Regula pentru calcularea probabilității unui eveniment. Teoria probabilității. Probabilitatea sumei evenimentelor comune. Exemplu

În economie, precum și în alte domenii ale activității umane sau în natură, trebuie să ne confruntăm constant cu evenimente care nu pot fi prezise cu exactitate. Astfel, volumul vânzărilor de mărfuri depinde de cerere, care poate varia semnificativ, și de o serie de alți factori care sunt aproape imposibil de luat în considerare. Prin urmare, în organizarea producției și vânzărilor, trebuie să preziceți rezultatul unor astfel de activități, fie pe baza propriei experiențe anterioare, fie pe experiența similară a altor oameni, fie pe intuiție, care se bazează, de asemenea, în mare parte pe date experimentale.

Pentru a evalua cumva evenimentul luat în considerare este necesar să se țină cont sau să se organizeze special condițiile în care este înregistrat acest eveniment.

Se apelează la implementarea anumitor condiții sau acțiuni pentru identificarea evenimentului în cauză experienţă sau experiment.

Evenimentul este numit Aleatoriu dacă, ca urmare a experimentului, acesta poate să apară sau nu.

Evenimentul este numit de încredere, dacă apare neapărat ca urmare a acestei experiențe, și imposibil dacă nu poate apărea în această experienţă.

De exemplu, ninsoarea la Moscova pe 30 noiembrie este un eveniment întâmplător. Răsăritul zilnic poate fi considerat un anumit eveniment. Ninsorile de la ecuator pot fi văzute ca un eveniment imposibil.

Una dintre principalele probleme în teoria probabilității este problema determinării unei măsuri cantitative a posibilității ca un eveniment să se producă.

Algebra evenimentelor

Evenimentele sunt numite incompatibile dacă nu pot fi observate împreună în aceeași experiență. Astfel, prezența a două și trei mașini într-un magazin de vânzare în același timp sunt două evenimente incompatibile.

sumă evenimente este un eveniment constând în producerea a cel puțin unuia dintre aceste evenimente

Un exemplu de sumă de evenimente este prezența a cel puțin unul dintre cele două produse într-un magazin.

muncă evenimente se numește eveniment constând în producerea simultană a tuturor acestor evenimente

Un eveniment constând în apariția a două mărfuri în același timp în magazin este un produs al unor evenimente: - apariția unui produs, - apariția unui alt produs.

Evenimentele formează un grup complet de evenimente dacă cel puțin unul dintre ele are loc în mod necesar în experiență.

Exemplu. Portul are două dane pentru nave. Pot fi avute în vedere trei evenimente: - absența navelor la dane, - prezența unei nave la una dintre dane, - prezența a două nave la două dane. Aceste trei evenimente formează un grup complet de evenimente.

Opus sunt numite două evenimente posibile unice care formează un grup complet.

Dacă unul dintre evenimentele opuse este notat cu , atunci evenimentul opus este de obicei notat cu .

Definiții clasice și statistice ale probabilității unui eveniment

Fiecare dintre rezultatele testelor (experimente) la fel de posibile se numește rezultat elementar. Ele sunt de obicei notate cu litere. De exemplu, se aruncă un zar. Pot exista șase rezultate elementare în funcție de numărul de puncte de pe părți.

Din rezultatele elementare, puteți compune un eveniment mai complex. Deci, evenimentul unui număr par de puncte este determinat de trei rezultate: 2, 4, 6.

O măsură cantitativă a posibilității de apariție a evenimentului luat în considerare este probabilitatea.

Două definiții ale probabilității unui eveniment sunt cele mai utilizate pe scară largă: clasicȘi statistic.

Definiția clasică a probabilității este legată de noțiunea de rezultat favorabil.

Exodul se numește favorabil acest eveniment, dacă producerea lui implică producerea acestui eveniment.

În exemplul dat, evenimentul luat în considerare este un număr par de puncte pe marginea căzută, are trei rezultate favorabile. În acest caz, generalul
numărul de rezultate posibile. Deci, aici puteți folosi definiția clasică a probabilității unui eveniment.

Definiție clasică este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate posibile

unde este probabilitatea evenimentului, este numărul de rezultate favorabile pentru eveniment, este numărul total de rezultate posibile.

În exemplul considerat

Definiția statistică a probabilității este asociată cu conceptul de frecvență relativă de apariție a unui eveniment în experimente.

Frecvența relativă de apariție a unui eveniment este calculată prin formula

unde este numărul de apariție a unui eveniment într-o serie de experimente (teste).

Definiție statistică. Probabilitatea unui eveniment este numărul relativ la care frecvența relativă este stabilizată (stabilită) cu o creștere nelimitată a numărului de experimente.

În problemele practice, frecvența relativă pentru un număr suficient de mare de încercări este luată ca probabilitate a unui eveniment.

Din aceste definiții ale probabilității unui eveniment, se poate observa că inegalitatea este întotdeauna valabilă

Pentru a determina probabilitatea unui eveniment pe baza formulei (1.1), formulele combinatorice sunt adesea folosite pentru a găsi numărul de rezultate favorabile și numărul total de rezultate posibile.

Următoarele sunt regulile de bază pentru determinarea probabilității ca un eveniment complex să se producă pe baza probabilităților cunoscute ale evenimentelor sale constitutive mai simple.

1. Probabilitatea unui anumit eveniment este egal cu unu:

2. Probabilitatea de asociere (suma) a evenimentelor incompatibile este egală cu suma probabilităților lor:

Aceste două egalități sunt axiome ale teoriei probabilităților, adică sunt acceptate ca fiind inițiale, dar necesită demonstrarea proprietăților probabilităților. Pe baza lor se construiește întreaga teorie a probabilității.

