Astfel, lungimea unui vector este calculată ca rădăcină pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale
. În mod similar, se calculează lungimea vectorului n-dimensional
. Dacă ne amintim că fiecare coordonată a vectorului este diferența dintre coordonatele sfârșitului și începutului, atunci vom obține formula pentru lungimea segmentului, i.e. Distanța euclidiană între puncte.

Produs scalar doi vectori pe un plan este produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei:
. Se poate demonstra că produsul scalar a doi vectori = (x 1, x 2) și = (y 1, y 2) este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare acestor vectori:
\u003d x 1 * y 1 + x 2 * y 2.

În spațiul n-dimensional, produsul scalar al vectorilor X= (x 1 , x 2 ,...,x n) și Y= (y 1 , y 2 ,...,y n) este definit ca suma produselor dintre coordonatele lor respective: X*Y \u003d x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Operația de înmulțire a vectorilor între ei este similară cu înmulțirea unei matrice de rând cu o matrice de coloană. Subliniem că rezultatul va fi un număr, nu un vector.

Produsul scalar al vectorilor are următoarele proprietăți (axiome):

1) Proprietate comutativă: X*Y=Y*X.

2) Proprietatea distributivă în raport cu adunarea: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Pentru orice număr real 
.

4)
, dacă X nu este un vector zero;
dacă X este un vector zero.

Un spațiu vectorial liniar în care este dat produsul scalar al vectorilor care satisface cele patru axiome corespunzătoare se numește Vector liniar euclidianspaţiu.

Este ușor de observat că atunci când înmulțim orice vector cu el însuși, obținem pătratul lungimii acestuia. Deci e diferit lungime vectorul poate fi definit ca rădăcina pătrată a pătratului său scalar:.

Lungimea unui vector are următoarele proprietăți:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, unde  este un număr real;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Inegalitatea Cauci-Bunyakovsky);

4) |X+Y||X|+|Y| ( inegalitatea triunghiulară).

Unghiul  dintre vectorii din spațiul n-dimensional este determinat pe baza conceptului de produs scalar. Într-adevăr, dacă
, Acea
. Această fracție nu este mai mare decât unu (conform inegalității Cauci-Bunyakovsky), deci de aici puteți găsi .

Cei doi vectori sunt numiți ortogonală sau perpendicular dacă produsul lor punctual este zero. Din definiția produsului scalar rezultă că vectorul zero este ortogonal cu orice vector. Dacă ambii vectori ortogonali sunt nenuli, atunci în mod necesar cos= 0, adică=/2 = 90 o.

Luați în considerare din nou Figura 7.4. Din figură se poate observa că cosinusul unghiului  al înclinării vectorului față de axa orizontală poate fi calculat ca
, iar cosinusul unghiului  al înclinării vectorului față de axa verticală ca
. Aceste numere sunt numite cosinus de direcție. Este ușor de observat că suma pătratelor cosinusurilor de direcție este întotdeauna egală cu unu: cos 2 +cos 2 = 1. În mod similar, putem introduce conceptul de cosinus de direcție pentru spații de dimensiuni mai mari.

Baza spațiului vectorial

Pentru vectori, se pot defini conceptele combinație liniară,dependență liniarăȘi independenţă similar cu modul în care aceste concepte au fost introduse pentru rândurile matriceale. De asemenea, este adevărat că dacă vectorii sunt dependenți liniar, atunci cel puțin unul dintre ei poate fi exprimat liniar în termenii celorlalți (adică este o combinație liniară a acestora). Afirmația inversă este de asemenea adevărată: dacă unul dintre vectori este o combinație liniară a celorlalți, atunci toți acești vectori din agregat sunt dependenți liniar.

Rețineți că dacă printre vectorii a l , a 2 ,...a m există un vector zero, atunci această colecție de vectori este neapărat dependentă liniar. Într-adevăr, obținem  l a l +  2 a 2 +...+  m a m = 0, dacă, de exemplu, echivalăm coeficientul  j cu un vector zero la unu și toți ceilalți coeficienți la zero. În acest caz, nu toți coeficienții vor fi egali cu zero ( j ≠ 0).

În plus, dacă unii dintre vectorii din setul de vectori sunt dependenți liniar, atunci toți acești vectori sunt dependenți liniar. Într-adevăr, dacă unii vectori dau un vector zero în combinația lor liniară cu coeficienți care nu sunt simultan zero, atunci vectorii rămași, înmulțiți cu coeficienți zero, pot fi adăugați la această sumă de produse și va fi totuși un vector zero.

Cum se determină dacă vectorii sunt dependenți liniar?

De exemplu, să luăm trei vectori: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) și a 3 = (3, 1, 4, 3). Să facem o matrice din ele, în care vor fi coloane:

Atunci problema dependenței liniare se va reduce la determinarea rangului acestei matrice. Dacă se dovedește a fi egal cu trei, atunci toate cele trei coloane sunt liniar independente, iar dacă se dovedește a fi mai puțin, atunci aceasta va indica o dependență liniară a vectorilor.

Deoarece rangul este 2, vectorii sunt dependenți liniar.

Rețineți că soluția problemei ar putea fi începută și cu argumente bazate pe definiția independenței liniare. Și anume, alcătuiți o ecuație vectorială  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, care va lua forma l * (1, 0, 1, 5) + 2 * (2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Apoi obținem un sistem de ecuații:

Rezolvarea acestui sistem prin metoda Gauss se va reduce la obținerea aceleiași matrice de trepte, doar că va avea încă o coloană - membri liberi. Toate vor fi egale cu zero, deoarece transformările liniare ale zerourilor nu pot duce la un rezultat diferit. Sistemul de ecuații transformat va lua forma:

Rezolvarea acestui sistem va fi (-s; -s; s), unde s este un număr arbitrar; de exemplu, (-1;-1;1). Aceasta înseamnă că dacă luăm  l \u003d -1;  2 \u003d -1 și  3 \u003d 1, atunci  l a l +  2 a 2 +  3 a 3 \u003d 0, adică. vectorii sunt de fapt dependenți liniar.

Din exemplul rezolvat, devine clar că dacă luăm numărul de vectori mai mult decât dimensiunea spațiului, atunci aceștia vor fi neapărat dependenți liniar. Într-adevăr, dacă am lua cinci vectori în acest exemplu, am obține o matrice 4 x 5, al cărei rang nu ar putea fi mai mare de patru. Acestea. numărul maxim de coloane liniar independente nu ar fi tot mai mult de patru. Doi, trei sau patru vectori cu patru dimensiuni pot fi independenți liniar, dar cinci sau mai mulți nu. În consecință, nu mai mult de doi vectori pot fi independenți liniar în plan. Oricare trei vectori din spațiul bidimensional sunt dependenți liniar. În spațiul tridimensional, oricare patru (sau mai mulți) vectori sunt întotdeauna dependenți liniar. Și așa mai departe.

De aceea dimensiune spațiile pot fi definite ca numărul maxim de vectori liniar independenți care pot fi în el.

