Пусть балка имеет два состояния:

Где ∆ 12 – перемещение в точке 1 от действия силы, приложенной в точке 2.

∆ 21 – перемещение в точке 2 от силы, приложенной в точке 1.

Для вывода теоремы сначала балку загружаем силой F 1 , а затем силой F 2

Совершенная работа равна: W=W 11 +W 22 +W 12 = + + F 1 ∙∆ 12

W=W 22 +W 11 +W 21 = + + F 2 ∙∆ 21

Т.к. силы одинаковы, то и работа одинакова, из этого следует: F 1 ∙∆ 12 = F 2 ∙∆ 21 – теорема о взаимности работ (теорема Бетти): Работа сил первого состояния на перемещение второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещение первого состояния.

Если принять F 1 =F 2 =1 (безразмерная величина), то получим теорему о взаимности перемещений (теорема Максвелла): δ 12 =δ 21 - перемещение от единичной силы. Th: перемещение в точке приложения первой единичной силы по её направлению, вызванной второй единичной силой равно перемещению в точке приложения второй единичной силы по её направлению, вызванной первой единичной силой.

10.Графоаналитеческий способ решения интеграла Мора (способ Верещагина)

Если загружен. сис-мы имеют ряд участков с различными изгиб. моментами, то вычисления интеграла несколько затруднительно. Поэтому применяют способ Верещагина.

Пусть груз. эпюра моментов имеет криволинейное очертание, а единич. эпюра изгиб. моментов имеет линейное(рисунок).В этом случае интеграл Мора .(ВЫВОД)

; dw =S y - статический момент площади груз. Эпюры моментов относительно оси У.

Статический момент любой фигуры равен произведению площади на расстояние от оси до центра тяжести фигуры где w- площадь грузовой эпюры М F ; Z c - растояние до центра тяжести.

; Однако имея значение момента от единичной нагрузки под центром тяжести груз. Эпюры .Поскольку к балке может быть приложена несколько нагрузок, то перемещение определяют для каждого участка балки – формула Верещагина, т.е перемещение равно площади криволинейной эпюры на ординату прямолинейной расположенной под центром тяжести криволинейной эпюры. В практических расчётах площадь груз. эпюры разбивают на простейшие эпюры (рисунки).

Статически неопределимые системы.Метод расчета. Основная и эквивалентная система.

Статически неопределимыми балками(рамами) наз. балки(рамы) у которых все неизвестные реакции опор невозможно определить используя только уравнения статики, тк они имеют линии связи(реакции). Степень статич неопред-ти опред-ся разностью между числами неизвестных реакций и уравнений статики.

Балки имеют 4 опорные связи,т.е 4 опорные р-ции. А ур-й статики для плоской сист. Можно составить 3, следовательно балка явл. 1 раз статич. Неопределимой. Для раскрытия статической неопред-ти необход. к ур-ю статики составить доп. Ур-е исходя из перемещения сист. Их кол-во опред. степень статич неопределимости. Если линейных неизвестных несколько то доп. ур-я сост-ся исходя из деформационных условий(прогибов) на опору балки используя метод начальных параметров.

Сост. Ур-я статики и доп. Ур-я для заданной балки: Z=0; Y=0; M(B)=0.

Доп. Ур-е запишем из условия, что прогиб на опоре B=0 . EIY(B)=0. У некоторых сист. степень статич. неопред. высокая(неразрезные балки). Доп. ур-е составляеться исходя из деформационных условий(углов поворота сечения) на промежуточных опорах балкииспользуя метод сил. Из совместного решения ур-й статики и доп-х ур-й находим все неизвестные реакции

Установив степень статической неопределимости составляеться основная система. Под основной системой понимаеться такая статически определимая система, которая получается из статически неопределимой путем отбрасывания линейных связей.

Связей 6, уравнений статики 3. 6-3=3 - 3 раза статич неопред сист

Основных систем можно выбрать множество. При выборе основной системы необходимо что бы она была геометрически и мгновенно неизменяемой.

«геометрич измененная», «мгновенно измененная»

К мгновенно измененным сист относиться системы у которых реакции опор пересекаются в одной точке. Если к основной сист. приложить отброшенные связи и нагрузку, то получим эквивалентную систему.