Toate celelalte formule prezentate mai jos fără dovezi pot fi derivate din axiomele acceptate.

3. Probabilitatea unui eveniment imposibil este egal cu zero:

4. Probabilitatea unui eveniment opus evenimentul A este egal cu

(4.5)

Formula (4.5) se dovedește a fi utilă în practică în cazurile în care calculul probabilității evenimentului în sine A dificil, în timp ce probabilitatea evenimentului opus este ușor de găsit (vezi p. 9 ).

5. Teorema adunării. Probabilitatea de a combina evenimente arbitrare este egală cu suma probabilităților lor minus probabilitatea de a produce evenimente:

Pentru evenimente incompatibile și formula (4.6) trece în (4.3).

6. Probabilitate condițională. Dacă doriți să aflați probabilitatea unui eveniment ÎN presupunând că s-a întâmplat un alt eveniment A, atunci o astfel de situație este caracterizată de probabilitate condiționată. Probabilitatea condiționată este egală cu raportul dintre probabilitatea produsului evenimentelor AȘi ÎN la probabilitatea unui eveniment A:

(4.7)

În cazurile în care evenimentele AȘi ÎN incompatibile și în consecință.

7. Definiția probabilității condiționate în forma (4.7) face posibilă scrierea următoarei formule pentru calcularea probabilității unui produs al evenimentelor (teorema înmulțirii probabilităților)

8. Deoarece probabilitatea unui eveniment A(sau ÎN) pentru evenimente independente, prin definiție, nu se modifică atunci când are loc un alt eveniment, atunci probabilitatea condiționată coincide cu probabilitatea evenimentului A, iar probabilitatea condiționată este P(B). Probabilități P(A)Și P(B) spre deosebire de probabilitățile condiționate sunt numite necondiționate.

Teorema înmulțirii probabilităților pentru evenimente independente se scrie astfel:

adică, probabilitatea produsului evenimentelor independente este egală cu produsul probabilităților acestora.

9. Calcula probabilitatea ca cel puțin un eveniment să apară în n încercări

A- apariția în nîncercări macar odată cu evenimentul care ne interesează.

- evenimentul care ne interesează nu a apărut în nîncercări nu.

A 1 - evenimentul care ne interesează a apărut la prima probă.

A 2 - evenimentul care ne interesează a apărut la a doua probă.

A n - evenimentul care ne interesează a apărut în n al-lea test.

10. Formula probabilității totale.

Dacă evenimentul A poate apărea numai atunci când are loc unul dintre evenimentele incompatibile H 1 , N 2 , …, N n, Acea

Exemplul 4.3

O urnă conține 5 bile albe, 20 roșii și 10 negre de aceeași dimensiune. Bilele se amestecă bine și apoi se scoate 1 minge la întâmplare. Care este probabilitatea ca mingea extrasă să fie albă sau neagră?

Soluţie. Lasă evenimentul A- aspectul unei mingi albe sau negre. Să împărțim acest eveniment în altele mai simple. Lăsa ÎN 1 - aspectul unei mingi albe, și ÎN 2 - negru. Apoi, A=B 1 +V 2 P(A)=P(B 1 +V 2 ) . Deoarece ÎN 1 Și ÎN 2 sunt evenimente incompatibile, apoi conform teoremei privind probabilitatea sumei evenimentelor incompatibile (formula 4.3) P(B 1 +V 2 ) = P(B 1 )+P(B 2 ) .

Calculați probabilitățile evenimentelor ÎN 1 Și ÎN 2 . În acest exemplu, există 35 de rezultate la fel de posibile (bilele nu diferă ca mărime) rezultate ale experienței, evenimentului ÎN 1 (apariția bilei albe) este favorizată de 5 dintre ei, deci . În mod similar,. Prin urmare, .

Exemplul 4.4

Căutarea a doi infractori este în desfășurare. Fiecare dintre ele, independent de celălalt, poate fi detectat într-o zi cu o probabilitate de 0,5. Care este probabilitatea ca cel puțin un infractor să fie găsit în timpul zilei?

Soluţie. Lasă evenimentul A„A fost identificat cel puțin un infractor.” Să împărțim acest eveniment în altele mai simple. Lăsa ÎN 1 ÎN 2 Al doilea autor a fost găsit. Apoi, A=B 1 +V 2 pentru a determina suma evenimentelor. Prin urmare P(A)=P(B 1 +V 2 ) . Deoarece ÎN 1 Și ÎN 2 sunt evenimente comune, apoi conform teoremei privind probabilitatea sumei evenimentelor (formula 4.6)

P(B 1 +V 2 ) = P(B 1 )+P(B 2 )-P(B 1 ÎN 2 ) = 0,5+0,5 – 0,25=0,75 .

De asemenea, puteți rezolva prin evenimentul invers: .

Exemplul 4.5 a)

Criminalul are 3 chei. În întuneric, deschide ușa alegând o cheie la întâmplare. Este nevoie de 5 secunde pentru a deschide fiecare uşă. Găsiți probabilitatea ca el să deschidă toate ușile în 15 secunde.

Soluţie. Lasă evenimentul A„Toate ușile sunt deschise.” Să împărțim acest eveniment în altele mai simple. Lăsa ÎN– „prima deschidere”, CU– „a doua deschidere” și D– „Al treilea este deschis”. Apoi, A=BCD P(A)=P(BCD). Conform teoremei cu privire la probabilitatea produsului evenimentelor independente (formula 4.10) P(BCD) = P(B)P(C) P(D).

Calculați probabilitățile evenimentelor B, CȘi D. În acest exemplu, există 3 rezultate la fel de posibile (alegem fiecare cheie din 3) rezultate ale experienței. Fiecare dintre evenimente B, CȘi D favorizează unul dintre ei, deci ..