Mulțimea de n vectori liniar independenți ai spațiului n-dimensional R se numește bază acest spatiu.

Teorema. Fiecare vector spațial liniar poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori de bază și, în plus, într-un mod unic.

Dovada. Fie vectorii e l , e 2 ,...e n formează o bază a unui spațiu n-dimensional R. Să demonstrăm că orice vector X este o combinație liniară a acestor vectori. Deoarece, împreună cu vectorul X, numărul de vectori va deveni (n + 1), acești vectori (n + 1) vor fi liniar dependenți, adică. există numere l , 2 ,..., n , care nu sunt simultan egale cu zero, astfel încât

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

În acest caz, 0, deoarece altfel am obține l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, unde nu toți coeficienții l , 2 ,..., n sunt egali cu zero. Aceasta înseamnă că vectorii de bază ar fi dependenți liniar. Prin urmare, putem împărți ambele părți ale primei ecuații în :

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + Х = 0

X \u003d - ( l / ) e l - ( 2 / ) e 2 -...- ( n / ) e n

X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n,

unde x j = -( j /),
.

Să demonstrăm acum că o astfel de reprezentare ca o combinație liniară este unică. Să presupunem contrariul, adică că există o altă reprezentare:

X \u003d y l e l + y 2 e 2 + ... + y n e n

Scădeți din el termen cu termen expresia obținută mai devreme:

0 \u003d (y l - x 1) e l + (y 2 - x 2) e 2 + ... + (y n - x n) e n

Deoarece vectorii de bază sunt liniar independenți, obținem că (y j - x j) = 0,
, adică y j ​​= x j . Deci expresia este aceeași. Teorema a fost demonstrată.

Expresia X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n se numește descompunere vector X după baza e l , e 2 ,...e n , și numerele x l , x 2 ,... x n - coordonate vector x în raport cu această bază sau în această bază.

Se poate dovedi că, dacă vectori nu sunt zero ai unui spațiu euclidian n-dimensional sunt ortogonali pe perechi, atunci ei formează o bază. Într-adevăr, să înmulțim ambele părți ale ecuației l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 cu orice vector e i . Se obține  l (e l * e i) +  2 (e 2 * e i) +...+  n (e n * e i) = 0   i (e i * e i) = 0   i = 0 pentru i .

Se formează vectorii e l , e 2 ,...e n ai spațiului euclidian n-dimensional baza ortonormala, dacă acești vectori sunt ortogonali pe perechi și norma fiecăruia dintre ei este egală cu unu, i.e. dacă e i *e j = 0 pentru i≠ji |e i | = 1 pentru i.

Teoremă (fără dovezi). Fiecare spațiu euclidian n-dimensional are o bază ortonormală.

Un exemplu de bază ortonormală este un sistem de n vectori unitari ei, în care componenta i-a este egală cu unu, iar componentele rămase sunt egale cu zero. Fiecare astfel de vector este numit ort. De exemplu, vector-orts (1, 0, 0), (0, 1, 0) și (0, 0, 1) formează baza unui spațiu tridimensional.

Produsul scalar al vectorilor (denumit în continuare SP). Dragi prieteni! Examenul de matematică include un grup de probleme pentru rezolvarea vectorilor. Am luat deja în considerare câteva probleme. Le puteți vedea în categoria „Vectori”. În general, teoria vectorilor este simplă, principalul lucru este să o studiezi în mod consecvent. Calculele și acțiunile cu vectori la cursul de matematică din școală sunt simple, formulele nu sunt complicate. Privește în . În acest articol, vom analiza sarcinile legate de joint venture de vectori (incluse în examen). Acum „imersiune” în teorie:

H Pentru a găsi coordonatele unui vector, trebuie să scădeți din coordonatele capătului săucoordonatele corespunzătoare începutului său

Și mai departe:

*Lungimea vectorului (modulul) este definită după cum urmează:

Aceste formule trebuie memorate!!!

Să arătăm unghiul dintre vectori:

Este clar că poate varia de la 0 la 180 0(sau în radiani de la 0 la Pi).

Putem trage câteva concluzii despre semnul produsului scalar. Lungimile vectorilor sunt pozitive, evident. Deci semnul produsului scalar depinde de valoarea cosinusului unghiului dintre vectori.

Cazuri posibile:

1. Dacă unghiul dintre vectori este ascuțit (de la 0 0 la 90 0), atunci cosinusul unghiului va avea o valoare pozitivă.

2. Dacă unghiul dintre vectori este obtuz (de la 90 0 la 180 0), atunci cosinusul unghiului va avea o valoare negativă.

*La zero grade, adică atunci când vectorii au aceeași direcție, cosinusul este egal cu unu și, în consecință, rezultatul va fi pozitiv.

La 180 o, adică atunci când vectorii au direcții opuse, cosinusul este egal cu minus unu,iar rezultatul va fi negativ.

Acum PUNCT IMPORTANT!

La 90 o, adică atunci când vectorii sunt perpendiculari unul pe altul, cosinusul este zero și, prin urmare, societatea în participație este zero. Acest fapt (consecință, concluzie) este folosit în rezolvarea multor probleme în care vorbim de aranjarea reciprocă a vectorilor, inclusiv în problemele incluse în banca deschisă de sarcini la matematică.

Formulăm afirmația: produsul scalar este egal cu zero dacă și numai dacă vectorii dați se află pe drepte perpendiculare.

Deci, formulele pentru vectorii SP sunt:

Dacă sunt cunoscute coordonatele vectorilor sau coordonatele punctelor începutului și sfârșitului lor, atunci putem găsi întotdeauna unghiul dintre vectori:

Luați în considerare sarcinile:

27724 Aflați produsul interior al vectorilor a și b .

Putem găsi produsul scalar al vectorilor folosind una dintre cele două formule:

Unghiul dintre vectori este necunoscut, dar putem găsi cu ușurință coordonatele vectorilor și apoi folosim prima formulă. Deoarece începuturile ambilor vectori coincid cu originea, coordonatele acestor vectori sunt egale cu coordonatele capetelor lor, adică

Cum să găsiți coordonatele unui vector este descris în.

Noi calculăm:

Raspuns: 40

Găsiți coordonatele vectorilor și utilizați formula:

Pentru a găsi coordonatele unui vector, este necesar să se scadă coordonatele corespunzătoare ale începutului său din coordonatele sfârșitului vectorului, ceea ce înseamnă

Calculăm produsul scalar:

Raspuns: 40

Aflați unghiul dintre vectorii a și b. Dați răspunsul în grade.

Fie coordonatele vectorilor să aibă forma:

Pentru a găsi unghiul dintre vectori, folosim formula pentru produsul scalar al vectorilor:

Cosinusul unghiului dintre vectori:

Prin urmare:

Coordonatele acestor vectori sunt:

Să le conectăm la formula:

Unghiul dintre vectori este de 45 de grade.

Raspuns: 45

Definiția 1

Produsul scalar al vectorilor se numește număr egal cu produsul dintre dinele acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei.