рассмотрим 1-ю осн ситему. Рисунок

рассмотрим 2-ю основную систему. Рисунок

Основы метода сил.

расчет по методу сил осуществляеться в след. порядке:

1) Устанавливаем степень статической неопределимости

2) Выбираем основную и эквивалентную системы. отбрасывая линии связи и заменяя их неизвестными силами Х1,Х2,Х3.

3) Записывают условия эквивалентности заданой и эквиваленнтной систем по перемещению

заданая система эквив.сист

Если у заданной сист перемещение по направлению неизвестных сил Х1,х2,Х3 отсутствует.то условия эквивалентности будут иметь вид: =0, , =0.

Выразим эти перемещения от каждой неизвестной силы и от внешней нагрузки

Перемещения:

Что касается неизвестных Х1,Х2,Х3, то их влияние на перемещение можно представить ввиде:

Х1; = Х2; = Х3 т.е определение перемещений от единич. сил приложенных в направл. связей умножают их на соответствующие неизвестные силы X. после этого ур-е перемещений по направлению 3-х неизвестных связей примут вид.

Теорема о взаимности работ. Теорема о взаимности перемещений

Рассмотрим линейно-деформируемую систему в двух различных состояниях, отвечающих двум различным нагрузкам (рис. 5.15).Для простоты выкладок рассмотрим простую двухопорную балку, последовательно нагружаемую двумя сосредоточенными силами.

Рис 15. Прямой и обратный порядок приложения нагрузки

Приравнивая полные работы при прямом и обратном порядке приложения нагрузок, получим

Работа, фактически совершаемая силой на перемещениях, вызываемых другой силой или силами, называется дополнительной работой.

Согласно теореме о взаимности работ, работа сил первого состояния на перемещение второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещение первого состояния.

Аналогичным образом может быть доказана также взаимность дополнительной работы внутренних сил.

Рис 16. Взаимность дополнительной работы внутренних сил.

Используя закон сохранения энергии, можно показать, что дополнительная работа внешних сил равна по абсолютному значению дополнительной работе внутренних сил:

Принимая

получим теорему о взаимности перемещений.

Перемещение точки приложения единичной силы по ее направлению, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точки, приложения второй единичной силы по направлению последней, вызванному действием первой единичной силы.

Определение перемещений методом Мора

Вместо системы сил F 1 и F 2 ,введем грузовое и вспомогательное состояния:

Рис 17. Введение грузового и вспомогательного состояний

Запишем теорему о взаимности работ для этих двух состояний:

После суммирования по отдельным участкам балки получим интеграл Мора

Пример 5.2. Рассмотрим пример на использование интеграла Мора на определение перемещений для консольной балки, нагруженной сосредоточенной силой

Рис 18. Построение грузовой и вспомогательной эпюры для консольной балки

Используем интеграл Мора.

На практике использование такого подхода затруднено. Эта трудность преодолевается организацией интегрирования, интегрирование легко реализуется на компьютере.

Графоаналитический способ определения перемещения при изгибе. Способ Верещагина

Введем два упрощающих обстоятельства:

Линейная функция в пределе рассматриваемого участка.

Рис 19 Графоаналитическое вычисление интеграла Мора

Последний интеграл представляет собой статический момент фигуры ABCD относительно оси y. Произведение

представляет собой ординату, взятую на вспомогательной эпюре под центром тяжести грузовой.

гдеn - номер участка.

Пример 5.3. Еще раз рассмотрим консольную балку

Рис 20. Использование способа Верещагина для консольной балки

Более сложные случаи:

1. Умножение трапеции на трапецию

Рис. 21. Умножение трапеции на трапецию

Для умножения трапеции на трапецию можно перейти к умножению прямоугольника на трапецию и треугольника на трапецию.

Определение умножения прямоугольника на трапецию означает, что А f берем по прямоугольнику, а M к с по трапеции.

Правило перестановок действует только на линейных эпюрах.

2. Параболический сегмент

Рис 22. Площадь и положение центра тяжести для параболического сегмента

3. Вогнутый параболический треугольник

Рис 23. Площадь и положение центра тяжести для вогнутого параболического треугольника

4. Выпуклый треугольник

Рис 24. Площадь и положение центра тяжести для выпуклого параболического треугольника

5. Выпуклая параболическая трапеция.