Exemplul 4.5 b)

Să schimbăm problema: credem că infractorul este un om uituc. Lasă criminalul să deschidă ușa și să lase cheia în ea. Care este atunci probabilitatea ca el să deschidă toate ușile în 15 secunde?

Soluţie. Eveniment A„Toate ușile sunt deschise.” Din nou, A=BCD prin definiţia produsului evenimentelor. Prin urmare P(A)=P(BCD). Dar acum evenimentele B, CȘi D- dependent. Prin teorema cu privire la probabilitatea produsului evenimentelor dependente P(BCD) = P(B)P(C|B) P(D|BC).

Calculați probabilitățile: , (au mai rămas doar două chei și una dintre ele este potrivită!), și, prin urmare, .

Exemplul 4.6

Căutarea a doi infractori este în desfășurare. Fiecare dintre ele, independent de celălalt, poate fi detectat într-o zi cu o probabilitate de 0,5. După capturarea unuia dintre ei, din cauza creșterii numărului de angajați implicați în căutare, probabilitatea de a-l găsi pe cel de-al doilea crește la 0,7. Care este probabilitatea ca ambii criminali să fie găsiți în timpul zilei.

Soluţie. Lasă evenimentul A„Doi autori găsiți.” Să împărțim acest eveniment în altele mai simple. Lăsa ÎN 1 - Primul infractor a fost descoperit și ÎN 2 - Un al doilea criminal este descoperit după ce primul este prins. Apoi, A=B 1 ÎN 2 prin definiţia produsului evenimentelor. Prin urmare P(A)=P(B 1 ÎN 2 ) . Deoarece ÎN 1 Și ÎN 2 sunt evenimente dependente, apoi conform teoremei cu privire la probabilitatea produsului evenimentelor dependente (formula 4.8) P(B 1 ÎN 2 ) = P(B 1 )P(B 2 /ÎN 1 ) = 0,5 0,7=0,35 .

Exemplul 4.7

Găsiți probabilitatea ca atunci când o monedă este aruncată de 10 ori, stema să cadă cel puțin o dată.

Soluţie. Lasă evenimentul A– „va cădea stema macar 1 timp". Luați în considerare evenimentul invers: - „stama nu va cădea nu". Este evident că evenimentul invers este mai ușor decât cel original pentru a fi împărțit în altele mai simple. Lăsa A 1 - stema nu a căzut la prima rolă, A 2 - stema nu a căzut la a doua rolă, ... A 10 - stema nu a căzut pe a 10-a rolă. Toate evenimentele A 1 …A 10 sunt independente, prin urmare (formula 4.11)

Exemplul 4.8

La operațiunea de eliberare a ostaticilor participă 2 grupuri de lunetiști: 10 persoane cu o pușcă OP21 și 20 de persoane cu AKM47. Probabilitatea de înfrângere din OP21 este de 0,85, iar AKM47 este de 0,65. Găsiți probabilitatea ca, cu o singură lovitură de la un lunetist arbitrar, criminalul să fie lovit.

Soluţie. Lasă evenimentul A- „Infractorul este învins”. Să împărțim acest eveniment în altele mai simple. Infractorul poate fi lovit fie de la OP21, fie de la AKM47. Probabilitatea ca un lunetist arbitrar să fie înarmat cu OP21 (un eveniment H 1 ) este egal cu 10/30. Probabilitatea ca un lunetist arbitrar să fie înarmat cu un AKM47 (eveniment H 2 ) este egal cu 20/30.

Probabilitatea ca infractorul să fie lovit este (formula 4.12)

În astfel de probleme, este util să desenați un arbore cu toate rezultatele posibile (indicând probabilitățile fiecărui rezultat).

1. Prezentarea principalelor teoreme și formule de probabilitate: teorema adunării, probabilitatea condiționată, teorema înmulțirii, independența evenimentelor, formula probabilității totale.

Obiective: crearea condițiilor favorabile pentru introducerea conceptului de probabilitate a unui eveniment; familiarizarea cu teoremele și formulele de bază ale teoriei probabilităților; introduceți formula probabilității totale.

Progresul lecției:

Experiment aleatoriu (experiment) este un proces în care sunt posibile rezultate diferite și este imposibil de anticipat care va fi rezultatul. Posibilele rezultate care se exclud reciproc ale unei experiențe se numesc ei evenimente elementare . Setul de evenimente elementare va fi notat cu W.

eveniment aleatoriu se numește un eveniment, despre care este imposibil de spus în prealabil dacă va avea loc ca urmare a experienței sau nu. Fiecare eveniment aleator A care a avut loc în urma experimentului poate fi asociat cu un grup de evenimente elementare din W. Evenimentele elementare care alcătuiesc acest grup se numesc favorabil producerii evenimentului A.

Mulțimea W poate fi considerată și ca un eveniment aleatoriu. Deoarece include toate evenimentele elementare, va avea loc în mod necesar ca rezultat al experienței. Un astfel de eveniment se numește de încredere .

Dacă pentru un anumit eveniment nu există evenimente elementare favorabile din W, atunci nu poate apărea ca rezultat al experimentului. Un astfel de eveniment se numește imposibil.

Evenimentele sunt numite la fel de posibil dacă testul are ca rezultat o șansă egală ca aceste evenimente să se producă. Sunt numite două evenimente aleatorii opus dacă, în urma experimentului, unul dintre ele apare dacă și numai dacă celălalt nu are loc. Evenimentul opus evenimentului A este notat cu .

