratăm ca metode universale independente care concurează cu metodele de inversare directă bazate, de exemplu, pe descompunerea LU a matricelor. Există câteva recomandări pentru alegere U 0 (\displaystyle U_(0)), asigurând îndeplinirea condiţiei ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (raza spectrală a matricei este mai mică decât unitatea), ceea ce este necesar și suficient pentru convergența procesului. Totuși, în acest caz, în primul rând, este necesar să se cunoască de mai sus estimarea pentru spectrul matricei inversabile A sau a matricei A A T (\displaystyle AA^(T))(și anume, dacă A este o matrice definită pozitivă simetrică și ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta), atunci poți lua U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Unde ; dacă A este o matrice nesingulară arbitrară și ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta), atunci să presupunem U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), unde de asemenea α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Desigur, situația poate fi simplificată și, folosind faptul că ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), a pune U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). În al doilea rând, cu o astfel de specificare a matricei inițiale, nu există nicio garanție că ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) va fi mic (poate chiar ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), iar o rată de convergență de ordin ridicat nu va fi imediat evidentă.

Exemple

Matrice 2x2

Nu se poate analiza expresia (eroare de sintaxă): (\displaystyle \mathbf(A)^(-1) = \begin(bmatrix) a & b \\ c & d \\ \end(bmatrix)^(-1) = \ frac (1)(\det(\mathbf(A))) \begin& \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end(bmatrix) = \frac(1)(ad - bc) \ începe (bmatrix) \,\,\,d & \!\!-b\\ -c & \,a \\ \end(bmatrix).)

Inversarea unei matrice 2x2 este posibilă numai cu condiția ca a d - b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Pentru matrice inversă există o analogie potrivită cu reciproca unui număr. Pentru fiecare număr A, care nu este egal cu zero, există un număr b că munca AȘi b egal cu unu: ab= 1 . Număr b se numește reciproca unui număr b. De exemplu, pentru numărul 7, inversul este numărul 1/7, deoarece 7*1/7=1.

matrice inversă , care trebuie găsit pentru o matrice pătrată dată A, se numește o astfel de matrice

produsul prin care matricele Aîn dreapta este matricea de identitate, adică
. (1)

O matrice de identitate este o matrice diagonală în care toate intrările diagonale sunt egale cu una.

Aflarea matricei inverse- o problemă care se rezolvă cel mai adesea prin două metode:

• metoda adunărilor algebrice, în care se cere găsirea determinanților și transpunerea matricelor;
• metoda eliminării gaussiene, care necesită transformări elementare ale matricelor (adunați rânduri, înmulțiți rândurile cu același număr etc.).

Pentru cei care sunt deosebit de curioși, există și alte metode, de exemplu, metoda transformărilor liniare. În această lecție, vom analiza cele trei metode menționate și algoritmi pentru găsirea matricei inverse prin aceste metode.

Teorema.Pentru fiecare matrice pătrată nesingulară (nesingulară, nesingulară) se poate găsi o matrice inversă și, în plus, doar una. Pentru o matrice pătrată specială (degenerată, singulară), matricea inversă nu există.

Matricea pătrată se numește nespecială(sau nedegenerat, nesingular) dacă determinantul său nu este egal cu zero și special(sau degenerat, singular) dacă determinantul său este zero.

Matricea inversă poate fi găsită numai pentru o matrice pătrată. Desigur, matricea inversă va fi, de asemenea, pătrată și de aceeași ordine cu matricea dată. O matrice pentru care poate fi găsită o matrice inversă se numește matrice inversabilă.

Găsirea matricei inverse prin eliminarea gaussiană a necunoscutelor

Primul pas pentru a găsi matricea inversă prin eliminare gaussiană este alocarea matricei A matrice de identitate de același ordin, separându-le cu o bară verticală. Obținem o matrice duală. Înmulțim ambele părți ale acestei matrice cu , apoi obținem

,

Algoritm pentru găsirea matricei inverse prin eliminarea gaussiană a necunoscutelor

1. La matrice A atribuiți o matrice de identitate de același ordin.

2. Transformați matricea duală rezultată astfel încât matricea de identitate să fie obținută în partea stângă, apoi matricea inversă va fi obținută automat în partea dreaptă în locul matricei de identitate. Matrice A din partea stângă este convertită în matricea identitară prin transformări elementare ale matricei.

2. Dacă în procesul de transformare a matricei Aîn matricea de identitate în orice rând sau în orice coloană vor fi doar zerouri, atunci determinantul matricei este egal cu zero și, prin urmare, matricea A va fi degenerat și nu are matrice inversă. În acest caz, găsirea ulterioară a matricei inverse se oprește.