Notația pentru produsul vectorilor a → și b → are forma a → , b → . Să facem conversia la formula:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → și b → indică lungimile vectorilor, a → , b → ^ indică unghiul dintre vectorii dați. Dacă cel puțin un vector este zero, adică are valoarea 0, atunci rezultatul va fi zero, a → , b → = 0

Când înmulțim un vector cu el însuși, obținem pătratul dinei sale:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definiția 2

Înmulțirea scalară a unui vector în sine se numește pătrat scalar.

Se calculează după formula:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Scrierea a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → n p a → b → = b → n p b → a → arată că n p b → a → este o proiecție numerică a lui a → pe b → , n p a → a → - proiecția lui b → pe a → respectiv.

Formulăm definiția produsului pentru doi vectori:

Produsul scalar a doi vectori a → prin b → se numește produsul lungimii vectorului a → prin proiecția lui b → după direcția a → sau produsul lungimii lui b → prin proiecția lui a →, respectiv.

Punctează produsul în coordonate

Calculul produsului scalar se poate face prin coordonatele vectorilor dintr-un plan dat sau din spatiu.

Produsul scalar a doi vectori pe un plan, în spațiul tridimensional, se numește suma coordonatelor vectorilor dați a → și b → .

Când se calculează pe planul produsului scalar al vectorilor dați a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) în sistemul cartezian, utilizați:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

pentru spațiul tridimensional, se aplică expresia:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z .

De fapt, aceasta este a treia definiție a produsului punctual.

Să demonstrăm.

Dovada 1

Pentru a o demonstra, folosim a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y pentru vectorii a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) pe sistem cartezian.

Vectorii ar trebui amânați

O A → = a → = a x , a y și O B → = b → = b x , b y .

Atunci lungimea vectorului A B → va fi egală cu A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Considerăm un triunghi O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) este adevărată, pe baza teoremei cosinusului.

Prin condiție, se poate observa că O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , deci scriem diferit formula pentru găsirea unghiului dintre vectori

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

Apoi din prima definiție rezultă că b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , deci (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Aplicând formula pentru calcularea lungimii vectorilor, obținem:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

Să demonstrăm egalitățile:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– respectiv pentru vectori ai spațiului tridimensional.

Produsul scalar al vectorilor cu coordonate spune că pătratul scalar al unui vector este egal cu suma pătratelor coordonatelor sale în spațiu și, respectiv, pe plan. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) și (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Produsul punctat și proprietățile sale

Există proprietăți de produs punctual care se aplică pentru a → , b → și c → :

1. comutativitatea (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributivitatea (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
3. proprietate asociativă (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - orice număr;
4. pătratul scalar este întotdeauna mai mare decât zero (a → , a →) ≥ 0 , unde (a → , a →) = 0 când a → zero.

Exemplul 1

Proprietățile sunt explicate prin definiția produsului scalar în plan și prin proprietățile de adunare și înmulțire a numerelor reale.

Demonstrați proprietatea comutativității (a → , b →) = (b → , a →) . Din definiție avem că (a → , b →) = a y b y + a y b y și (b → , a →) = b x a x + b y a y .

Prin proprietatea comutativității, egalitățile a x · b x = b x · a x și a y · b y = b y · a y sunt adevărate, deci a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Rezultă că (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Distributivitatea este valabilă pentru orice numere:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

și (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

deci avem

(a (1) → + a (2) → +... + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Produs punctat cu exemple și soluții

Orice problemă a unui astfel de plan este rezolvată folosind proprietățile și formulele referitoare la produsul scalar:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y sau (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Să ne uităm la câteva exemple de soluții.

Exemplul 2

Lungimea lui a → este 3, lungimea lui b → este 7. Aflați produsul scalar dacă unghiul are 60 de grade.

Soluţie

După condiție, avem toate datele, așa că calculăm prin formula:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Răspuns: (a → , b →) = 21 2 .

Exemplul 3

Dați vectori a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Care este produsul scalar.

Soluţie

În acest exemplu, se ia în considerare formula pentru calcularea coordonatelor, deoarece acestea sunt specificate în enunțul problemei:

(a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Răspuns: (a → , b →) = - 9

Exemplul 4

Aflați produsul interior al lui A B → și A C → . Punctele A (1 , - 3) , B (5 , 4) , C (1 , 1) sunt date pe planul de coordonate.

Soluţie

Pentru început, coordonatele vectorilor sunt calculate, deoarece coordonatele punctelor sunt date de condiția:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

Înlocuind în formulă folosind coordonatele, obținem:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Răspuns: (A B → , A C →) = 28 .

Exemplul 5

Dați vectorii a → = 7 m → + 3 n → și b → = 5 m → + 8 n → , găsiți produsul lor. m → este egal cu 3 și n → este egal cu 2 unități, acestea sunt perpendiculare.

Soluţie

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Aplicând proprietatea distributivă, obținem:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Luăm coeficientul în afara semnului produsului și obținem:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Prin proprietatea comutativității, transformăm:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

Ca rezultat, obținem:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

Acum aplicăm formula produsului scalar cu unghiul specificat de condiția:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

Răspuns: (a → , b →) = 411

Dacă există o proiecție numerică.

Exemplul 6

Aflați produsul interior al lui a → și b → . Vectorul a → are coordonatele a → = (9 , 3 , - 3) , proiecția b → are coordonatele (- 3 , - 1 , 1) .

Soluţie

Prin condiție, vectorii a → și proiecția b → sunt direcționați invers, deoarece a → = - 1 3 n p a → b → → , deci proiecția b → corespunde lungimii n p a → b → → , iar cu „-” semn:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Înlocuind în formulă, obținem expresia:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Răspuns: (a → , b →) = - 33 .

Probleme cu un produs scalar cunoscut, unde este necesar să se găsească lungimea unui vector sau a unei proiecții numerice.

Exemplul 7

Ce valoare ar trebui să ia λ pentru un produs scalar dat a → \u003d (1, 0, λ + 1) și b → \u003d (λ, 1, λ) va fi egală cu -1.

Soluţie

Din formula se poate observa că este necesar să se găsească suma produselor coordonatelor:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

În dat avem (a → , b →) = - 1 .

Pentru a găsi λ , calculăm ecuația:

λ 2 + 2 · λ = - 1 , deci λ = - 1 .

Răspuns: λ = - 1 .

Semnificația fizică a produsului scalar

Mecanica ia în considerare aplicarea produsului punctual.

Când lucrați A cu o forță constantă F → un corp în mișcare din punctul M în N, puteți găsi produsul lungimilor vectorilor F → și M N → cu cosinusul unghiului dintre ei, ceea ce înseamnă că munca este egală. la produsul vectorilor forță și deplasare:

A = (F → , M N →) .

Exemplul 8

Deplasarea unui punct material cu 3 metri sub acțiunea unei forțe egale cu 5 Nton este îndreptată la un unghi de 45 de grade față de axă. Gaseste un .

Soluţie

Deoarece munca este produsul dintre vectorul forță și deplasarea, atunci, pe baza condiției F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , obținem A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

Răspuns: A = 15 2 2 .