Evenimentele A și B sunt numite incompatibil dacă apariţia unuia dintre ele exclude apariţia celuilalt. Evenimentele A 1 , A 2 , ..., A n sunt numite perechi incompatibil, dacă oricare dintre ele sunt incompatibile. Evenimente A 1 , A 2 , ..., O formă sistem complet de evenimente incompatibile pe perechi dacă, în urma testului, unul și numai unul dintre ele este sigur că va apărea.

Suma (combinația) evenimentelor A 1 , A 2 , ..., A n este un astfel de eveniment C, care constă în faptul că a avut loc cel puțin unul dintre evenimentele A 1 , A 2 , ..., A n Se notează suma evenimentelor. după cum urmează:

C \u003d A 1 + A 2 + ... + A n.

Produsul (intersecția) evenimentelor A 1 , A 2 , ..., A n se numește un astfel de eveniment P, care constă în faptul că toate evenimentele A 1 , A 2 , ..., A n au avut loc simultan. Produsul evenimentelor este notat

Probabilitatea P(A) în teoria probabilității acționează ca o caracteristică numerică a gradului de posibilitate de apariție a oricărui eveniment aleatoriu particular A cu repetări multiple de teste.

De exemplu, în 1000 de aruncări ale unui zar, numărul 4 apare de 160 de ori. Raportul 160/1000 = 0,16 arată frecvența relativă a căderii numărului 4 în această serie de teste. Mai general frecvența evenimentelor aleatoare Și atunci când efectuează o serie de experimente, ei numesc raportul dintre numărul de experimente în care a avut loc un anumit eveniment și numărul total de experimente:

unde P*(A) este frecvența evenimentului A; m este numărul de experimente în care a avut loc evenimentul A; n este numărul total de experimente.

Probabilitatea unui eveniment aleatoriu A se numește un număr constant, în jurul căruia frecvențele unui anumit eveniment sunt grupate pe măsură ce numărul de experimente crește ( determinarea statistică a probabilității unui eveniment ). Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este notată cu P(A).

Desigur, nimeni nu va putea niciodată să facă un număr nelimitat de teste pentru a determina probabilitatea. Nu este nevoie de asta. În practică, probabilitatea poate fi luată ca frecvență a unui eveniment cu un număr mare de încercări. Deci, de exemplu, din modelele statistice de naștere stabilite pe parcursul multor ani de observație, probabilitatea ca nou-născutul să fie băiat este estimată la 0,515.

Dacă în timpul testului nu există motive pentru care un eveniment aleator să apară mai des decât altele ( evenimente la fel de probabile), putem determina probabilitatea pe baza considerentelor teoretice. De exemplu, să aflăm în cazul aruncării unei monede, frecvența căderii stemei (evenimentul A). Diferiți experimentatori au arătat în câteva mii de încercări că frecvența relativă a unui astfel de eveniment ia valori apropiate de 0,5. dat fiind că apariția stemei și partea opusă a monedei (evenimentul B) sunt evenimente la fel de probabile dacă moneda este simetrică, judecata P(A)=P(B)=0,5 s-ar putea face fără a se determina frecvența. a acestor evenimente. Pe baza conceptului de „probabilitate egală” a evenimentelor, se formulează o altă definiție a probabilității.

Fie evenimentul A luat în considerare în m cazuri, care sunt numite favorabile lui A, și nu apar în restul n-m, nefavorabile lui A.

Atunci probabilitatea evenimentului A este egală cu raportul dintre numărul de evenimente elementare favorabile acestuia și numărul lor total.(Definiția clasică a probabilității unui eveniment):

unde m este numărul de evenimente elementare care favorizează evenimentul A; n - Numărul total de evenimente elementare.

Să ne uităm la câteva exemple:

Exemplul #1:O urnă conține 40 de bile: 10 negre și 30 albe. Găsiți probabilitatea ca o minge aleasă aleatoriu să fie neagră.

Numărul de cazuri favorabile este egal cu numărul de bile negre din urnă: m = 10. Numărul total de evenimente la fel de probabile (scoaterea unei bile) este egal cu numărul total de bile din ună: n = 40. Aceste evenimente sunt incompatibile, deoarece o singură minge este scoasă. P(A) = 10/40 = 0,25

Exemplul #2:Găsiți probabilitatea de a obține un număr par atunci când aruncați un zar.

La aruncarea unui zar, se realizează șase evenimente incompatibile la fel de posibile: apariția unei cifre: 1,2,3,4,5 sau 6, i.e. n = 6. Cazurile favorabile sunt pierderea unuia dintre numerele 2,4 sau 6: m = 3. Probabilitatea dorită P(A) = m/N = 3/6 = ½.

După cum putem vedea din definiția probabilității unui eveniment, pentru toate evenimentele

0 < Р(А) < 1.

Evident, probabilitatea unui anumit eveniment este 1, probabilitatea unui eveniment imposibil este 0.

Teorema de adunare a probabilității: probabilitatea de apariție a unui eveniment (indiferent de ce) din mai multe evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestora.

Pentru două evenimente incompatibile A și B, probabilitățile acestor evenimente sunt egale cu suma probabilităților lor:

P(A sau B)=P(A) + P(B).

Exemplul #3:Găsiți probabilitatea de a obține 1 sau 6 atunci când aruncați un zar.

Evenimentul A (rularea 1) și B (rularea 6) sunt la fel de probabile: P(A) = P(B) = 1/6, deci P(A sau B) = 1/6 + 1/6 = 1/3

Adunarea probabilităților este valabilă nu numai pentru două, ci și pentru orice număr de evenimente incompatibile.

Exemplul #4:O urnă conține 50 de bile: 10 albe, 20 negre, 5 roșii și 15 albastre. Găsiți probabilitatea ca o minge albă, neagră sau roșie să apară într-o singură operațiune de scoatere a unei mingi din urnă.

