Lösning med komplexa tal. Handledning: Komplexa siffror. Modul och argument för ett komplext tal. Trigonometrisk

Klass 12 . Komplexa tal.

12.1. Definition av komplexa tal i algebraisk form. Jämförelse och representation av komplexa tal på det komplexa planet. Komplex parning. Addition, multiplikation, division av komplexa tal.

12.2. Modul, argument för ett komplext tal.

12.3. Trigonometriska och exponentiella former för att skriva ett komplext tal.

12.4. Höjning till en heltalspotens och extrahera roten av ett komplext tal.

Definition av komplexa tal i algebraisk form. Jämförelse och representation av komplexa tal på det komplexa planet. Komplex parning. Addition, multiplikation, division av komplexa tal.

Ett komplext tal i algebraisk form är talet

Var
kallad imaginär enhet Och
- riktiga nummer:
kallad verklig (riktig) del;
- imaginär del komplext tal . Formens komplexa tal
kallas rent imaginära siffror. Mängden av alla komplexa tal betecknas med bokstaven .

A-priory,

Mängden av alla reella tal är en del av uppsättningen
: . Å andra sidan finns det komplexa tal som inte hör till mängden . Till exempel,
Och
, därför att
.

Komplexa tal i algebraisk form uppstår naturligt när man löser andragradsekvationer med en negativ diskriminant.

Exempel 1. Lös ekvationen
.

Lösning. ,

Därför har den givna andragradsekvationen komplexa rötter

,
.

Exempel 2. Hitta de verkliga och imaginära delarna av komplexa tal

,

,
.

Följaktligen de verkliga och imaginära delarna av numret ,

Vilket komplext tal som helst
representeras av en vektor på det komplexa planet , som representerar ett plan med ett kartesiskt koordinatsystem
. Början av vektorn ligger vid punkten , och slutet är vid punkten med koordinater
(Figur 1.) Axel
kallas den reella axeln och axeln
- imaginär axel för det komplexa planet .

Komplexa tal jämförs med varandra endast med tecken
. . Om minst en av likheterna:
kränks alltså
. Uppteckningar av typ
inte vettigt.

Per definition komplex siffra
kallas det komplexa konjugatet av ett tal
. I det här fallet skriver de
. Det är uppenbart
. Överallt nedanför kommer en överstapel över ett komplext tal att betyda komplex konjugering.

Till exempel, .

Du kan utföra operationer på komplexa tal som addition (subtraktion), multiplikation och division.

1. Addition av komplexa tal gjort så här:

Egenskaper för tilläggsoperationen:

- egenskap av kommutativitet;

- egenskap hos associativitet.

Det är lätt att se att geometriskt tillägg av komplexa tal
betyder tillägg av de som motsvarar dem på planet vektorer enligt parallellogramregeln.

Antal subtraktion operation från numret gjort så här:

2. Multiplikation av komplexa tal gjort så här:

Egenskaper för multiplikationsoperationen:

- egenskap av kommutativitet;

- egenskap hos associativitet;

- distributionslagen.

3. Division av komplexa tal endast möjligt med
och görs så här:

Exempel 3. Hitta
, Om .

Exempel 4. Beräkna
, Om .

z, eftersom
.

.(aj!)

Det är inte svårt att kontrollera (det föreslås att du gör detta själv) giltigheten av följande påståenden:

Modul, argument för ett komplext tal.

Modulen för ett komplext tal
(modul betecknas med ) är ett icke-negativt tal
, dvs.
.

Geometrisk betydelse - längden på vektorn som representerar talet på det komplexa planet . Ekvationen
definierar mängden av alla tal (vektorer per ), vars ändar ligger på enhetscirkeln
.

Komplext talargument
(argument betecknas med
) detta är en vinkel i radianer mellan den reella axeln
och antal på det komplexa planet , och positivt om det räknas från
innan moturs, och negativt om mätt från axeln
innan medurs.