Exemplul 9

Punctul material, deplasându-se de la M (2, - 1, - 3) la N (5, 3 λ - 2, 4) sub forța F → = (3, 1, 2), a lucrat egal cu 13 J. Calculați lungimea mișcării.

Soluţie

Pentru coordonatele date ale vectorului M N → avem M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

Prin formula pentru găsirea muncii cu vectorii F → = (3 , 1 , 2) și M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) obținem A = (F ⇒ , M N →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

Prin condiție, se dă că A \u003d 13 J, ceea ce înseamnă 22 + 3 λ \u003d 13. Aceasta implică λ = - 3 , deci M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

Pentru a găsi lungimea călătoriei M N → , aplicăm formula și înlocuim valorile:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

Răspuns: 158 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Produsul punctual al vectorilor

Continuăm să ne ocupăm de vectori. La prima lecție Vectori pentru manechine am luat în considerare conceptul de vector, acțiunile cu vectori, coordonatele vectoriale și cele mai simple probleme cu vectorii. Dacă ați ajuns pentru prima dată pe această pagină dintr-un motor de căutare, vă recomand cu căldură să citiți articolul introductiv de mai sus, deoarece pentru a asimila materialul, trebuie să vă ghidați în termenii și notația pe care le folosesc, să aveți cunoștințe de bază despre vectori și să poată rezolva probleme elementare. Această lecție este o continuare logică a subiectului și în ea voi analiza în detaliu sarcini tipice care folosesc produsul scalar al vectorilor. Acesta este un job FOARTE IMPORTANT.. Încercați să nu săriți peste exemple, acestea vin cu un bonus util - practica vă va ajuta să consolidați materialul acoperit și să „puneți mâna” la rezolvarea problemelor comune de geometrie analitică.

Adăugarea vectorilor, înmulțirea unui vector cu un număr... Ar fi naiv să credem că matematicienii nu au venit cu altceva. Pe lângă acțiunile deja luate în considerare, există o serie de alte operații cu vectori, și anume: produs scalar al vectorilor, produs încrucișat al vectorilorȘi produs mixt al vectorilor. Produsul scalar al vectorilor ne este familiar de la școală, celelalte două produse sunt în mod tradițional legate de cursul de matematică superioară. Subiectele sunt simple, algoritmul pentru rezolvarea multor probleme este stereotip și de înțeles. Singurul lucru. Există o cantitate decentă de informații, așa că este de nedorit să încerci să stăpânești și să rezolvi TOTUL ȘI O dată. Acest lucru este valabil mai ales pentru manechini, credeți-mă, autorul nu vrea să se simtă ca Chikatilo de la matematică. Ei bine, nici de la matematică, desigur, nici =) Elevii mai pregătiți pot folosi materialele selectiv, într-un anumit sens, pentru a „dobândi” cunoștințele lipsă, pentru tine voi fi un inofensiv Conte Dracula =)

În cele din urmă, să deschidem puțin ușa și să aruncăm o privire la ce se întâmplă atunci când doi vectori se întâlnesc...

Definirea produsului scalar al vectorilor.
Proprietățile produsului scalar. Sarcini tipice

Conceptul de produs punctual

În primul rând despre unghiul dintre vectori. Cred că toată lumea înțelege intuitiv care este unghiul dintre vectori, dar pentru orice eventualitate, puțin mai mult. Luați în considerare vectori liberi nenuli și . Dacă amânăm acești vectori dintr-un punct arbitrar, atunci obținem o imagine pe care mulți au prezentat-o ​​deja mental:

Mărturisesc, aici am descris situația doar la nivel de înțelegere. Dacă aveți nevoie de o definiție strictă a unghiului dintre vectori, vă rugăm să consultați manualul, dar pentru sarcini practice, noi, în principiu, nu avem nevoie de ea. De asemenea, AICI ȘI MAI MULTE, voi ignora uneori vectorii zero din cauza semnificației lor practice scăzute. Am făcut o rezervare special pentru vizitatorii avansați ai site-ului, care îmi pot reproșa incompletitudinea teoretică a unora dintre următoarele afirmații.

poate lua valori de la 0 la 180 de grade (de la 0 la radiani) inclusiv. Analitic, acest fapt este scris ca o dublă inegalitate: sau (în radiani).

În literatură, pictograma unghiului este adesea omisă și scrisă simplu.

Definiție: Produsul scalar a doi vectori este un NUMĂR egal cu produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei:

Acum, aceasta este o definiție destul de strictă.

Ne concentrăm pe informațiile esențiale:

Desemnare: produsul scalar este notat cu sau pur și simplu .

Rezultatul operației este un NUMĂR: Înmulțiți un vector cu un vector pentru a obține un număr. Într-adevăr, dacă lungimile vectorilor sunt numere, cosinusul unghiului este un număr, atunci produsul lor va fi și un număr.

Doar câteva exemple de încălzire:

Exemplul 1

Soluţie: Folosim formula . În acest caz:

Răspuns:

Valorile cosinusului pot fi găsite în tabel trigonometric. Recomand să-l imprimați - va fi necesar în aproape toate secțiunile turnului și va fi solicitat de multe ori.

Pur din punct de vedere matematic, produsul scalar este adimensional, adică rezultatul, în acest caz, este doar un număr și atât. Din punct de vedere al problemelor de fizică, produsul scalar are întotdeauna o anumită semnificație fizică, adică după rezultat trebuie indicată una sau alta unitate fizică. Exemplul canonic de calcul al muncii unei forțe poate fi găsit în orice manual (formula este exact un produs punctual). Munca unei forțe este măsurată în Jouli, prin urmare, răspunsul va fi scris destul de specific, de exemplu,.

Exemplul 2

Găsiți dacă , iar unghiul dintre vectori este .

Acesta este un exemplu de auto-decizie, răspunsul este la sfârșitul lecției.

Unghiul dintre vectori și valoarea produsului punctual

În Exemplul 1, produsul scalar s-a dovedit a fi pozitiv, iar în Exemplul 2, s-a dovedit a fi negativ. Să aflăm de ce depinde semnul produsului scalar. Să ne uităm la formula noastră: . Lungimile vectorilor nenuli sunt întotdeauna pozitive: , deci semnul poate depinde doar de valoarea cosinusului.

Notă: Pentru o mai bună înțelegere a informațiilor de mai jos, este mai bine să studiați graficul cosinus din manual Grafice și proprietăți ale funcției. Vedeți cum se comportă cosinusul pe segment.

După cum sa menționat deja, unghiul dintre vectori poate varia în interior , iar următoarele cazuri sunt posibile:

1) Dacă colţîntre vectori picant: (de la 0 la 90 de grade), apoi , Și produsul punctual va fi pozitiv co-regizat, atunci unghiul dintre ele este considerat a fi zero, iar produsul scalar va fi de asemenea pozitiv. Din moment ce , atunci formula este simplificată: .