Probabilitatea de a extrage o bilă albă (evenimentul A) este P(A) = 10/50 = 1/5, o bilă neagră (evenimentul B) este P(B) = 20/50 = 2/5 și o bilă roșie ( evenimentul C) este P (C) = 5/50 = 1/10. De aici, conform formulei de adunare a probabilităților, obținem P (A sau B sau C) \u003d P (A) + P (B) \u003d P (C) \u003d 1/5 + 2/5 + 1/ 10 \u003d 7/10

Suma probabilităților a două evenimente opuse, după cum urmează din teorema de adunare a probabilității, este egală cu unu:

P(A) + P() = 1

În exemplul de mai sus, scoaterea bilelor albe, negre și roșii va fi evenimentul A 1 , P(A 1) = 7/10. Evenimentul opus al lui 1 este extragerea bilei albastre. Deoarece există 15 bile albastre, iar numărul total de bile este 50, obținem P(1) = 15/50 = 3/10 și P(A) + P() = 7/10 + 3/10 = 1.

Dacă evenimentele А 1 , А 2 , ..., А n formează un sistem complet de evenimente incompatibile pe perechi, atunci suma probabilităților lor este egală cu 1.

În general, probabilitatea sumei a două evenimente A și B se calculează ca

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB).

Teorema înmulțirii probabilității:

Evenimentele A și B sunt numite independent Dacă probabilitatea de apariție a evenimentului A nu depinde de dacă evenimentul B a avut loc sau nu și invers, probabilitatea de apariție a evenimentului B nu depinde de dacă evenimentul A a avut loc sau nu.

Probabilitatea de apariție în comun a evenimentelor independente este egală cu produsul probabilităților acestora. Pentru două evenimente P(A și B)=P(A) P(B).

Exemplu: O urna contine 5 bile negre si 10 albe, celelalte 3 negre si 17 albe. Găsiți probabilitatea ca prima dată când bile sunt extrase din fiecare urnă, ambele bile să fie negre.

Rezolvare: probabilitatea de a extrage o bilă neagră din prima urnă (eveniment A) - P(A) = 5/15 = 1/3, o bilă neagră din a doua urnă (eveniment B) - P(B) = 3/ 20

P (A și B) \u003d P (A) P (B) \u003d (1/3) (3/20) \u003d 3/60 \u003d 1/20.

În practică, probabilitatea unui eveniment B depinde adesea de dacă un alt eveniment A a avut loc sau nu. În acest caz, se vorbește despre probabilitate condițională , adică probabilitatea evenimentului B dat fiind faptul că evenimentul A a avut loc. Probabilitatea condiționată se notează cu P(B/A).

Teoria probabilității - o știință matematică care studiază tiparele fenomenelor aleatorii. Fenomenele aleatoare sunt înțelese ca fenomene cu un rezultat incert care apar atunci când un anumit set de condiții este reprodus în mod repetat.

De exemplu, când arunci o monedă, nu poți prezice pe ce parte va cădea. Rezultatul aruncării unei monede este aleatoriu. Dar cu un număr suficient de mare de aruncări de monede, există un anumit model (steama și zăbrelele vor cădea aproximativ de același număr de ori).

Concepte de bază ale teoriei probabilităților

test (experiment, experiment) - implementarea unui anumit set de condiţii în care se observă cutare sau cutare fenomen, cutare sau cutare rezultat este fixat.

De exemplu: aruncarea unui zar cu o pierdere de puncte; diferența de temperatură a aerului; metoda de tratare a bolii; o anumită perioadă din viața unei persoane.

Eveniment aleatoriu (sau doar un eveniment) - rezultatul testului.

Exemple de evenimente aleatorii:

scăderea unui punct la aruncarea unui zar;

exacerbarea bolii coronariene cu o creștere bruscă a temperaturii aerului vara;

dezvoltarea complicațiilor bolii cu alegerea greșită a metodei de tratament;

admiterea la o universitate cu studii reușite la școală.

Evenimentele sunt indicate cu majuscule ale alfabetului latin: A , B , C , …

Evenimentul este numit de încredere dacă în urma testului trebuie neapărat să apară.

Evenimentul este numit imposibil dacă, în urma testului, acesta nu poate apărea deloc.

De exemplu, dacă toate produsele dintr-un lot sunt standard, atunci extragerea unui produs standard din acesta este un eveniment de încredere, iar extragerea unui produs defect în aceleași condiții este un eveniment imposibil.

DEFINIȚIA CLASICĂ A PROBABILITĂȚII

Probabilitatea este unul dintre conceptele de bază ale teoriei probabilităților.

Probabilitatea clasică a unui eveniment este raportul dintre numărul de cazuri favorabile evenimentului , la numărul total de cazuri, i.e.

, (5.1)

Unde
- probabilitatea evenimentului ,

- numărul de evenimente favorabile ,

este numărul total de cazuri.

Proprietăți de probabilitate a evenimentului

Probabilitatea oricărui eveniment se află între zero și unu, adică.

Probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu, adică.

.

Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero, adică.

.

(Oferă-te să rezolvi oral câteva probleme simple).

DEFINIȚIA STATISTICĂ A PROBABILITĂȚII

În practică, de multe ori atunci când se evaluează probabilitățile evenimentelor, acestea se bazează pe cât de des va apărea un anumit eveniment în testele efectuate. În acest caz, se utilizează definiția statistică a probabilității.

Probabilitatea statistică a unui eveniment se numește limita frecvenței relative (raportul dintre numărul de cazuri m, favorabil producerii evenimentului , la numărul total teste efectuate), când numărul de teste tinde spre infinit, adică.