Talargumentet alltså bestäms tvetydigt, upp till en term
, Var
. Definitivt ett sifferargument bestäms inom en omgång av enhetscirkeln
på ytan . Vanligtvis behöver du hitta
inom intervallet
,detta värde kallas huvudvärdet för talargumentet och är utsedd
.

Och
tal kan hittas från ekvationen
, vart i Nödvändigtvis måste beaktas, i vilken fjärdedel av planet ligger slutet av vektorn - prick
:

Om
(första fjärdedelen av planet ), Den där ;

Om
(andra fjärdedelen av planet ), Den där;

Om
(3:e fjärdedelen av planet ), Den där ;

Om
(4:e fjärdedelen av planet ), Den där .

Faktum är att talets modul och argument
, dessa är polära koordinater
poäng
- slutet av vektorn på ytan .

Exempel 5. Hitta modulen och huvudvärdet för talargumentet:

Argument för siffror som ligger på yxor
, som separerar fjärdedelarna 1,2,3,4 i det komplexa planet , kan hittas omedelbart från de grafiska representationerna av dessa siffror på planet .

Trigonometriska och exponentiella former för att skriva ett komplext tal. Multiplikation och division av komplexa tal i trigonometrisk och exponentiell notation.

Trigonometrisk notation komplext tal
har formen:

, (2)

Var - modul, - komplext talargument . Denna representation av komplexa tal följer av likheterna.

Indikativ(exponentiell) form av att skriva ett komplext tal
har formen:

, (3)

Var - modul, - nummerargument . Möjligheten att representera komplexa tal i exponentiell form (3) följer av den trigonometriska formen (2) och Eulers formel:

. (4)

Denna formel har bevisats under loppet av TFKP (Theory of Functions of a Complex Variable).

Exempel 6. Hitta trigonometriska och exponentiella former för komplexa tal: från exempel 5.

Lösning. Låt oss använda resultaten av exempel 5, där modulerna och argumenten för alla angivna siffror finns.

- trigonometrisk form av att skriva ett tal ,

- exponentiell form av att skriva ett tal .

- trigonometrisk form av att skriva ett tal ,

- exponentiell form av att skriva ett tal .

Trigonometrisk form av att skriva ett tal ,

- exponentiell form av att skriva ett tal .

- trigonometrisk form av att skriva ett tal ,

- exponentiell form av att skriva ett tal .

Trigonometrisk form av ett tal ,

- trigonometrisk form av att skriva ett tal ,

- exponentiell form av ett tal .

- trigonometrisk form av att skriva ett tal ,

- exponentiell form av att skriva ett tal .

Den exponentiella formen av att skriva komplexa tal leder till följande geometriska tolkning av operationerna för multiplikation och division av komplexa tal. Låta
- exponentiella former av tal
.

1. När komplexa tal multipliceras multipliceras deras moduler och deras argument adderas.

2. När man dividerar ett komplext tal per nummer det visar sig vara ett komplext tal , modul vilket är lika med förhållandet mellan moduler , och argumentet - skillnader
sifferargument
.

Höjning till en heltalspotens och extrahera roten av ett komplext tal.

A-priory,

När den höjs till en hel makt komplext tal
, bör du fortsätta så här: hitta först modulen och argument detta nummer; införa i demonstrativ form
; hitta
genom att utföra följande sekvens av åtgärder

Var . (5)

Kommentar. Argument
tal
hör kanske inte till intervallet
. I det här fallet, enligt det erhållna värdet hitta den huvudsakliga betydelsen argument

tal
, lägga till (eller subtrahera) ett tal
med denna betydelse
, till

hörde till intervallet
. Efter detta måste du ersätta i formler (5) på .

Exempel 7. Hitta Och
, Om
.

1)
=
(se nummer från exempel 6).

2)
, Var
.
.
.

Därav, kan ersättas med och, vilket betyder

Var
.

3)
, Var
.
.

Vi kommer att ersätta på . Därav,

Rotutvinning e graden
från ett komplext tal
utförs enligt Moivre-Laplace formel

Låt oss komma ihåg den nödvändiga informationen om komplexa tal.

