Fie ca fasciculul să aibă două stări:

Unde ∆ 12 este deplasarea la punctul 1 față de forța aplicată la punctul 2.

∆ 21 - deplasarea la punctul 2 de la forța aplicată la punctul 1.

Pentru a deduce teorema, încărcăm mai întâi fasciculul cu forța F 1 și apoi cu forța F 2

Lucrul efectuat este: W=W 11 +W 22 +W 12 = + + F 1 ∙∆ 12

L \u003d L 22 + L 11 + L 21 \u003d + + F 2 ∙∆ 21

Deoarece forțele sunt aceleași, atunci munca este aceeași, rezultă: F 1 ∙∆ 12 = F 2 ∙∆ 21 - teorema lucrului de reciprocitate (teorema lui Betty): Lucrul forțelor primei stări pentru a muta a doua stare este egală cu munca forțelor celei de-a doua stări pentru a muta prima stare.

Dacă acceptăm F 1 \u003d F 2 \u003d 1 (valoare adimensională), atunci obținem o teoremă privind reciprocitatea deplasărilor (teorema lui Maxwell): δ 12 \u003d δ 21 - deplasarea dintr-o forță unitară. Th: mișcarea în punctul de aplicare a primei unități de forță în direcția sa cauzată de a doua unitate de forță este egală cu mișcarea în punctul de aplicare a celei de-a doua unități de forță în direcția sa cauzată de prima unitate de forță.

10. Metoda grafico-analitică pentru rezolvarea integralei Mohr (metoda lui Vereshchagin)

Dacă este încărcat. sys-avem un număr de secțiuni cu îndoire diferită. momente, atunci calculul integralei este oarecum dificil. Prin urmare, se utilizează metoda Vereshchagin.

Lasă încărcătura. diagrama momentelor are un contur curbiliniu și o unitate. complot îndoit. momentele are o liniară (figura).În acest caz, integrala Mohr .(CONCLUZIE)

; dw =S y - momentul static al zonei de marfă. Grafice de momente în jurul axei Y.

Momentul static al oricărei figuri este egal cu produsul ariei și distanța de la axa la centrul de greutate al figurii unde w este aria diagramei de încărcare M F; Z c - distanța până la centrul de greutate.

; Cu toate acestea, având valoarea momentului de la o singură sarcină sub centrul de greutate al sarcinii. Diagrame Deoarece pe grinda pot fi aplicate mai multe sarcini, deplasarea este determinată pentru fiecare secțiune a grinzii - Formula lui Vereshchagin, adică deplasarea este egală cu aria diagramei curbilinii pe ordonată a diagramei curbe rectilinie situată sub centrul de greutate. În calculele practice, zona încărcăturii. diagramele sunt împărțite în diagrame simple (desene).

Sisteme nedeterminate statistic.Metoda de calcul. Sistem de bază și echivalent.

Grinzi (cadre) static nedeterminate numite. grinzi (cadre) în care toate reacțiile necunoscute ale suporturilor nu pot fi determinate folosind doar ecuațiile staticii, deoarece au linii de comunicare (reacții). Gradul de incertitudine statică este determinat de diferența dintre numărul de reacții necunoscute și ecuațiile staticii.

Grinzile au 4 legături de sprijin, adică 4 raioane de sprijin. O statică ur-a pentru un sistem plat. Puteți face 3, prin urmare fasciculul este yavl. 1 dată static Indefinibil. Pentru dezvăluirea statiei pe termen nelimitat, este necesar. la ur-th statics pentru a face suplimentare. Ur-e bazat pe mișcarea sistemului. Numărul lor este determinat. gradul de indeterminare statică. Dacă există mai multe necunoscute liniare, adăugați. ur-I stare-Xia pe baza conditiilor de deformare (deformatii) pe suportul grinzii folosind metoda parametrilor initiali.

Comp. Ur-I statică și adaugă. Ur-I pentru un fascicul dat: Z=0; Y=0; M(B)=0.