Unde
- probabilitatea statistică a unui eveniment ,
- numărul de probe în care a apărut evenimentul , - numărul total de încercări.

Spre deosebire de probabilitatea clasică, probabilitatea statistică este o caracteristică a uneia experimentale. Probabilitatea clasică este folosită pentru a calcula teoretic probabilitatea unui eveniment în condiții date și nu necesită ca testele să fie efectuate în realitate. Formula probabilității statistice este utilizată pentru a determina experimental probabilitatea unui eveniment, adică. se presupune că testele au fost efectiv efectuate.

Probabilitatea statistică este aproximativ egală cu frecvența relativă a unui eveniment aleatoriu, prin urmare, în practică, frecvența relativă este luată drept probabilitate statistică, deoarece probabilitatea statistică este aproape imposibil de găsit.

Definiția statistică a probabilității se aplică evenimentelor aleatoare care au următoarele proprietăți:

Teoreme de adunare și înmulțire a probabilităților

Noțiuni de bază

a) Singurele evenimente posibile

Evenimente
sunt numite singurele posibile dacă, în urma fiecărei încercări, cel puțin unul dintre ele va apărea cu siguranță.

Aceste evenimente formează un grup complet de evenimente.

De exemplu, atunci când aruncați un zar, singurele evenimente posibile sunt aruncările cu fața cu unu, doi, trei, patru, cinci și șase puncte. Ele formează un grup complet de evenimente.

b) Evenimentele se numesc incompatibile dacă apariţia unuia dintre ele exclude apariţia altor evenimente în cadrul aceluiaşi proces. În caz contrar, se numesc articulații.

c) Opus numiți două evenimente unic posibile care formează un grup complet. desemna Și .

G) Evenimentele se numesc independente, dacă probabilitatea de apariție a unuia dintre ele nu depinde de comiterea sau nerealizarea altora.

Acțiuni pe evenimente

Suma mai multor evenimente este un eveniment constând în producerea a cel puțin unuia dintre aceste evenimente.

Dacă Și sunt evenimente comune, apoi suma lor
sau
denotă apariția fie a evenimentului A, fie a evenimentului B, sau a ambelor evenimente împreună.

Dacă Și sunt evenimente incompatibile, apoi suma lor
înseamnă o întâmplare sau un eveniment , sau evenimente .

Cantitate evenimentele sunt:

Produsul (intersecția) mai multor evenimente este un eveniment constând în producerea în comun a tuturor acestor evenimente.

Produsul a două evenimente este
sau
.

Muncă evenimentele denotă

Teorema de adunare pentru probabilitățile evenimentelor incompatibile

Probabilitatea sumei a două sau mai multe evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

Pentru două evenimente;

- Pentru evenimente.

Consecințe:

a) Suma probabilităților de evenimente opuse Și este egal cu unu:

Se notează probabilitatea evenimentului opus :
.

b) Suma probabilităților evenimente care formează un grup complet de evenimente este egal cu unul: sau
.

Teorema de adunare pentru probabilitățile de evenimente comune

Probabilitatea sumei a două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente fără probabilitățile intersecției lor, i.e.

Teorema înmulțirii probabilităților

a) Pentru două evenimente independente:

b) Pentru două evenimente dependente

Unde
este probabilitatea condiționată a evenimentului , adică probabilitatea evenimentului , calculat cu condiția ca evenimentul s-a întâmplat.

c) Pentru evenimente independente:

.

d) Probabilitatea producerii a cel puţin unuia dintre evenimente , formând un grup complet de evenimente independente:

Probabilitate condițională

Probabilitatea evenimentului , calculat presupunând că a avut loc un eveniment , se numește probabilitatea condiționată a evenimentului și notat
sau
.

Când se calculează probabilitatea condiționată folosind formula clasică de probabilitate, numărul de rezultate Și
se calculează ţinând cont de faptul că înainte de eveniment s-a întâmplat un eveniment .

Când o monedă este aruncată, se poate spune că va ateriza heads up, sau probabilitate din aceasta este 1/2. Desigur, asta nu înseamnă că, dacă o monedă este aruncată de 10 ori, ea va ateriza neapărat pe capete de 5 ori. Dacă moneda este „corectă” și dacă este aruncată de mai multe ori, atunci capete vor veni foarte aproape în jumătate din timp. Astfel, există două tipuri de probabilități: experimental Și teoretic .

Probabilitate experimentală și teoretică

Dacă aruncăm o monedă de un număr mare de ori - să zicem 1000 - și numărăm de câte ori iese capete, putem determina probabilitatea ca aceasta să iasă cu cap. Dacă capetele apar de 503 ori, putem calcula probabilitatea ca acesta să apară:
503/1000 sau 0,503.

Acest experimental definiția probabilității. Această definiție a probabilității provine din observarea și studiul datelor și este destul de comună și foarte utilă. De exemplu, iată câteva probabilități care au fost determinate experimental:

1. Șansa ca o femeie să dezvolte cancer de sân este de 1/11.

2. Dacă săruți pe cineva care este răcit, atunci probabilitatea ca și tu să răcești este de 0,07.

3. O persoană care tocmai a fost eliberată din închisoare are șanse de 80% să se întoarcă în închisoare.

Dacă luăm în considerare aruncarea unei monede și ținând cont de faptul că este la fel de probabil să iasă cap sau cozi, putem calcula probabilitatea de a ieși cu cap: 1 / 2. Aceasta este definiția teoretică a probabilității. Iată câteva alte probabilități care au fost determinate teoretic folosind matematică:

1. Dacă într-o cameră sunt 30 de persoane, probabilitatea ca două dintre ele să aibă aceeași zi de naștere (excluzând anul) este de 0,706.