Komplext talär ett uttryck för formen a + bi, Var a, bär reella tal, och i- så kallade imaginär enhet, en symbol vars kvadrat är lika med –1, dvs i 2 = –1. siffra a kallad riktig del och numret b - imaginär del komplext tal z = a + bi. Om b= 0, då istället a + 0i de skriver helt enkelt a. Man kan se att reella tal är ett specialfall av komplexa tal.

Aritmetiska operationer på komplexa tal är desamma som på reella tal: de kan adderas, subtraheras, multipliceras och divideras med varandra. Addition och subtraktion sker enligt regeln ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, och multiplikation följer regeln ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (annons + före Kristus)i(här används det så i 2 = –1). Antal = a – bi kallad komplext konjugat Till z = a + bi. Jämlikhet z · = a 2 + b 2 låter dig förstå hur man delar ett komplext tal med ett annat (icke-noll) komplext tal:

(Till exempel, .)

Komplexa tal har en bekväm och visuell geometrisk representation: nummer z = a + bi kan representeras av en vektor med koordinater ( a; b) på det kartesiska planet (eller, vilket är nästan samma sak, en punkt - slutet av en vektor med dessa koordinater). I det här fallet avbildas summan av två komplexa tal som summan av motsvarande vektorer (som kan hittas med hjälp av parallellogramregeln). Enligt Pythagoras sats, längden på vektorn med koordinater ( a; b) är lika med . Denna mängd kallas modul komplext tal z = a + bi och betecknas med | z|. Vinkeln som denna vektor gör med x-axelns positiva riktning (räknat moturs) kallas argument komplext tal z och betecknas med Arg z. Argumentet är inte unikt definierat, utan endast upp till addition av en multipel av 2 π radianer (eller 360°, om det räknas i grader) - trots allt är det klart att en rotation med en sådan vinkel runt origo inte kommer att förändra vektorn. Men om vektorn av längd r bildar en vinkel φ med den positiva riktningen av x-axeln, då är dess koordinater lika med ( r cos φ ; r synd φ ). Härifrån visar det sig trigonometrisk notation komplext tal: z = |z| · (cos(Arg z) + i synd (Arg z)). Det är ofta bekvämt att skriva komplexa tal i denna form, eftersom det förenklar beräkningarna avsevärt. Att multiplicera komplexa tal i trigonometrisk form är mycket enkelt: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i synd (Arg z 1 + Arg z 2)) (när man multiplicerar två komplexa tal multipliceras deras moduler och deras argument adderas). Härifrån följer Moivres formler: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + i synd( n· (Arg z))). Med hjälp av dessa formler är det lätt att lära sig hur man extraherar rötter av vilken grad som helst från komplexa tal. n:te roten av z- det här är ett komplext tal w, Vad w n = z. Det är klart det , Och var k kan ta vilket värde som helst från uppsättningen (0, 1, ..., n- 1). Det betyder att det alltid finns exakt n rötter n e graden av ett komplext tal (på planet är de belägna vid det regelbundna hörnet n-gon).

För att lösa problem med komplexa tal måste du förstå de grundläggande definitionerna. Huvudmålet med denna översiktsartikel är att förklara vad komplexa tal är och presentera metoder för att lösa grundläggande problem med komplexa tal. Så ett komplext tal kommer att kallas ett nummer av formen z = a + bi, Var a, b- reella tal, som kallas de reella och imaginära delarna av ett komplext tal, respektive, och betecknar a = Re(z), b=Im(z).
i kallas den imaginära enheten. i2 = -1. I synnerhet kan vilket reellt tal som helst anses vara komplext: a = a + 0i, där a är verkligt. Om a = 0 Och b ≠ 0, då brukar numret kallas rent imaginärt.

Låt oss nu introducera operationer på komplexa tal.
Betrakta två komplexa tal z1 = ai + bi Och z2 = a2 + b2i.