2) Dacă colţîntre vectori bont: (de la 90 la 180 de grade), apoi și în mod corespunzător, produsul punctual este negativ: . Caz special: dacă vectorii îndreptată invers, atunci se ia în considerare unghiul dintre ele dislocat: (180 de grade). Produsul scalar este de asemenea negativ, deoarece

Afirmațiile inverse sunt de asemenea adevărate:

1) Dacă , atunci unghiul dintre acești vectori este acut. Alternativ, vectorii sunt codirecționali.

2) Dacă , atunci unghiul dintre acești vectori este obtuz. Alternativ, vectorii sunt direcționați opus.

Dar cel de-al treilea caz prezintă un interes deosebit:

3) Dacă colţîntre vectori Drept: (90 de grade) apoi si produsul punctual este zero: . Este adevărat și invers: dacă , atunci . Declarația compactă este formulată după cum urmează: Produsul scalar a doi vectori este zero dacă și numai dacă vectorii dați sunt ortogonali. Notație matematică scurtă:

! Notă : repeta fundamentele logicii matematice: pictograma de consecință logică cu două fețe este de obicei citită „dacă și numai atunci”, „dacă și numai dacă”. După cum puteți vedea, săgețile sunt direcționate în ambele direcții - "de la aceasta urmează asta și invers - de la aceasta urmează asta". Care este, apropo, diferența față de pictograma de urmărire unidirecțională? Pretenții icon doar asta că „din aceasta urmează aceasta”, și nu faptul că este adevărat invers. De exemplu: , dar nu orice animal este o panteră, deci pictograma nu poate fi folosită în acest caz. În același timp, în locul pictogramei Poate sa utilizați pictograma cu o singură față. De exemplu, în timp ce rezolvăm problema, am aflat că am ajuns la concluzia că vectorii sunt ortogonali: - o astfel de înregistrare va fi corectă și chiar mai potrivită decât .

Al treilea caz este de mare importanță practică., deoarece vă permite să verificați dacă vectorii sunt ortogonali sau nu. Vom rezolva această problemă în a doua secțiune a lecției.

Proprietățile produsului punct

Să revenim la situația când doi vectori co-regizat. În acest caz, unghiul dintre ele este zero, , iar formula produsului scalar ia forma: .

Ce se întâmplă dacă un vector este înmulțit cu el însuși? Este clar că vectorul este co-direcționat cu el însuși, așa că folosim formula simplificată de mai sus:

Numărul este sunat pătrat scalar vector , și sunt notate ca .

Prin urmare, pătratul scalar al unui vector este egal cu pătratul lungimii vectorului dat:

Din această egalitate, puteți obține o formulă pentru calcularea lungimii unui vector:

În timp ce pare obscur, însă sarcinile lecției vor pune totul la locul său. Pentru a rezolva probleme, avem și noi nevoie proprietățile produsului punctual.

Pentru vectori arbitrari și orice număr, următoarele proprietăți sunt adevărate:

1) - deplasabil sau comutativ legea produsului scalar.

2) - distributie sau distributiv legea produsului scalar. Mai simplu spus, puteți deschide paranteze.

3) - combinație sau asociativ legea produsului scalar. Constanta poate fi scoasă din produsul scalar.

Adesea, tot felul de proprietăți (care trebuie și dovedite!) sunt percepute de studenți ca un gunoi inutil, care trebuie doar memorat și uitat în siguranță imediat după examen. S-ar părea că ceea ce este important aici, toată lumea știe deja din clasa întâi că produsul nu se schimbă dintr-o permutare a factorilor:. Trebuie să vă avertizez, la matematica superioară cu o astfel de abordare este ușor să dați peste cap lucrurile. Deci, de exemplu, proprietatea comutativă nu este valabilă pentru matrici algebrice. Nu este adevărat pentru produs încrucișat al vectorilor. Prin urmare, este cel puțin mai bine să vă aprofundați în orice proprietăți pe care le veți întâlni în cursul matematicii superioare pentru a înțelege ce se poate și ce nu se poate face.

Exemplul 3

.

Soluţie: Mai întâi, să clarificăm situația cu vectorul. Despre ce e vorba? Suma vectorilor și este un vector bine definit, care este notat cu . Interpretarea geometrică a acțiunilor cu vectori poate fi găsită în articol Vectori pentru manechine. Același pătrunjel cu un vector este suma vectorilor și .

Deci, conform condiției, este necesar să se găsească produsul scalar. În teorie, trebuie să aplicați formula de lucru , dar problema este că nu știm lungimile vectorilor și unghiul dintre ei. Dar în condiția, parametrii similari sunt dați pentru vectori, așa că vom merge pe altă cale:

(1) Înlocuim expresiile vectorilor .

(2) Deschidem parantezele după regula înmulțirii polinoamelor, un răsucitor de limbi vulgar poate fi găsit în articol Numere complexe sau Integrarea unei funcții fracționale-raționale. Nu mă voi repeta =) Apropo, proprietatea distributivă a produsului scalar ne permite să deschidem parantezele. Avem dreptul.

(3) În primul și ultimul termen, scriem compact pătratele scalare ale vectorilor: . În al doilea termen, folosim comutabilitatea produsului scalar: .

(4) Iată termeni similari: .

(5) În primul termen, folosim formula pătratului scalar, care a fost menționată nu cu mult timp în urmă. În ultimul termen, respectiv, funcționează același lucru: . Al doilea termen este extins conform formulei standard .

(6) Înlocuiți aceste condiții , și efectuați cu ATENȚIE calculele finale.

Răspuns:

Valoarea negativă a produsului scalar afirmă faptul că unghiul dintre vectori este obtuz.

Sarcina este tipică, iată un exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 4

Aflați produsul scalar al vectorilor și , dacă se știe că .

Acum o altă sarcină comună, doar pentru noua formulă de lungime a vectorului. Denumirile de aici se vor suprapune puțin, așa că pentru claritate, o voi rescrie cu o altă literă:

Exemplul 5

Aflați lungimea vectorului dacă .

Soluţie va fi după cum urmează:

(1) Oferim expresia vectorială .

(2) Folosim formula lungimii: , în timp ce avem o expresie întreagă ca vector „ve”.

(3) Folosim formula școlară pentru pătratul sumei. Atenție la cum funcționează în mod curios aici: - de fapt, acesta este pătratul diferenței și, de fapt, așa este. Cei care doresc pot rearanja vectorii pe alocuri: - a ieșit același lucru până la o rearanjare a termenilor.

(4) Ceea ce urmează este deja familiar din cele două probleme anterioare.

Răspuns:

Deoarece vorbim despre lungime, nu uitați să indicați dimensiunea - „unități”.

Exemplul 6

Aflați lungimea vectorului dacă .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Continuăm să stoarcem lucruri utile din produsul scalar. Să ne uităm din nou la formula noastră . După regula proporției, resetăm lungimile vectorilor la numitorul părții stângi:

Să schimbăm piesele:

Care este sensul acestei formule? Dacă se cunosc lungimile a doi vectori și produsul lor scalar, atunci se poate calcula cosinusul unghiului dintre acești vectori și, în consecință, unghiul însuși.