2. În timpul unei călătorii, întâlnești pe cineva și pe parcursul conversației descoperi că ai o cunoștință reciprocă. Reacție tipică: „Asta nu se poate!” De fapt, această frază nu se potrivește, deoarece probabilitatea unui astfel de eveniment este destul de mare - puțin peste 22%.

Prin urmare, probabilitatea experimentală este determinată de observare și de colectare a datelor. Probabilitățile teoretice sunt determinate de raționamentul matematic. Exemple de probabilități experimentale și teoretice, precum cele discutate mai sus, și mai ales cele la care nu ne așteptăm, ne conduc la importanța studierii probabilității. Puteți întreba: „Care este probabilitatea adevărată?” De fapt, nu există niciunul. Experimental este posibil să se determine probabilitățile în anumite limite. Ele pot coincide sau nu cu probabilitățile pe care le obținem teoretic. Există situații în care este mult mai ușor să definești un tip de probabilitate decât altul. De exemplu, ar fi suficient să găsim probabilitatea de a răci folosind probabilitatea teoretică.

Calculul probabilităților experimentale

Luați în considerare mai întâi definiția experimentală a probabilității. Principiul de bază pe care îl folosim pentru a calcula astfel de probabilități este următorul.

Principiul P (experimental)

Dacă într-un experiment în care se fac n observații, situația sau evenimentul E apare de m ori în n observații, atunci probabilitatea experimentală a evenimentului se spune că este P (E) = m/n.

Exemplul 1 Ancheta sociologică. A fost realizat un studiu experimental pentru a determina numărul de stângaci, dreptaci și persoane la care ambele mâini sunt egal dezvoltate.Rezultatele sunt prezentate în grafic.

a) Determinați probabilitatea ca persoana să fie dreptaci.

b) Determinați probabilitatea ca persoana să fie stângaci.

c) Determinați probabilitatea ca persoana să fie la fel de fluentă în ambele mâini.

d) Majoritatea turneelor ​​PBA au 120 de jucători. Pe baza acestui experiment, câți jucători pot fi stângaci?

Soluţie

a) Numărul de oameni care sunt dreptaci este de 82, numărul de stângaci este de 17, iar numărul celor care vorbesc la fel de fluent cu ambele mâini este 1. Numărul total de observații este 100. Astfel, probabilitatea că o persoană este dreptaci este P
P = 82/100, sau 0,82, sau 82%.

b) Probabilitatea ca o persoană să fie stângacă este P, unde
P = 17/100 sau 0,17 sau 17%.

c) Probabilitatea ca o persoană să fie fluentă în mod egal cu ambele mâini este P, unde
P = 1/100 sau 0,01 sau 1%.

d) 120 de bowler și de la (b) ne putem aștepta ca 17% să fie stângaci. De aici
17% din 120 = 0,17,120 = 20,4,
adică ne putem aștepta ca vreo 20 de jucători să fie stângaci.

Exemplul 2 Control de calitate . Este foarte important ca un producător să mențină calitatea produselor sale la un nivel ridicat. De fapt, companiile angajează inspectori de control al calității pentru a asigura acest proces. Scopul este de a elibera un număr minim posibil de produse defecte. Dar, deoarece compania produce mii de articole în fiecare zi, nu își poate permite să inspecteze fiecare articol pentru a determina dacă este defect sau nu. Pentru a afla ce procent de produse sunt defecte, compania testează mult mai puține produse.
USDA cere ca 80% din semințele pe care cultivatorii le vând să germineze. Pentru a determina calitatea semințelor pe care compania agricolă le produce, se plantează 500 de semințe din cele care au fost produse. După aceea, s-a calculat că au germinat 417 semințe.

a) Care este probabilitatea ca sămânța să germineze?

b) Semințele respectă standardele guvernamentale?

Soluţie a) Știm că din 500 de semințe care au fost plantate, 417 au încolțit. Probabilitatea germinării semințelor P și
P = 417/500 = 0,834 sau 83,4%.

b) Întrucât procentul de semințe germinate a depășit 80% la cerere, semințele îndeplinesc standardele de stat.

Exemplul 3 Evaluări TV. Potrivit statisticilor, în Statele Unite există 105.500.000 de gospodării TV. În fiecare săptămână, informații despre vizionarea programelor sunt colectate și procesate. În decurs de o săptămână, 7.815.000 de gospodării au fost conectate la serialul de comedie de succes de la CBS Everybody Loves Raymond și 8.302.000 de gospodării au fost conectate la hitul de la NBC Law & Order (Sursa: Nielsen Media Research). Care este probabilitatea ca televizorul unei case să fie reglat pe „Everybody Loves Raymond” în timpul unei anumite săptămâni? pe „Law & Order”?

Soluţie Probabilitatea ca televizorul dintr-o gospodărie să fie setat la „Everybody Loves Raymond” este P și
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Posibilitatea ca televizorul de uz casnic să fie setat la „Lege și ordine” este P și
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Aceste procente se numesc rating.

probabilitatea teoretică

Să presupunem că facem un experiment, cum ar fi aruncarea unei monede sau a săgeții, tragerea unei cărți dintr-un pachet sau testarea articolelor pe o linie de asamblare. Fiecare rezultat posibil al unui astfel de experiment este numit Exod . Se numește setul tuturor rezultatelor posibile spațiu de rezultat . Eveniment este un set de rezultate, adică un subset al spațiului de rezultate.