Adăuga. Ur-e scriem din conditia ca deformarea pe suport B=0. EIY(B)=0. Unele sys. gradul de statică nedefinită înalt (grinzi solide). Adăuga. ur-e se întocmește pe baza condițiilor de deformare (unghiuri de rotație a secțiunii) pe suporturile intermediare ale grinzii folosind metoda forței. Din soluția comună a staticii ur-th și ur-th suplimentară găsim toate reacțiile necunoscute

După ce a stabilit gradul de indeterminare statică, sistemul de bază este compilat. Sistemul principal este înțeles ca atare un sistem determinat static, care se obține dintr-unul nedeterminat static prin eliminarea conexiunilor liniare.

Conexiunile 6, ecuațiile staticii 3. 6-3=3 - 3 ori static neopred syst

Există multe sisteme de bază din care să alegeți. Atunci când alegeți sistemul principal, este necesar ca acesta să fie imuabil din punct de vedere geometric și instantaneu.

„modificat geometric”, „modificat instantaneu”

Sistemele schimbate instantaneu includ sisteme în care reacțiile suportului se intersectează la un moment dat. Dacă sistemul principal aplicați conexiunile căzute și sarcina, apoi obținem un sistem echivalent.

Să luăm în considerare primul sistem principal. Desen

Să luăm în considerare al doilea sistem principal. Desen

Fundamentele metodei forței.

calculul prin metoda forței se efectuează în cele ce urmează. Ordin:

1) Stabilirea gradului de indeterminare statică

2) Alegem sistemele principale și echivalente. eliminarea liniilor de comunicație și înlocuirea lor cu forțe necunoscute X1, X2, X3.

3) Notați condițiile de echivalență a sistemelor date și echivalente în ceea ce privește deplasarea

sistem dat sistem echiv

Dacă un sistem dat nu are mișcare în direcția forțelor necunoscute X1,x2,X3, atunci condițiile de echivalență vor arăta astfel: =0, , =0.

Exprimăm aceste deplasări din fiecare forță necunoscută și din sarcina externă

Mișcări:

În ceea ce privește necunoscutele X1,X2,X3, influența lor asupra mișcării poate fi reprezentată ca:

X1; = X2; = X3 adică definiția deplasărilor din unități. forte aplicate in directie legăturile le înmulțesc cu forțele corespunzătoare necunoscute X. după aceea, deplasările ur-a în direcția a 3 conexiuni necunoscute vor lua forma.

Teorema reciprocității muncii. Teorema privind reciprocitatea deplasărilor

Să considerăm un sistem deformabil liniar în două stări diferite corespunzătoare a două sarcini diferite (Fig. 5.15) Pentru simplitatea calculelor, să considerăm o grindă simplă cu două suporturi încărcată secvenţial de două forţe concentrate.

Figura 15. Ordinea directă și inversă a aplicării sarcinii

Echivalând munca totală pentru ordinea directă și inversă de aplicare a sarcinilor, obținem

Munca efectiv efectuată de o forță asupra deplasărilor cauzate de o altă forță sau forțe se numește muncă suplimentară.

Conform teoremei reciprocității muncii, munca forțelor primei stări pentru a deplasa a doua stare este egală cu munca forțelor din a doua stare pentru a muta prima stare.

În mod similar, se poate dovedi și reciprocitatea muncii suplimentare a forțelor interne.

Figura 16. Reciprocitatea muncii suplimentare a forțelor interne.

Folosind legea conservării energiei, se poate demonstra că munca suplimentară a forțelor externe este egală în valoare absolută cu munca suplimentară a forțelor interne:

Luând

obţinem o teoremă asupra reciprocităţii deplasărilor.

Deplasarea punctului de aplicare a unei forțe unitare în direcția acesteia, cauzată de a doua forță unitară, este egală cu deplasarea punctului de aplicare a celei de-a doua forțe unitare în direcția acesteia din urmă, cauzată de acțiunea forței. prima unitate de forță.