Este produsul scalar un număr? Număr. Lungimile vectorului sunt numere? Numerele. Deci o fracție este și un număr. Și dacă cosinusul unghiului este cunoscut: , atunci folosind funcția inversă este ușor să găsiți unghiul în sine: .

Exemplul 7

Aflați unghiul dintre vectorii și , dacă se știe că .

Soluţie: Folosim formula:

În etapa finală a calculelor, a fost folosită o tehnică - eliminarea iraționalității în numitor. Pentru a elimina iraționalitatea, am înmulțit numărătorul și numitorul cu .

Astfel, dacă , Acea:

Valorile funcțiilor trigonometrice inverse pot fi găsite prin tabel trigonometric. Deși acest lucru se întâmplă rar. În problemele de geometrie analitică, un urs stângace apare mult mai des, iar valoarea unghiului trebuie găsită aproximativ folosind un calculator. De fapt, vom vedea această imagine din nou și din nou.

Răspuns:

Din nou, nu uitați să specificați dimensiunea - radiani și grade. Personal, pentru a „elimina în mod deliberat toate întrebările”, prefer să le indică pe amândouă (cu excepția cazului în care, bineînțeles, prin condiție, se cere să prezinte răspunsul doar în radiani sau doar în grade).

Acum vei putea face față singur unei sarcini mai dificile:

Exemplul 7*

Sunt date lungimile vectorilor și unghiul dintre ei. Aflați unghiul dintre vectorii , .

Sarcina nu este atât de dificilă, ci multidirecțională.
Să analizăm algoritmul de soluție:

1) În funcție de condiție, este necesar să găsiți unghiul dintre vectori și , deci trebuie să utilizați formula .

2) Găsim produsul scalar (vezi Exemplele nr. 3, 4).

3) Aflați lungimea vectorului și lungimea vectorului (vezi Exemplele nr. 5, 6).

4) Sfârșitul soluției coincide cu Exemplul nr. 7 - cunoaștem numărul , ceea ce înseamnă că este ușor de găsit unghiul în sine:

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției.

A doua secțiune a lecției este dedicată aceluiași produs punctual. Coordonatele. Va fi chiar mai ușor decât în ​​prima parte.

produsul punctual al vectorilor,
dat de coordonate în bază ortonormală

Răspuns:

Inutil să spun că a face cu coordonatele este mult mai plăcută.

Exemplul 14

Aflați produsul scalar al vectorilor și dacă

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Aici puteți folosi asociativitatea operației, adică nu numărați, ci imediat scoateți triplul din produsul scalar și înmulțiți cu acesta ultimul. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

La sfârșitul paragrafului, un exemplu provocator de calculare a lungimii unui vector:

Exemplul 15

Găsiți lungimile vectorilor , Dacă

Soluţie: din nou, metoda din secțiunea anterioară se sugerează: dar există o altă cale:

Să găsim vectorul:

Și lungimea sa după formula trivială :

Produsul scalar nu este deloc relevant aici!

Cât de ieșit este atunci când se calculează lungimea unui vector:
Stop. De ce să nu profitați de proprietatea evidentă a lungimii unui vector? Ce se poate spune despre lungimea unui vector? Acest vector este de 5 ori mai lung decât vectorul. Direcția este opusă, dar nu contează, pentru că vorbim de lungime. Evident, lungimea vectorului este egală cu produsul modul numere pe lungimea vectorului:
- semnul modulului „mănâncă” posibilul minus al numărului.

Prin urmare:

Răspuns:

Formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori care sunt date prin coordonate

Acum avem informații complete, astfel încât formula derivată anterior pentru cosinusul unghiului dintre vectori exprimați în termeni de coordonate vectoriale:

Cosinusul unghiului dintre vectorii planiși , dat în baza ortonormală , se exprimă prin formula:
.

Cosinusul unghiului dintre vectorii spațiali, dat în baza ortonormală , se exprimă prin formula:

Exemplul 16

Sunt date trei vârfuri ale unui triunghi. Găsiți (unghiul vârfului).

Soluţie: După condiție, desenul nu este necesar, dar totuși:

Unghiul necesar este marcat cu un arc verde. Reamintim imediat denumirea școlară a unghiului: - atenție deosebită la mijloc litera - acesta este vârful unghiului de care avem nevoie. Pentru concizie, ar putea fi scris și simplu.

Din desen este destul de evident că unghiul triunghiului coincide cu unghiul dintre vectori și , cu alte cuvinte: .

Este de dorit să înveți cum să efectuezi analiza efectuată mental.

Să găsim vectorii:

Să calculăm produsul scalar:

Și lungimile vectorilor:

Cosinusul unghiului:

Este această ordine a sarcinii pe care o recomand neaștepților. Cititorii mai avansați pot scrie calculele „într-o singură linie”:

Iată un exemplu de valoare a cosinusului „proastă”. Valoarea rezultată nu este finală, așa că nu prea are rost să scăpăm de iraționalitatea din numitor.

Să găsim unghiul:

Dacă te uiți la desen, rezultatul este destul de plauzibil. Pentru a verifica unghiul poate fi măsurat și cu un raportor. Nu deteriorați învelișul monitorului =)

Răspuns:

În răspuns, nu uita că întrebat despre unghiul triunghiului(și nu despre unghiul dintre vectori), nu uitați să indicați răspunsul exact: și valoarea aproximativă a unghiului: găsit cu un calculator.

Cei cărora le-a plăcut procesul pot calcula unghiurile și se pot asigura că egalitatea canonică este adevărată

Exemplul 17

Un triunghi este dat în spațiu de coordonatele vârfurilor sale. Aflați unghiul dintre laturile și

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției

O mică secțiune finală va fi dedicată proiecțiilor, în care produsul scalar este și „implicat”:

Proiecția unui vector pe un vector. Proiecție vectorială pe axele de coordonate.
Cosinusuri de direcție vectorială

Luați în considerare vectorii și:

Proiectăm vectorul pe vector, pentru aceasta omitem de la începutul și sfârșitul vectorului perpendiculare pe vector (linii punctate verzi). Imaginează-ți că razele de lumină cad perpendicular pe un vector. Apoi segmentul (linia roșie) va fi „umbra” vectorului. În acest caz, proiecția unui vector pe un vector este LUNGIMEA segmentului. Adică PROIECȚIA ESTE UN NUMĂR.

Acest NUMĂR este notat după cum urmează: , "vector mare" denotă un vector CARE proiect, „vector indice mic” denotă vectorul PE care este proiectat.

Intrarea în sine arată astfel: „proiecția vectorului „a” pe vectorul „fi””.

Ce se întâmplă dacă vectorul „fi” este „prea scurt”? Desenăm o linie dreaptă care conține vectorul „fi”. Și vectorul „a” va fi proiectat deja în direcția vectorului „fi”, pur și simplu - pe o linie dreaptă care conține vectorul „fi”. Același lucru se va întâmpla dacă vectorul „a” este pus deoparte în al treizecilea regat - va fi proiectat în continuare cu ușurință pe linia care conține vectorul „fi”.