Låt oss överväga z = a + bi.

Mängden komplexa tal utökar mängden reella tal, vilket i sin tur utökar mängden rationella tal osv. Denna investeringskedja kan ses i figuren: N – naturliga tal, Z – heltal, Q – rationell, R – reell, C – komplex.

Representation av komplexa tal

Algebraisk notation.

Tänk på ett komplext tal z = a + bi, kallas denna form av att skriva ett komplext tal algebraisk. Vi har redan diskuterat denna form av inspelning i detalj i föregående avsnitt. Följande visuella ritning används ganska ofta

Trigonometrisk form.

Av figuren kan man se att antalet z = a + bi kan skrivas annorlunda. Det är uppenbart a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, därav z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) kallas argumentet för ett komplext tal. Denna representation av ett komplext tal kallas trigonometrisk form. Den trigonometriska notationsformen är ibland väldigt bekväm. Till exempel är det bekvämt att använda det för att höja ett komplext tal till en heltalspotens, nämligen om z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Den där z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, kallas denna formel Moivres formel.

Demonstrerande form.

Låt oss överväga z = rcos(φ) + rsin(φ)i- ett komplext tal i trigonometrisk form, skriv det i en annan form z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, den sista likheten följer av Eulers formel, så vi har fått en ny form av att skriva ett komplext tal: z = reiφ, som kallas indikativ. Denna form av notation är också mycket bekväm för att höja ett komplext tal till en potens: z n = r n e inφ, Här n inte nödvändigtvis ett heltal, men kan vara ett godtyckligt reellt tal. Denna form av notation används ganska ofta för att lösa problem.

Grundläggande teorem för högre algebra

Låt oss föreställa oss att vi har en andragradsekvation x 2 + x + 1 = 0. Uppenbarligen är diskriminanten i denna ekvation negativ och den har inga riktiga rötter, men det visar sig att denna ekvation har två olika komplexa rötter. Så, den grundläggande satsen för högre algebra säger att varje polynom av grad n har minst en komplex rot. Det följer av detta att varje polynom av grad n har exakt n komplexa rötter, med hänsyn till deras mångfald. Denna sats är ett mycket viktigt resultat i matematik och används flitigt. En enkel följd av denna sats är att det finns exakt n olika rötter av graden n av enhet.

Huvudtyper av uppgifter

Det här avsnittet kommer att titta på huvudtyperna av enkla problem som involverar komplexa tal. Konventionellt kan problem som involverar komplexa tal delas in i följande kategorier.

Utföra enkla aritmetiska operationer på komplexa tal.
Hitta rötterna till polynom i komplexa tal.
Att höja komplexa tal till potenser.
Extrahera rötter från komplexa tal.
Använda komplexa tal för att lösa andra problem.

Låt oss nu titta på allmänna metoder för att lösa dessa problem.

De enklaste aritmetiska operationerna med komplexa tal utförs enligt reglerna som beskrivs i det första avsnittet, men om komplexa tal presenteras i trigonometriska eller exponentiella former, kan du i det här fallet konvertera dem till algebraisk form och utföra operationer enligt kända regler.

Att hitta rötterna till polynom handlar vanligtvis om att hitta rötterna till en andragradsekvation. Antag att vi har en andragradsekvation, om dess diskriminant är icke-negativ, kommer dess rötter att vara verkliga och kan hittas enligt en välkänd formel. Om diskriminanten är negativ, dvs. D = -1∙a 2, Var aär ett visst antal, då kan diskriminanten representeras som D = (ia) 2, därav √D = i|a|, och sedan kan du använda den redan kända formeln för rötterna till en andragradsekvation.

Exempel. Låt oss återgå till den andragradsekvation som nämns ovan x 2 + x + 1 = 0.
Diskriminerande - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Nu kan vi enkelt hitta rötterna:

Att höja komplexa tal till potenser kan göras på flera sätt. Om du behöver höja ett komplext tal i algebraisk form till en liten potens (2 eller 3), så kan du göra detta genom direkt multiplikation, men om potensen är större (i problem är den ofta mycket större), måste du skriv detta tal i trigonometriska eller exponentiella former och använd redan kända metoder.