Determinarea deplasărilor prin metoda lui Mohr

În locul sistemului de forțe F 1 și F 2 , introducem stările de marfă și auxiliare:

Figura 17. Introducerea mărfurilor și a statelor auxiliare

Să scriem teorema reciprocității de lucru pentru aceste două stări:

După însumarea secțiunilor individuale ale grinzii, obținem integrala Mohr

Exemplul 5.2. Luați în considerare un exemplu de utilizare a integralei Mohr pentru a determina deplasările pentru o grindă cantilever încărcată cu o forță concentrată

Figura 18. Construirea unei diagrame de sarcină și auxiliare pentru o grindă cantilever

Folosim integrala Mohr.

În practică, această abordare este dificil de utilizat. Această dificultate este depășită de organizarea integrării, integrarea fiind ușor de implementat pe un computer.

Metodă grafic-analitică pentru determinarea deplasării în timpul îndoirii. Metoda lui Vereshchagin

Introducem două circumstanțe simplificatoare:

Funcție liniară în zona considerată.

Figura 19 Calculul grafic-analitic al integralei Mohr

Ultima integrală este momentul static al figurii ABCD în jurul axei y. Muncă

reprezintă ordonata luată pe diagrama auxiliară sub centrul de greutate al încărcăturii.

unde n este numărul secțiunii.

Exemplul 5.3. Luați în considerare grinda cantilever din nou

Figura 20. Folosind metoda Vereshchagin pentru o grindă cantilever

Cazuri mai dificile:

1. Înmulțirea unui trapez cu un trapez

Orez. 21. Înmulțiți un trapez cu un trapez

Pentru a înmulți un trapez cu un trapez, puteți trece la înmulțirea unui dreptunghi cu un trapez și a unui triunghi cu un trapez.

Definiția înmulțirii unui dreptunghi cu un trapez înseamnă că luăm A f de-a lungul dreptunghiului și M k c de-a lungul trapezului.

Regula de permutare funcționează numai pe diagrame liniare.

2. Segment parabolic

Figura 22. Aria și poziția centrului de greutate pentru un segment parabolic

3. Triunghi parabolic concav

Figura 23. Aria și poziția centrului de greutate pentru un triunghi parabolic concav

4. Triunghi convex

Figura 24. Aria și poziția centrului de greutate pentru un triunghi parabolic convex

5. Trapez parabolic convex.

Figura 25. Împărțirea zonelor și poziția centrelor de greutate pentru un trapez parabolic convex

Exemplu: 5.4. Să luăm în considerare un caz mai complex de încărcare a unei grinzi cantilever, când acţionează toate cele trei tipuri de încărcări externe. Este necesar să se determine unghiul maxim de rotație al fasciculului

Orez. Grinda cantilever cu actiune simultana a trei sarcini

eu drumul. Să înlocuim diagrama M f cu un set de figuri mai simple.

adică vârful parabolei este în afara fasciculului.

Pentru a construi o diagramă auxiliară, trebuie să:

1. Luați în considerare o grindă fără sarcini externe.

2. La un punct dat, aplicați F=1 sau, respectiv, M=1, pentru a determina deformarea sau unghiul de rotație. Direcția de acțiune a sarcinilor externe este arbitrară.

3. Considerând sarcina unitară ca externă, determinăm reacțiile și construim diagrame.

Formula pentru determinarea unghiului de rotație prin metoda Vereshchagin va lua următoarea formă

unde - ordonata luată pe diagrama auxiliară M până sub centrul de greutate al diagramei de marfă - ținând cont de împărțirea diagramei de marfă în cifre elementare

Când construim o axă a fasciculului curbat, folosim:

1. Semnul deplasării generalizate. Pentru cazul considerat, punctul este rotit în sensul acelor de ceasornic.

2. Folosiți semnul momentului încovoietor de pe diagrama sarcinii.

O vedere aproximativă a axei îndoite a grinzii este prezentată în fig. 5.24.

calea II. Folosind principiul suprapunerilor.

Orez Folosind principiul suprapunerii

Enunțul teoremei reciprocității muncii (teorema lui Betty), dovedit în 1872 de E. Betti: lucrarea posibilă a forțelor din prima stare asupra deplasărilor corespunzătoare cauzate de forțele celei de-a doua stări este egală cu munca posibilă a forțelor din a doua stare asupra deplasărilor corespunzătoare cauzate de forţele primului stat.