Dacă unghiulîntre vectori picant(ca in poza), atunci

Dacă vectorii ortogonală, atunci (proiecția este un punct ale cărui dimensiuni sunt presupuse a fi zero).

Dacă unghiulîntre vectori bont(în figură, rearanjați mental săgeata vectorului), apoi (aceeași lungime, dar luată cu semnul minus).

Lăsați deoparte acești vectori dintr-un punct:

Evident, la mutarea unui vector, proiecția acestuia nu se modifică

1. Definiție și proprietăți simple. Să luăm vectori nenuli a și b și să-i lăsăm deoparte de un punct arbitrar O: OA = a și OB = b. Valoarea unghiului AOB se numește unghiul dintre vectorii a și b și se notează (a,b). Dacă cel puțin unul dintre cei doi vectori este zero, atunci unghiul dintre ei, prin definiție, este considerat drept. Rețineți că, prin definiție, unghiul dintre vectori este cel puțin 0 și cel mult . Mai mult, unghiul dintre doi vectori nenuli este egal cu 0 dacă și numai dacă acești vectori sunt codirecționali și egali cu dacă și numai dacă sunt în direcții opuse.

Să verificăm că unghiul dintre vectori nu depinde de alegerea punctului O. Acest lucru este evident dacă vectorii sunt coliniari. În caz contrar, lăsăm deoparte un punct arbitrar O 1 vectorii O 1 A 1 = a și o 1 ÎN 1 = b și rețineți că triunghiurile AOB și A 1 DESPRE 1 ÎN 1 sunt egale pe trei laturi, deoarece |OA| = |O 1 A 1 | = |a|, |OB| = |O 1 ÎN 1 | = |b|, |AB| = |A 1 ÎN 1 | = |b–а|. Prin urmare, unghiurile AOB și A 1 DESPRE 1 ÎN 1 sunt egale.

Acum putem da principalul lucru în acest paragraf

(5.1) Definiție. Produsul scalar a doi vectori a și b (notat cu ab) este numărul 6 , egal cu produsul lungimilor acestor vectori și cosinusul unghiului dintre vectori. Pe scurt vorbind:

ab = |a||b|cos (a,b).

Operația de găsire a produsului scalar se numește înmulțire scalară a vectorilor. Produsul scalar aa al unui vector cu el însuși se numește pătratul scalar al acestui vector și se notează cu a 2 .

(5.2) Pătratul scalar al unui vector este egal cu pătratul lungimii acestuia.

 Dacă |a|  0, atunci (a,a) = 0, de unde a 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . Dacă a = 0, atunci a 2 = |a| 2 = 0. 

(5.3) Inegalitatea lui Cauchy. Modulul produsului scalar a doi vectori nu depășește produsul modulelor factorilor: |ab| |a||b|. În acest caz, egalitatea se realizează dacă și numai dacă vectorii a și b sunt coliniari.

 Prin definiție |ab| = ||a||b|cos (a,b)| = |a||b||cos (a,b)|  |a||b. Acest lucru demonstrează însăși inegalitatea Cauchy. Acum să observăm. că pentru vectorii nenuli a și b egalitatea în ea se realizează dacă și numai dacă |cos (a,b)| = 1, adică la (a,b) = 0 sau (a,b) =  . Acesta din urmă este echivalent cu faptul că vectorii a și b sunt co-direcționați sau direcționați opus, adică. coliniare. Dacă cel puțin unul dintre vectorii a și b este zero, atunci ei sunt coliniari și |ab| = |a||b| = 0. 

2. Proprietăţile de bază ale înmulţirii scalare. Acestea includ următoarele:

(CS1) ab = ba (comutativitate);

(CS2) (xa)b = x(ab) (asociativitate);

(CS3) a(b+c) = ab + ac (distributivitate).

Comutativitatea aici este evidentă, deoarece ab =  ba. Asociativitatea pentru x = 0 este, de asemenea, evidentă. Dacă x > 0 atunci

(ha)b = |ha||b|cos (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

pentru (xa, b) = (a,b) (din codirecția vectorilor xa și a - Fig. 21). Dacă x< 0, atunci

(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

pentru (xa, b) = –  (a,b) (din sensul invers al vectorilor xa și a - Fig.22). Astfel, asociativitatea este și ea dovedită.

Demonstrarea distributivității este mai dificilă. Pentru asta avem nevoie de așa ceva

(5.4) Lema. Fie a un vector diferit de zero paralel cu dreapta l iar b un vector arbitrar. Apoi proiecția ortogonalăb" a vectorului b la dreapta l este egal cu
.



Dacă b = 0, atuncib" = 0 și ab = 0, astfel încât în ​​acest caz lema este adevărată. În cele ce urmează, vom presupune că vectorul b" este diferit de zero. În acest caz, dintr-un punct arbitrar O al dreptei l, lăsăm deoparte vectorii OA = a și OB = b și, de asemenea, aruncăm perpendiculara BB "de la punctul B la dreapta l. Prin definițieOB" = b" Și (a,b) =  AOW. Denota AOB prin și demonstrați lema separat pentru fiecare dintre următoarele trei cazuri:

1)  <  /2. Atunci vectorii a și co-regizat (Fig. 23) și

b" = =
=
.

2)  >  /2 . Atunci vectorii a șib„direcționată opus (Fig. 24) și

b" = – = –
= .

3)  =  /2. Apoib" = 0 și ab = 0, de undeb" =
= 0. 

Demonstrăm acum distributivitatea lui (CS3). Este evident dacă vectorul a este zero. Lasă a  0. Apoi trageți o linie l || a, și notează prinb" Șic" proiecții ortogonale ale vectorilor b și c pe ea și prind" să fie proiecția ortogonală a vectorului d = b + c pe acesta. Prin teorema 3.5d" = b"+ c„. Aplicând Lema 5.4 la ultima egalitate, obținem egalitatea
=
. Înmulțind scalar cu a, aflăm că 2 =
, de unde ad = ab+ac, ceea ce urma să fie demonstrat.

Proprietățile înmulțirii scalare a vectorilor demonstrate de noi sunt similare proprietăților corespunzătoare de înmulțire a numerelor. Dar nu toate proprietățile înmulțirii numerelor sunt transferate la înmulțirea scalară a vectorilor. Iată exemple tipice:

1

) Dacă ab = 0, atunci aceasta nu înseamnă că a = 0 sau b = 0. Exemplu: doi vectori nenuli care formează un unghi drept.

2) Dacă ab = ac, atunci aceasta nu înseamnă că b = c, chiar dacă vectorul a este diferit de zero. Exemplu: b și c sunt doi vectori diferiți de aceeași lungime, formând unghiuri egale cu vectorul a (Fig. 25).

3) Nu este adevărat că întotdeauna a(bc) = (ab)c: fie numai pentru că validitatea unei asemenea egalități pentru bc, ab 0 implică faptul că vectorii a și c sunt coliniari.

3. Ortogonalitatea vectorilor. Doi vectori sunt numiți ortogonali dacă unghiul dintre ei este drept. Ortogonalitatea vectorilor este indicată de pictogramă .