Рис 25. Разбиение площадей и положение центров тяжести для выпуклой параболической трапеции

Пример: 5.4. Рассмотрим более сложный случай нагружения консольной балки, кода действуют все три вида внешних нагрузок. Необходимо определить максимальный угол поворота балки

Рис. Консольная балка при одновременном действии трех нагрузок

I способ. Заменим эпюру М f совокупностью более простых фигур.

то есть вершина параболы находится за пределами балки.

Для построения вспомогательной эпюры необходимо:

1. Рассмотрим некоторую балку без внешних нагрузок.

2. В заданной точке прикладываем F=1 или М=1 соответственно для определения прогиба или угла поворота. Направление действия внешних нагрузок - произвольно.

3. Считая единичную нагрузку внешней, определяем реакции и строим эпюры.

Формула для определения угла поворота способом Верещагина примет следующий вид

где - ордината, взятая на вспомогательной эпюре М к под центром тяжести грузовой эпюры - с учетом разбития грузовой на элементарные фигуры

При построении изогнутой оси балки мы используем:

1. Знак обобщенного перемещения. Для рассмотренного случая точка поворачивается по часовой стрелке.

2. Используем знак изгибающего момента на грузовой эпюре.

Примерный вид изогнутой оси балки показан на рис. 5.24.

II способ. Использование принципа суперпозиций.

Рис Использования принципа суперпозиции

Формулировка теоремы о взаимности работ (теоремы Бетти) , доказанная в 1872 г Э. Бетти: возможная работа сил первого состояния на соответствующих перемещениях, вызванных силами второго состояния, равна возможной работе сил второго состояния на соответствующих перемещениях, вызванных силами первого состояния.

24. Теорема о взаимности перемещений (Максвелла)

Пусть и.Теорема о взаимности перемещений с учетом принятого обозначения перемещения от единичной силы имеет вид: .Теорема о взаимности перемещений была доказана Максвеллом.Формулировка теоремы о взаимности перемещений : перемещение точки приложения первой единичной силы, вызванное действием второй силы, равно перемещению точки приложения второй единичной силы, вызванному действием первой единичной силы

25. теорема Релея о взаимноти реакций.

26. теорема Гвоздева о взаимности перемещений и реакций.

27. Определение перемещений от нагрузки. Формула Мора.

Формула мора

28. Определение перемещений от температурного воздействия и от смещения.

Температурное воздействие.

Осадка

29. Правило Верещагина. Формула перемножения трапеций, формула Симпсона.

Формула умножения трапеций.

Формула умножения криволинейных трапеций

31. Свойства статически неопределимых систем.

Для определения усилий и реакций уравнений статики недостаточно, надо привлекать уравнения неразрывности деформации и перемещений.

Усилия и реакции зависят от соотношения жесткостей отдельных элементов.

Изменение температуры и осадка опоры вызывают появление внутренних усилий.

При отсутствии нагрузки возможно состояние самонапряжения.

32. Определение степени статической неопределимости, принципы выбора основной системы метода сил.

Для статически неопределимых систем W<0

Число лишних связей определяется по формуле:

Л = - W + 3К ,

где W– число независимых геометрических параметров, определяющих положение конструкции на плоскости без учета деформации конструкции (число степеней свободы), К – число замкнутых контуров (контуры, в которых нет шарнира).

W = 3Д – 2Ш – Со

формула Чебышева для определения степени свободы, где Д – число дисков, Ш – число шарниров, Со – число опорных стержней.

ОСМС должна быть геометрически неизменяемой.

Должна быть статически определима (удаляем Л лишних связей).

Эта система должна быть простой для расчета.

Если исходная система была симметричной, то и ОСМС по возможности выбирают симметричной.

33. Канонические уравнения метода сил, их физический смысл.

Канонические уравнения:

Физический смысл:

Суммарное перемещение по направлению каждой удаленной связи должно быть = 0

34. Вычисление коэффициентов канонических уравнений, их физический смысл, проверка правильности найденных коэффициентов.