24. Teorema privind reciprocitatea deplasărilor (Maxwell)

Lasă și. Teorema privind reciprocitatea deplasărilorținând cont de denumirea acceptată a deplasării dintr-o forță unitară, aceasta are forma: Teorema privind reciprocitatea deplasărilor a fost demonstrată de Maxwell. Enunțul teoremei reciprocității: deplasarea punctului de aplicare a primei unități de forță, cauzată de acțiunea celei de-a doua forțe, este egală cu deplasarea punctului de aplicare a celei de-a doua unități de forță, cauzată de acțiunea primei unități de forță

25. Teorema lui Rayleigh asupra reciprocității reacțiilor.

26. Teorema lui Gvozdev asupra reciprocității deplasărilor și reacțiilor.

27. Determinarea deplasărilor de la sarcină. Formula Mohr.

formula Mora

28. Determinarea deplasărilor din efecte de temperatură și din deplasare.

Efectul temperaturii.

Proiect

29. Regula lui Vereșchagin. Formula de înmulțire trapezoidală, formula lui Simpson.

Formula trapezoidală.

Formula de multiplicare pentru trapezele curbilinie

31. Proprietăţile sistemelor static nedeterminate.

Pentru a determina forțele și reacțiile, ecuațiile de statică nu sunt suficiente, este necesar să se implice ecuațiile de continuitate a deformării și deplasării.

Eforturile și reacțiile depind de raportul dintre rigiditatea elementelor individuale.

Schimbările de temperatură și așezarea suportului provoacă apariția unor forțe interne.

În absența sarcinii, este posibilă o stare de autostres.

32. Determinarea gradului de indeterminare statică, principiile de alegere a sistemului principal al metodei forțelor.

Pentru sistemele static nedeterminate W<0

Numărul de conexiuni suplimentare este determinat de formula:

L = -W+ 3K,

unde W este numărul de parametri geometrici independenți care determină poziția structurii pe plan fără a ține cont de deformarea structurii (numărul de grade de libertate), K este numărul de contururi închise (contururi în care există fara balama).

W\u003d 3D - 2Sh - Co

Formula lui Cebyshev pentru determinarea gradului de libertate, unde D este numărul de discuri, W este numărul de balamale, Co este numărul de tije de sprijin.

OSMS ar trebui să fie invariabil din punct de vedere geometric.

Trebuie să fie determinabil static (înlăturați L conexiunile suplimentare).

Acest sistem ar trebui să fie ușor de calculat.

Dacă sistemul original a fost simetric, atunci OSMS este ales ca simetric dacă este posibil.

33. Ecuații canonice ale metodei forței, sensul lor fizic.

Ecuații canonice:

Sensul fizic:

Mișcarea totală în direcția fiecărei legături la distanță ar trebui să fie = 0

34. Calculul coeficienților ecuațiilor canonice, sensul fizic al acestora, verificarea corectitudinii coeficienților aflați.

Deplasarea în direcția acestei conexiuni la distanță cauzată de forța unității jita.

Mișcare în direcția acestei conexiuni la distanță cauzată de o sarcină externă.

Pentru a verifica corectitudinea coeficienților găsiți, trebuie să îi înlocuiți în sistemul de ecuații canonice și să găsiți X1 și X2.

Munca primei forțe asupra deplasării punctului său de aplicare cauzată de a doua forță este egală cu munca celei de-a doua forțe asupra deplasării punctului său de aplicare cauzată de prima forță.

(Sistemele elastice liniare sunt întotdeauna conservatoare dacă sunt încărcate cu forțe conservative, adică forțe care au un potențial).

Ca model de sistem, alegem o grinda cantilever. Deplasările vor fi notate ca deplasare în direcția forței, cauzate de forță.

Încărcăm mai întâi sistemul cu o forță și apoi aplicăm o forță. Lucrarea forțelor aplicate sistemului se va scrie:

(De ce primii doi termeni au un factor, iar ultimul nu?)

Apoi aplicăm forța mai întâi și a doua - .