Exempel. Betrakta z = 1 + i och höj den till tionde potens.
Låt oss skriva z i exponentiell form: z = √2 e iπ/4.
Sedan z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Låt oss återgå till algebraisk form: z 10 = -32i.

Att extrahera rötter från komplexa tal är den inversa operationen av exponentiering och utförs därför på ett liknande sätt. För att extrahera rötter används ofta den exponentiella formen att skriva ett tal.

Exempel. Låt oss hitta alla rötter till grad 3 av enhet. För att göra detta kommer vi att hitta alla rötterna i ekvationen z 3 = 1, vi kommer att leta efter rötterna i exponentiell form.
Låt oss ersätta in i ekvationen: r 3 e 3iφ = 1 eller r 3 e 3iφ = e 0 .
Därför: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, därför φ = 2πk/3.
Olika rötter erhålls vid φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Därför är 1, e i2π/3, e i4π/3 rötter.
Eller i algebraisk form:

Den sista typen av problem innehåller ett stort antal problem och det finns inga generella metoder för att lösa dem. Låt oss ge ett enkelt exempel på en sådan uppgift:

Hitta beloppet sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Även om formuleringen av detta problem inte involverar komplexa tal, kan det enkelt lösas med deras hjälp. För att lösa det används följande representationer:

Om vi nu ersätter denna representation i summan, reduceras problemet till att summera den vanliga geometriska progressionen.

Slutsats

Komplexa tal används i stor utsträckning i matematik; den här översiktsartikeln undersökte de grundläggande funktionerna för komplexa tal, beskrev flera typer av standardproblem och beskrev kortfattat allmänna metoder för att lösa dem; för en mer detaljerad studie av komplexa tals förmåga rekommenderas att använda speciallitteratur.

Litteratur

§ 1. Komplexa tal: definitioner, geometrisk tolkning, handlingar i algebraisk, trigonometrisk och exponentiell form

Definition av ett komplext tal

Komplexa jämlikheter

Geometrisk representation av komplexa tal

Modul och argument för ett komplext tal

Algebraiska och trigonometriska former av ett komplext tal

Exponentiell form av ett komplext tal

Eulers formler

§ 2. Hela funktioner (polynom) och deras grundläggande egenskaper. Lösa algebraiska ekvationer på mängden komplexa tal

Definition av en algebraisk ekvation av den e graden

Grundläggande egenskaper hos polynom

Exempel på att lösa algebraiska ekvationer på mängden komplexa tal

Självtestfrågor

Ordlista

§ 1. Komplexa tal: definitioner, geometrisk tolkning, operationer i algebraisk, trigonometrisk och exponentiell form

Definition av ett komplext tal ( Ange definitionen av ett komplext tal)

Ett komplext tal z är ett uttryck av följande form:

Komplext tal i algebraisk form,(1)

där x, y Î;

- komplext konjugerat tal nummer z ;

- motsatt nummer nummer z ;

- komplex noll ;

– så här betecknas mängden komplexa tal.

1)z = 1 + iÞ Re z= 1, Im z = 1, = 1 – jag, = –1 – i ;

2)z = –1 + iÞ Re z= –1, Im z = , = –1 – jag, = –1 –i ;

3)z = 5 + 0i= 5 Þ Re z= 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Þ om jag z= 0, alltså z = x- riktigt nummer;

4)z = 0 + 3i = 3iÞ Re z= 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i

Þ om Re z= 0, alltså z = iy - rent imaginärt tal.

Komplexa jämlikheter (Formulera innebörden av komplex jämlikhet)

1) ;

2) .

En komplex jämlikhet är likvärdig med ett system med två verkliga likheter. Dessa verkliga likheter erhålls från komplex jämlikhet genom att separera de verkliga och imaginära delarna.

1) ;

2) .