Перемещение по направлению итой удаленной связи, вызванной джитой единичной силой.

Перемещение по направлению итой удаленной связи, вызванной внешней нагрузкой.

Для того, чтобы проверить правильность найденных коэффициентов, нужно подставить их в систему канонических уравнений и найти Х1 и Х2.

Работа первой силы на перемещении ее точки приложения, вызванном второй силой равняется работе второй силы на перемещении ее точки приложения, вызванном первой силой.

(Линейно-упругие системы всегда консервативны, если загружены консервативными силами, т.е. силами, имеющими потенциал).

В качестве модели системы выберем консольную балку. Перемещения будем обозначать - перемещение по направлению силы , вызванное силой .

Нагрузим систему вначале силой , а затем приложим силу . Работа сил, приложенных к системе запишется:

(Почему два первых члена имеют множитель , а последний нет?)

Затем первой приложим силу а второй - .

Т.к. система консервативна, а также потому, что начальные и конечные состояния в обоих случаях совпадают, то работы необходимо равны, откуда следует

Если положить , то получим частный случай теоремы Бетти – теорему о взаимности перемещений.

Перемещения, вызванные единичными силами, мы будем обозначать (смысл индексов прежний). Тогда

Потенциальная энергия деформации плоской

Стержневой системы.

Будем рассматривать плоскую систему, т.е. систему все стержни которой и все силы лежат в одной плоскости. В стержнях такой системы в общем случае могут возникать при внутренних силовых факторах:

Упругая система деформируясь накапливает при этом энергию (упругую энергию) называемую потенциальной энергией деформации .

а) Потенциальная энергия деформации при растяжении и сжатии.

Потенциальная энергия накопленная в малом элементе длиной dz будет равняться работе сил приложенных к этому элементу

Потенциальная энергия для стержня:

Замечание. и - необязательно постоянные величины.

б) Потенциальная энергия при изгибе.

Для стержня:

в) Поперечные силы вызывают сдвиги, и им соответствует по

тенциальная энергия сдвига. Однако, эта энергия в большинстве случаев невелика и мы не будем ее учитывать.

Замечание. В качестве рассматриваемых объектов у нас фигурировали прямые стержни, но полученные результаты применимы и криволинейным стержням малой кривизны, у которых радиус кривизны приблизительно в 5 раз и более превосходит высоту сечения.

Потенциальная энергия для стержневой системы может быть записана:

Здесь учтено то обстоятельство, что при растяжении и сжатии сечения не поворачиваются, следовательно, изгибающие моменты при этом работы не совершают, а при изгибе не меняется расстояние по оси между смежными сечениями и работа нормальных сил равна нулю. Т.е. потенциальную энергию изгиба и растяжения – сжатия можно вычислить независимо.

Знаки стимулирования означают, что потенциальная энергия вычисляется для всей системы.

Теорема Кастельяно.

Выражение (3) показывает, что потенциальная энергия деформации является однородной квадратичной функцией и , а те в свою очередь линейно зависят от сил, действующих на систему таким образом является квадратичной функцией сил.

Теорема. Частная производная от потенциальной энергии по силе равняется перемещению точки приложения этой силы по направлению последней.

Доказательство:

Пусть - потенциальная энергия, соответствующая силам системы Рассмотрим два случая.

1) Вначале приложены все силы а затем одна из них получает малое приращение тогда полная потенциальная энергия равна:

2) Вначале приложена сила а затем прикладываются силы В этом случае потенциальная энергия равна:

Т.к. начальное и конечное состояние в обоих случаях одинаково, а система консервативна, то потенциальные энергии надо приравнять

Отбрасывая малые второго порядка, получаем

Интеграл Мора.

Теорема Кастельяно дала нам возможность определять перемещения. Эту теорему используют для отыскания перемещений в пластинках, оболочках. Однако, вычисление потенциальной энергии громоздкая процедура и мы сейчас наметим более простой и наиболее общий путь определения перемещений в стержневых системах.

Пусть задана произвольная стержневая система и нам нужно определить в ней перемещение точки по направлению , вызванное всеми силами системы -

8 страниц (Word-файл)

Посмотреть все страницы

15. Потенциальная энергия деформации при изгибе.