Deoarece sistemul este conservator și, de asemenea, pentru că stările inițiale și finale în ambele cazuri coincid, atunci munca trebuie să fie egală, ceea ce presupune

Dacă punem , atunci obținem un caz special al teoremei Betti - teorema privind reciprocitatea deplasărilor.

Vom desemna deplasările cauzate de forțele unitare (semnificația indicilor este aceeași). Apoi

Energia potențială de deformare a unui avion

Sistem de tije.

Vom lua în considerare un sistem plat, adică un sistem ale cărui tije și toate forțele se află în același plan. În tijele unui astfel de sistem, în cazul general, acestea pot apărea cu factori de forță interni:

Sistemul elastic, fiind deformat, acumulează energie (energie elastică) numită energie potenţială de deformare.

a) Energia potențială de deformare în tensiune și compresie.

Energia potenţială acumulată într-un element mic de lungime dz va fi egală cu munca forţelor aplicate acestui element

Energia potențială pentru tijă:

Cometariu.și sunt opțional valori constante.

b) Energia potenţială în încovoiere.

Pentru tija:

c) Forțele tăietoare provoacă deplasări și acestea corespund

energie potenţială de forfecare. Totuși, această energie este în majoritatea cazurilor mică și nu o vom ține cont.

Cometariu. Am folosit tije drepte ca obiecte luate în considerare, dar rezultatele obținute sunt aplicabile și la tijele curbilinii de curbură mică, în care raza de curbură este de aproximativ 5 ori sau mai mare decât înălțimea secțiunii.

Energia potențială pentru sistemul de tije poate fi scrisă:

Aici, se ia în considerare împrejurarea că, în timpul tensiunii și compresiunii, secțiunile nu se rotesc, prin urmare, momentele de încovoiere nu efectuează lucru, iar la îndoire, distanța de-a lungul axei dintre secțiunile adiacente nu se modifică și munca forțelor normale. este zero. Acestea. energia potenţială de încovoiere şi tensiune-comprimare poate fi calculată independent.

Semnele de stimulare înseamnă că energia potențială este calculată pentru întregul sistem.

Teorema lui Castellano.

Expresia (3) arată că energia potențială de deformare este o funcție pătratică omogenă și , iar cele la rândul lor depind liniar de forțele care acționează asupra sistemului, deci este o funcție pătratică a forțelor.

Teorema. Derivata parțială a energiei potențiale în raport cu forța este egală cu deplasarea punctului de aplicare a acestei forțe în direcția acesteia din urmă.

Dovada:

Fie energia potențială corespunzătoare forțelor sistemului Să considerăm două cazuri.

1) În primul rând, se aplică toate forțele și apoi una dintre ele primește o creștere mică, apoi energia potențială totală este egală cu:

2) Mai întâi se aplică o forță și apoi se aplică forțe.În acest caz, energia potențială este:

Deoarece stările inițiale și finale sunt aceleași în ambele cazuri, iar sistemul este conservator, atunci energiile potențiale trebuie egalate

Renunțând la a doua comandă mică, obținem

Mohr integral.

Teorema lui Castellano ne-a oferit capacitatea de a defini deplasările. Această teoremă este folosită pentru a găsi deplasări în plăci și învelișuri. Cu toate acestea, calculul energiei potențiale este o procedură greoaie și acum vom schița o modalitate mai simplă și mai generală de a determina deplasările în sistemele de tije.

Să fie dat un sistem de tije arbitrar și trebuie să determinăm în el mișcarea unui punct în direcția cauzată de toate forțele sistemului -

8 pagini (fișier Word)

Vizualizați toate paginile

15. Energia potenţială de deformare în încovoiere.

În îndoire, precum și în alte tipuri de deformare, munca produsă de forțele externe este cheltuită pentru modificarea energiei potențiale a tijei deformate.

Lucrul momentului extern în timpul deformării elastice a tijei:

Unde este unghiul de rotație al secțiunii în punctul de aplicare a momentului.

Lucrarea elementară a momentului încovoietor (intern) se determină din expresia (prin analogie cu cazul încordării-comprimare):

, dar la îndoire avem: .