Exemplul 2 Pentru matrice

găsiți matricea inversă.

și o vom transforma astfel încât matricea de identitate să fie obținută în partea stângă. Să începem transformarea.

Înmulțiți primul rând al matricei din stânga și dreapta cu (-3) și adăugați-l la al doilea rând, apoi înmulțiți primul rând cu (-4) și adăugați-l la al treilea rând, apoi obținem

.

Pentru ca, dacă este posibil, să nu existe numere fracționale în timpul transformărilor ulterioare, vom crea mai întâi o unitate în al doilea rând din partea stângă a matricei duale. Pentru a face acest lucru, înmulțim al doilea rând cu 2 și scădem al treilea rând din el, apoi obținem

.

Să adăugăm primul rând la al doilea, apoi să înmulțim al doilea rând cu (-9) și să-l adăugăm la al treilea rând. Apoi primim

.

Împărțiți al treilea rând la 8, apoi

.

Înmulțiți al treilea rând cu 2 și adăugați-l la al doilea rând. Se dovedește:

.

Schimbând locurile celei de-a doua și a treia rânduri, apoi obținem în sfârșit:

.

Vedem că matricea de identitate este obținută în partea stângă, prin urmare, matricea inversă este obținută în partea dreaptă. Prin urmare:

.

Puteți verifica corectitudinea calculelor înmulțind matricea originală cu matricea inversă găsită:

Rezultatul ar trebui să fie o matrice inversă.

calculator online pentru găsirea matricei inverse .

Exemplul 3 Pentru matrice

găsiți matricea inversă.

Soluţie. Compilarea unei matrice duale

și o vom transforma.

Înmulțim primul rând cu 3 și al doilea cu 2 și scadem din al doilea, apoi înmulțim primul rând cu 5 și al treilea cu 2 și scadem din al treilea rând, apoi obținem

.

Înmulțim primul rând cu 2 și îl adăugăm la al doilea, apoi scădem pe al doilea din al treilea rând, apoi obținem

.

Vedem că în a treia linie din partea stângă, toate elementele s-au dovedit a fi egale cu zero. Prin urmare, matricea este degenerată și nu are matrice inversă. Oprim găsirea în continuare a mariei inverse.

Puteți verifica soluția cu

Matricea A -1 se numește matrice inversă față de matricea A, dacă A * A -1 \u003d E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea. Matricea inversă poate exista doar pentru matrice pătrată.

Atribuirea serviciului. Folosind acest serviciu online, puteți găsi adunări algebrice, matrice transpusă A T , matrice de unire și matrice inversă. Soluția se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport în format Word și în format Excel (adică este posibilă verificarea soluției). vezi exemplul de proiectare.

Instruire. Pentru a obține o soluție, trebuie să specificați dimensiunea matricei. Apoi, în noua casetă de dialog, completați matricea A .

Vezi și Matrice inversă prin metoda Jordan-Gauss

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Aflarea matricei transpuse A T .
2. Definiţia algebraic additions. Înlocuiți fiecare element al matricei cu complementul său algebric.
3. Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei rezultate este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.

Următorul algoritm de matrice inversă asemănător celui precedent, cu excepția unor pași: mai întâi se calculează complementele algebrice, apoi se determină matricea de unire C.

1. Determinați dacă matricea este pătrată. Dacă nu, atunci nu există o matrice inversă pentru aceasta.
2. Calculul determinantului matricei A . Dacă nu este egal cu zero, continuăm soluția, în caz contrar, matricea inversă nu există.
3. Definiţia algebraic additions.
4. Completarea matricei de unire (mutuală, adjunctă) C .
5. Compilarea matricei inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei adiacente C este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.
6. Faceți o verificare: înmulțiți matricea originală și matricea rezultată. Rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.

Exemplul #1. Scriem matricea sub forma:

Adunări algebrice. ∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Un alt algoritm pentru găsirea matricei inverse

Prezentăm o altă schemă de găsire a matricei inverse.

1. Aflați determinantul matricei pătrate date A .
2. Găsim adunări algebrice la toate elementele matricei A .
3. Complementele algebrice ale elementelor rândurilor le scriem în coloane (transpunere).
4. Împărțim fiecare element al matricei rezultate la determinantul matricei A .

După cum puteți vedea, operația de transpunere poate fi aplicată atât la început, peste matricea originală, cât și la sfârșit, peste adunările algebrice rezultate.

Un caz special: Inversul, în raport cu matricea de identitate E , este matricea de identitate E .