При изгибе, также как и при других видах деформации, работа, производимая внешними силами, затрачивается на изменение потенциальной энергии деформированного стержня.

Работа внешнего момента при упругой деформации стержня:

Где - угол поворота сечения в точке приложения момента.

Элементарная работа изгибающего (внутреннего) момента определяется из выражения (по аналогии со случаем растяжения-сжатия):

, но при изгибе имеем: .

Кривизна, как величина, обратная радиусу кривизны определяется из выражения:

, где: - модуль упругости первого рода;

Момент инерции сечения относительно нейтральной оси сечения.

Поэтому можно записать:

.

Полная работа изгибающих моментов для балки длинной l :

.

Потенциальная энергия изгиба, равная работе внутренних сил, взятая с обратным знаком, определяется из выражения:

.

Добавок потенциальной энергия за счет сдвига (для общего случая не прямого, а поперечного изгиба), соответствует работе поперечной силы. Но этот добавок по абсолютному значению невелик и при практических расчетах им обычно пренебрегают.

16. Теорема о взаимности работ и взаимности перемещений.

Рассмотрим упругую линейно деформируемую систему в двух различных состояниях, отвечающих двум различным нагрузкам P1 и P2 (рисунок 47). В данном случае простая балка нагружена в обоих состояниях простой нагрузкой (по одной сосредоточенной силе P1 и P2 ).

Рисунок 47

а) первое состояние системы (под нагрузкой Р1 );

б) второе состояние системы (под нагрузкой Р2 ).

Δ 11 – перемещение по направлению нагрузки Р1 Р1 .

Δ 21 – перемещение по направлению нагрузки Р2 в месте ее приложения от действия Р1 .

Δ 22 – перемещение по направлению нагрузки Р2 в месте ее приложения от действия Р2 .

– перемещение по направлению нагрузки Р1 в месте ее приложения от действия Р2 .

Перемещения Δ 11 к Δ 22 называются главными, а перемещения Δ 12 к Δ 21 – побочными.

Теорема: Работа внешних сил первого состояния, на перемещениях, вызванных силами второго состояния, равна работе внешних сил второго состояния на перемещениях, вызванных силами первого состояния.

Доказательство.

1) Вначале приложим силу Р1, а затем к деформированной балке приложим силу Р2 .

Подсчитаем работу, произведенную внешними силами (обращая внимание на рисунок 48).

Работа произведенная статически приложенной силой Р1 на собственном перемещении Δ 11 , вызванном этой силой, определится из выражения:

Работа, произведенная статически приложенной силой Р2 на собственном перемещении Δ 22 определится из подобного выражения:

Рисунок 48

При этом дополнительная работа уже постоянно приложенной силы Р1 на перемещении Δ 12 , вызванном силой Р2 определится из выражения:

(обращая внимание на то, что множитель 1/2 в выражении отсутствует, поскольку сила Р1 постоянна на перемещении Δ 12).

Полная работа внешних сил при рассмотренной последовательности приложении нагрузок:

.

2) Теперь вначале приложим силу Р2 , а затем к деформированной системе приложим силу Р1 .

Рассуждаем аналогично первому случаю. Работа произведенная силой Р2 на собственном перемещении Δ 22 , вызванном этой силой:

Работа, произведенная силой P 1 на собственном перемещении Δ 11:

Дополнительная работа силы P 2 на перемещении Δ 21 , вызванном силой P 1 :

(множитель 1/2 отсутствует, поскольку сила P 2 постоянна на перемещении Δ 21).

Тогда полная работа внешних сил при рассмотренной последовательности приложения нагрузок:

.

Поскольку работа сил не зависит от порядка их приложения, следовательно:

или иначе:

А для рассматриваемого случая;

.

Полагая приложенные силы единичными P 1 = P 2 =1 , получим равенство перемещений, вызванных единичными силами:

Последнее равенство доказывает теорему о взаимности перемещений:

Перемещение точки приложения единичной силы по ее направлению, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точки приложения второй единичной силы по направлению последней, вызванному действием первой единичной силы.

Аналогично можно доказать взаимность дополнительной работы внутренних сил:

Для этого рассмотрим элемент балки длиной dz (рисунок 49).