Geometrisk representation av komplexa tal ( Vad är den geometriska representationen av komplexa tal?)

Komplext tal z representeras av en punkt ( x , y) på det komplexa planet eller radievektorn för denna punkt.

Skylt z under andra kvartalet innebär att det kartesiska koordinatsystemet kommer att användas som ett komplext plan.

Modul och argument för ett komplext tal ( Vad är modul och argument för ett komplext tal?)

Modulen för ett komplext tal är ett icke-negativt reellt tal

.(2)

Geometriskt är modulen för ett komplext tal längden på vektorn som representerar talet z, eller polär radie för en punkt ( x , y).

Rita följande siffror på det komplexa planet och skriv dem i trigonometrisk form.

1)z = 1 + i Þ

Þ ;

5),

det vill säga för z = 0 blir det

, j odefinierat.

Aritmetiska operationer på komplexa tal (Ge definitioner och lista huvudegenskaperna för aritmetiska operationer på komplexa tal.)

Addition (subtraktion) av komplexa tal

z 1 ± z 2 = (x 1 + iy 1) ± ( x 2 + iy 2) = (x 1 ± x 2) + i (y 1 ± y 2),(5)

det vill säga när man adderar (subtraherar) komplexa tal, adderas (subtraheras) deras reella och imaginära delar.

1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i ;

2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i .

Grundläggande egenskaper för addition

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

Multiplicera komplexa tal i algebraisk form

z 1∙z 2 = (x 1 + iy 1)∙(x 2 + iy 2) = x 1x 2 + x 1iy 2 + iy 1x 2 + i 2y 1y 2 = (6)

= (x 1x 2 – y 1y 2) + i (x 1y 2 + y 1x 2),

det vill säga multiplikationen av komplexa tal i algebraisk form utförs enligt regeln om algebraisk multiplikation av ett binomial med ett binomial, följt av ersättning och reduktion av liknande i reella och imaginära termer.

1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i 2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i ;

2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i 2 = 3 + 4i .

Multiplicera komplexa tal i trigonometrisk form

z 1∙z 2 = r 1 (cos j 1 + i synd j 1)× r 2 (cos j 2 + i synd j 2) =

= r 1r 2 (cos j 1cos j 2 + i cos j 1sin j 2 + i synd j 1cos j 2 + i 2 synd j 1sin j 2) =

= r 1r 2((cos j 1cos j 2 – synd j 1sin j 2) + i(cos j 1sin j 2 + synd j 1cos j 2))

Produkten av komplexa tal i trigonometrisk form, det vill säga när komplexa tal multipliceras i trigonometrisk form, multipliceras deras moduler och deras argument adderas.

Grundläggande egenskaper för multiplikation

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - kommutativitet;

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3) - associativitet;

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - fördelningsförmåga med avseende på addition;

4)z x0 = 0; z×1 = z ;

Division av komplexa tal

Division är den omvända operationen av multiplikation, alltså

Om z × z 2 = z 1 och z 2¹ 0, sedan .

När du utför division i algebraisk form multipliceras täljaren och nämnaren för bråket med det komplexa konjugatet av nämnaren:

Division av komplexa tal i algebraisk form.(7)

När du utför division i trigonometrisk form delas modulerna upp och argumenten subtraheras:

Att dividera komplexa tal i trigonometrisk form.(8)

2)
.

Att höja ett komplext tal till en naturlig kraft

Det är bekvämare att utföra exponentiering i trigonometrisk form:

Moivres formel, (9)

det vill säga när ett komplext tal höjs till en naturlig potens, höjs dess modul till denna potens, och argumentet multipliceras med exponenten.

Beräkna (1 + i)10.

Anteckningar

1. När du utför operationerna multiplikation och höjning till en naturlig potens i trigonometrisk form, kan vinkelvärden utöver ett helt varv erhållas. Men de kan alltid reduceras till vinklar eller genom att släppa ett heltal av hela varv med hjälp av periodicitetsegenskaperna för funktionerna och .