Exemplul 4 Aruncarea săgeților. Să presupunem că în experimentul „aruncare săgeți”, săgeata lovește ținta. Găsiți fiecare dintre următoarele:

b) Spațiul rezultatului

Soluţie
a) Rezultatele sunt: ​​lovirea negru (H), lovirea roșu (K) și lovirea alb (B).

b) Există un spațiu de rezultat (loviți negru, loviți roșu, loviți alb), care poate fi scris simplu ca (B, R, B).

Exemplul 5 Aruncarea zarurilor. Un zar este un cub cu șase laturi, fiecare având unul până la șase puncte.


Să presupunem că aruncăm un zar. Găsi
a) Rezultate
b) Spațiul rezultatului

Soluţie
a) Rezultate: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Spațiul rezultat (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Notăm probabilitatea ca un eveniment E să se producă ca P(E). De exemplu, „moneda va ateriza pe cozi” poate fi notat cu H. Atunci P(H) este probabilitatea ca moneda să cadă pe cozi. Când toate rezultatele unui experiment au aceeași probabilitate de a avea loc, se spune că sunt la fel de probabile. Pentru a vedea diferența dintre evenimentele care sunt la fel de probabile și evenimentele care nu sunt la fel de probabile, luați în considerare ținta prezentată mai jos.

Pentru ținta A, evenimentele de lovituri negru, roșu și alb sunt la fel de probabile, deoarece sectoarele negru, roșu și alb sunt aceleași. Cu toate acestea, pentru ținta B, zonele cu aceste culori nu sunt aceleași, adică atingerea lor nu este la fel de probabilă.

Principiul P (teoretic)

Dacă un eveniment E se poate întâmpla în m moduri din n rezultate echiprobabile posibile din spațiul rezultat S, atunci probabilitatea teoretică eveniment, P(E) este
P(E) = m/n.

Exemplul 6 Care este probabilitatea de a arunca un 3 prin aruncarea unui zar?

Soluţie Există 6 rezultate la fel de probabile pe zar și există o singură posibilitate de a arunca numărul 3. Atunci probabilitatea P va fi P(3) = 1/6.

Exemplul 7 Care este probabilitatea de a arunca un număr par pe zar?

Soluţie Evenimentul este aruncarea unui număr par. Acest lucru se poate întâmpla în 3 moduri (dacă aruncați 2, 4 sau 6). Numărul de rezultate echiprobabile este 6. Atunci probabilitatea P(par) = 3/6 sau 1/2.

Vom folosi o serie de exemple legate de un pachet standard de 52 de cărți. Un astfel de pachet este format din cărțile prezentate în figura de mai jos.

Exemplul 8 Care este probabilitatea de a extrage un as dintr-un pachet de cărți bine amestecat?

Soluţie Există 52 de rezultate (numărul de cărți din pachet), acestea sunt la fel de probabile (dacă pachetul este bine amestecat) și există 4 moduri de a trage un as, deci conform principiului P, probabilitatea
P(tragerea unui as) = ​​4/52 sau 1/13.

Exemplul 9 Să presupunem că alegem fără să ne uităm o bile dintr-o pungă de 3 bile roșii și 4 bile verzi. Care este probabilitatea de a alege o minge roșie?

Soluţie Există 7 rezultate la fel de probabile pentru a obține orice minge și, deoarece numărul de moduri de a trage o minge roșie este 3, obținem
P(alegerea unei mingi roșii) = 3/7.

Următoarele afirmații sunt rezultate din principiul P.

Proprietăți de probabilitate

a) Dacă evenimentul E nu se poate întâmpla, atunci P(E) = 0.
b) Dacă evenimentul E este obligat să se întâmple, atunci P(E) = 1.
c) Probabilitatea ca evenimentul E să se producă este un număr între 0 și 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

De exemplu, la aruncarea unei monede, evenimentul în care moneda aterizează pe marginea ei are probabilitate zero. Probabilitatea ca o monedă să fie fie cap, fie coadă are o probabilitate de 1.

Exemplul 10 Să presupunem că dintr-un pachet cu 52 de cărți sunt extrase 2 cărți. Care este probabilitatea ca amândoi să fie pică?

Soluţie Numărul de moduri n de a extrage 2 cărți dintr-un pachet de 52 de cărți bine amestecat este 52 C 2 . Deoarece 13 din cele 52 de cărți sunt pică, numărul m de moduri de a trage 2 pică este de 13 C 2 . Apoi,
P(întinderea a 2 vârfuri) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Exemplul 11 Să presupunem că 3 persoane sunt alese aleatoriu dintr-un grup de 6 bărbați și 4 femei. Care este probabilitatea ca 1 bărbat și 2 femei să fie aleși?

Soluţie Numărul de moduri de a alege trei persoane dintr-un grup de 10 persoane 10 C 3 . Un bărbat poate fi ales în 6 moduri C 1 și 2 femei pot fi alese în 4 moduri C 2. Conform principiului fundamental al numărării, numărul de moduri de a alege primul bărbat și 2 femei este de 6 C 1 . 4C2. Apoi, probabilitatea ca 1 bărbat și 2 femei să fie aleși este
P = 6 C1. 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Exemplul 12 Aruncarea zarurilor. Care este probabilitatea de a arunca un total de 8 pe două zaruri?

Soluţie Există 6 rezultate posibile pe fiecare zar. Rezultatele sunt dublate, adică există 6,6 sau 36 de moduri posibile în care numerele de pe două zaruri pot cădea. (Este mai bine dacă cuburile sunt diferite, să spunem că unul este roșu și celălalt este albastru - acest lucru va ajuta la vizualizarea rezultatului.)

Perechile de numere care însumează până la 8 sunt prezentate în figura de mai jos. Există 5 moduri posibile de a obține suma egală cu 8, deci probabilitatea este 5/36.