Când am definit unghiul dintre vectori, am convenit să considerăm unghiul dintre vectorul zero și orice alt vector ca o linie dreaptă. Prin urmare, vectorul zero este ortogonal cu oricare. Acest acord ne permite să dovedim acest lucru

(5.5) Semnul ortogonalității a doi vectori. Doi vectori sunt ortogonali dacă și numai dacă produsul lor punctual este 0.

 Fie a și b vectori arbitrari. Dacă cel puțin unul dintre ele este zero, atunci ele sunt ortogonale, iar produsul lor scalar este egal cu 0. Astfel, în acest caz teorema este adevărată. Să presupunem acum că ambii vectori dați sunt nenuli. Prin definiție, ab = |a||b|cos (a,b). Deoarece prin presupunerea noastră numerele |a| și |b| nu sunt egale cu 0, atunci ab = 0 cos (a, b) = 0  (a, b) = /2, care urma să fie dovedit.

Egalitatea ab = 0 este adesea luată ca definiție a ortogonalității vectorilor.

(5.6) Corolar. Dacă vectorul a este ortogonal cu fiecare dintre vectorii a 1 , …, A P , atunci este, de asemenea, ortogonal cu oricare dintre combinațiile lor liniare.

 Este suficient de observat că din egalitatea aa 1 = … = aa P = 0 implică egalitatea a(x 1 A 1 + … +x P A P ) = x 1 (Ah 1 ) + … + x P (Ah P ) = 0. 

Din Corolarul 5.6 este ușor de derivat criteriul școlar pentru perpendicularitatea unei drepte și a unui plan. Într-adevăr, să fie o dreaptă MN perpendiculară pe două drepte care se intersectează AB și AC. Atunci vectorul MN este ortogonal cu vectorii AB și AC. Să luăm orice linie dreaptă DE în planul ABC. Vectorul DE este coplanar cu vectorii necoliniari AB și AC și, prin urmare, se extinde în ei. Dar atunci este și ortogonală cu vectorul MN, adică dreptele MN și DE sunt perpendiculare. Rezultă că dreapta MN este perpendiculară pe orice dreaptă din planul ABC, ceea ce urma să fie demonstrat.

4. Baze ortonormale. (5.7) Definiție. O bază a unui spațiu vectorial se spune că este ortonormală dacă, în primul rând, toți vectorii săi au lungimea unitară și, în al doilea rând, oricare doi dintre vectorii săi sunt ortogonali.

Vectorii unei baze ortonormale în spațiul tridimensional sunt de obicei notați cu literele i, j și k, iar pe planul vectorial cu literele i și j. Luând în considerare semnul de ortogonalitate a doi vectori și egalitatea pătratului scalar al unui vector cu pătratul lungimii acestuia, condițiile de ortonormalitate pentru baza (i,j,k) spațiului V 3 se poate scrie asa:

(5.8) i 2 = j 2 = k 2 = 1 , ij = ik = jk = 0,

și baza (i,j) a planului vectorial - după cum urmează:

(5.9) i 2 = j 2 = 1, ij = 0.

Fie vectorii a și b să aibă în baza ortonormală (i,j,k) spațiile V 3 coordonate (a 1 , A 2 , A 3 ) și (b 1 b 2 ,b 3 ) respectiv. Apoiab = (A 1 i+A 2 j+A 3 k)(b 1 i+b 2 j+b 3 k) = a 1 b 1 i 2 +a 2 b 2 j 2 +a 3 b 3 k 2 +a 1 b 2 ij+a 1 b 3 ik+a 2 b 1 ji+a 2 b 3 jk+a 3 b 1 ki+a 3 b 2 kj = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 . Acesta este modul în care formula pentru produsul scalar al vectorilor a (a 1 ,A 2 ,A 3 ) și b(b 1 ,b 2 ,b 3 ) date de coordonatele lor în baza ortonormală a spațiului V 3 :

(5.10) ab = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 .

Pentru vectorii a(a 1 ,A 2 ) și b(b 1 ,b 2 ) dat de coordonatele lor în bază ortonormală pe planul vectorial, are forma

(5.11) ab = a 1 b 1 +a 2 b 2 .

Să substituim b = a în formula (5.10). Rezultă că în baza ortonormală a 2 = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 . Pentru că a 2 = |a| 2 , obținem o astfel de formulă pentru a afla lungimea vectorului a (a 1 ,A 2 ,A 3 ) definit de coordonatele sale în baza ortonormală a spațiului V 3 :

(5.12) |a| =
.

Pe planul vectorial, în virtutea (5.11), ia forma

(5.13) |a| =
.

Înlocuind b = i, b = j, b = k în formula (5.10), obținem încă trei egalități utile:

(5.14) ai = a 1 , aj = a 2 , ak = a 3 .

Simplitatea formulelor de coordonate pentru găsirea produsului scalar al vectorilor și lungimea vectorului este principalul avantaj al bazelor ortonormale. Pentru baze non-ortonormale, aceste formule sunt, în general, incorecte, iar aplicarea lor în acest caz este o greșeală gravă.

5. Cosinusuri de direcție. Luați pe o bază ortonormală (i,j,k) spațiile V 3 vectorul a(a 1 ,A 2 ,A 3 ). Apoiai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (a, i).Pe de altă parte, ai = a 1 conform formulei 5.14. Se pare că

(5.15) a 1 = |a|cos (a, i).

si, la fel,

A 2 = |a|cos (a,j) și 3 = |a|cos (a, k).

Dacă vectorul a este unitate, aceste trei egalități iau o formă deosebit de simplă:

(5.16) A 1 = cos (a, i),A 2 = cos (a, j),A 3 = cos (a, k).

Cosinusurile unghiurilor formate de un vector cu vectorii unei baze ortonormale se numesc cosinusuri de direcție ale acestui vector în baza dată. După cum arată formulele 5.16, coordonatele unui vector unitar pe o bază ortonormală sunt egale cu cosinusurile direcției sale.

Din 5.15 rezultă că a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = |a| 2 (cos 2  (a,i)+cos 2  (a,j)+cos 2  (a, k)). Pe de altă parte, a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = |a| 2 . Se pare că

(5.17) suma cosinusurilor direcției pătrate ale unui vector diferit de zero este egală cu 1.

Acest fapt este util pentru rezolvarea unor probleme.

(5.18) Problemă. Diagonala unui paralelipiped dreptunghiular se formează cu două dintre marginile sale ies din aceleași unghiuri de vârf de 60 . Ce unghi formează cu a treia muchie care iese din acest vârf?

 Luați în considerare o bază ortonormală a spațiului V 3 , ai cărui vectori sunt reprezentați de muchiile paralelipipedului care ies din vârful dat. Deoarece vectorul diagonal formează unghiuri de 60 cu doi vectori ai acestei baze , pătratele a două dintre cosinusurile sale de trei direcții sunt egale cu cos 2 60  = 1/4. Prin urmare, pătratul celui de-al treilea cosinus este 1/2, iar acest cosinus în sine este 1/
. Deci unghiul dorit este de 45 . 