Curbura, ca reciprocă a razei de curbură, este determinată din expresia:

, unde: - modulul de elasticitate de primul fel;

Momentul de inerție al secțiunii față de axa neutră a secțiunii.

Prin urmare, putem scrie:

.

Munca totală a momentelor încovoietoare pentru o grindă lungă l:

.

Energia potențială de încovoiere, egală cu munca forțelor interne, luată cu semnul opus, se determină din expresia:

.

Adăugarea energiei potențiale din cauza forfecarea (pentru cazul general, nu directă, ci încovoiere transversală), corespunde lucrării forței transversale. Cu toate acestea, această adăugare este mică în valoare absolută și este de obicei neglijată în calculele practice.

16. Teorema privind reciprocitatea muncii și reciprocitatea deplasărilor.

Considerăm un sistem elastic liniar deformabil în două stări diferite corespunzătoare la două sarcini diferite P1Și P2(Figura 47). În acest caz, o grindă simplă este încărcată în ambele stări cu o sarcină simplă (o forță concentrată P1Și P2).

Figura 47

a) prima stare a sistemului (sub sarcină P1);

b) a doua stare a sistemului (sub sarcină R2).

Δ 11 - mișcare în direcția sarcinii P1 P1.

Δ 21 - mișcare în direcția sarcinii R2în locul aplicării sale din acţiune P1.

Δ 22 - mișcare în direcția sarcinii R2în locul aplicării sale din acţiune R2.

– mișcare în direcția sarcinii P1în locul aplicării sale din acţiune R2.

Mișcările ∆ 11 la ∆ 22 sunt numite principale, iar mișcările ∆ 12 la ∆ 21 sunt numite secundare.

Teorema: Lucrul forțelor externe ale primei stări asupra deplasărilor cauzate de forțele din a doua stare este egală cu munca forțelor externe din a doua stare asupra deplasărilor cauzate de forțele primei stări.

Dovada.

1) Aplicați forța mai întâi P1, iar apoi aplicați o forță fasciculului deformat R2.

Să calculăm munca efectuată de forțele externe (atenție la figura 48).

Lucru efectuat de o forță aplicată static P1 pe propria deplasare Δ 11 , cauzată de această forță, se va determina din expresia:

Lucru efectuat de o forță aplicată static R2 pe propria deplasare Δ 22 va fi determinată dintr-o expresie similară:

Figura 48

În acest caz, munca suplimentară a forței deja aplicate în mod constant P1 la deplasarea Δ 12 cauzată de forță R2 determinată din expresia:

(atenție la faptul că factorul 1/2 este absent în expresie, deoarece forța P1 constantă pe deplasare Δ 12).

Lucrul total al forțelor externe în secvența considerată de aplicare a sarcinilor:

.

2) Acum aplicați mai întâi forța R2, iar apoi aplicăm forță sistemului deformat P1.

Argumentăm similar cu primul caz. Munca facuta cu forta R2 pe propria deplasare Δ 22 cauzată de această forță:

Munca facuta cu forta P1 pe propria deplasare Δ 11:

Forță de muncă suplimentară P2 pe deplasarea Δ 21 cauzată de forță P1:

(multiplicatorul 1/2 lipsește deoarece forța P2 constantă pe deplasare Δ 21).

Apoi, munca totală a forțelor externe în secvența considerată de aplicare a sarcinilor:

.

Deoarece munca forțelor nu depinde de ordinea aplicării lor, prin urmare:

sau altfel:

Și pentru cazul în cauză;

.

Presupunând că forțele aplicate sunt unitare P 1 =P2=1, obținem egalitatea deplasărilor cauzate de forțele unitare:

Ultima egalitate demonstrează teorema privind reciprocitatea deplasărilor:

Deplasarea punctului de aplicare a unei forțe unitare în direcția acesteia, cauzată de a doua forță unitară, este egală cu deplasarea punctului de aplicare a celei de-a doua forțe unitare în direcția acesteia din urmă, cauzată de acțiunea forței. prima unitate de forță.

În mod similar, putem demonstra reciprocitatea muncii suplimentare a forțelor interne:

Pentru a face acest lucru, luați în considerare un element de grindă cu o lungime dz(Figura 49).