2. Betydelse kallas huvudvärdet för argumentet för ett komplext tal;

i detta fall betecknas värdena för alla möjliga vinklar med ;

det är uppenbart att .

Extrahera roten till en naturlig grad från ett komplext tal

Eulers formler(16)

för vilka trigonometriska funktioner och en reell variabel uttrycks genom en exponentialfunktion (exponent) med en rent imaginär exponent.

§ 2. Hela funktioner (polynom) och deras grundläggande egenskaper. Lösa algebraiska ekvationer på mängden komplexa tal

Två polynom av samma grad när identiskt lika med varandra om och endast om deras koefficienter sammanfaller för samma potenser av variabeln x, det är

Bevis

w Identitet (3) är giltig för "xО (eller "xО)

Þ det gäller för ; ersätta , vi får en = miljarder .

Låt oss ömsesidigt upphäva villkoren i (3) en Och miljarder och dividera båda delarna med x :

Denna identitet gäller även för " x inklusive när x = 0

Þ antagande x= 0, vi får en – 1 = miljarder – 1.

Låt oss ömsesidigt avbryta villkoren i (3") en– 1 och a n– 1 och dividera båda sidor med x, som ett resultat får vi

Om vi fortsätter resonemanget på samma sätt, får vi det en – 2 = miljarder –2, …, A 0 = b 0.

Således har det bevisats att den identiska likheten för 2-x polynom innebär att deras koefficienter sammanfaller i samma grader x .

Det omvända påståendet är med rätta uppenbart, d.v.s. om två polynom har samma koefficienter, så är de identiska funktioner, därför sammanfaller deras värden för alla värden i argumentet, vilket betyder att de är identiskt lika. Fastighet 1 är helt bevisad. v

När man dividerar ett polynom Pn (x) av skillnaden ( x – X 0) resten är lika med Pn (x 0), dvs

Bezouts sats,(4)

Var Qn – 1(x) - heltalsdelen av division, är ett polynom av grad ( n – 1).

Bevis

w Låt oss skriva divisionsformeln med en rest:

Pn (x) = (x – X 0)∙Qn – 1(x) + A ,

Var Qn – 1(x) - polynom av grad ( n – 1),

A- resten, som är ett tal på grund av den välkända algoritmen för att dividera ett polynom med ett binomial "i en kolumn".

Denna jämlikhet gäller för " x inklusive när x = X 0 Þ

Pn (x 0) = (x 0 – x 0)× Qn – 1(x 0) + A Þ

A = Pn (X 0), etc. v

En konsekvens av Bezouts teorem. Om att dividera ett polynom med ett binomial utan rest

Om antalet X 0 är nollan för polynomet, då divideras detta polynom med skillnaden ( x – X 0) utan rest, dvs

Þ .(5)

1) , sedan P 3(1) º 0

2) därför att P 4(–2) º 0

3) därför att P 2(–1/2) º 0

Dela polynom i binomial "i en kolumn":

Varje polynom av grad n ³ 1 har minst en nolla, reell eller komplex

Beviset för detta teorem ligger utanför vår kurs. Därför accepterar vi satsen utan bevis.

Låt oss arbeta med denna sats och Bezouts sats med polynomet Pn (x).

Efter n-flera tillämpningar av dessa satser får vi det

Var a 0 är koefficienten vid x n V Pn (x).

En följd av algebras fundamentalsats. Om sönderdelningen av ett polynom i linjära faktorer

Vilket gradpolynom som helst på uppsättningen av komplexa tal kan delas upp i n linjära faktorer, det vill säga

Expansion av ett polynom till linjära faktorer, (6)

där x1, x2, ... xn är nollorna i polynomet.

Dessutom, om k nummer från uppsättningen X 1, X 2, … xn sammanfaller med varandra och med talet a, sedan i produkten (6) multiplikatorn ( x– a) k. Sedan numret x= a kallas k-faldig noll av polynomet Pn ( x) . Om k= 1, då anropas noll enkel noll i polynomet Pn ( x) .

1)P 4(x) = (x – 2)(x– 4)3 Þ x 1 = 2 - enkel noll, x 2 = 4 - trippel noll;

2)P 4(x) = (x – i)4 Þ x = i- noll multiplicitet 4.

Egenskap 4 (om antalet rötter i en algebraisk ekvation)

Alla algebraiska ekvationer Pn(x) = 0 av grad n har exakt n rötter på mängden komplexa tal, om vi räknar varje rot lika många gånger som dess multiplicitet.

1)x 2 – 4x+ 5 = 0 - algebraisk ekvation av andra graden

Þ x 1,2 = 2 ± = 2 ± i- två rötter;

2)x 3 + 1 = 0 - algebraisk ekvation av tredje graden

Þ x 1,2,3 = - tre rötter;

3)P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Þ x 1 = 1, eftersom P 3(1) = 0.

Dela polynomet P 3(x) på ( x – 1):

x 3	+	x 2	–	x	–	1	x – 1
x 3	–	x 2	x 2 + 2x +1
2x 2	–	x
2x 2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

Ursprunglig ekvation

P 3(x) = x 3 + x 2 – x– 1 = 0 Û( x – 1)(x 2 + 2x+ 1) = 0 Û( x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x 1 = 1 - enkel rot, x 2 = –1 - dubbelrot.

1) – parade komplexa konjugerade rötter;

Varje polynom med reella koefficienter bryts upp i produkten av linjära och kvadratiska funktioner med reella koefficienter.

Bevis

w Låt x 0 = a + bi- noll av ett polynom Pn (x). Om alla koefficienter för detta polynom är reella tal, är det också noll (genom egenskap 5).

Låt oss beräkna produkten av binomialer :

komplex talpolynomekvation

Fick ( x – a)2 + b 2 - kvadrattrinomial med reella koefficienter.

Således leder vilket par av binomial som helst med komplexa konjugerade rötter i formel (6) till ett kvadratiskt trinomium med reella koefficienter. v

1)P 3(x) = x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 – x + 1);

2)P 4(x) = x 4 – x 3 + 4x 2 – 4x = x (x –1)(x 2 + 4).

Exempel på att lösa algebraiska ekvationer på mängden komplexa tal ( Ge exempel på att lösa algebraiska ekvationer på mängden komplexa tal)

1. Algebraiska ekvationer av första graden:

, är den enda enkla roten.

2. Andragradsekvationer:

, – har alltid två rötter (olika eller lika).

1) .

3. Binomiala gradsekvationer:

, – har alltid olika rötter.

Svar: , .

4. Lös kubikekvationen.

En ekvation av tredje graden har tre rötter (reella eller komplexa), och du måste räkna varje rot lika många gånger som dess multiplicitet. Eftersom alla koefficienter i denna ekvation är reella tal, kommer de komplexa rötterna av ekvationen, om några, att vara parkomplexa konjugat.

Genom urval hittar vi den första roten i ekvationen, eftersom .

Som en följd av Bezouts sats. Vi beräknar denna division "i en kolumn":

_

_

_

När vi nu representerar polynomet som en produkt av en linjär och en kvadratisk faktor, får vi:

Vi hittar andra rötter som rötter till en andragradsekvation:

Svar: , .

5. Konstruera en algebraisk ekvation av minsta grad med reella koefficienter, om det är känt att talen x 1 = 3 och x 2 = 1 + iär dess rötter, och x 1 är en dubbelrot, och x 2 - enkelt.

Talet är också roten till ekvationen, eftersom ekvationens koefficienter måste vara reella.

Totalt har den nödvändiga ekvationen 4 rötter: x 1, x 1,x 2, . Därför är dess grad 4. Vi komponerar ett polynom av 4:e graden med nollor x

11. Vad är en komplex nolla?

13. Formulera innebörden av komplex jämlikhet.

15. Vad är modul och argument för ett komplext tal?

17. Vad är argumentet för ett komplext tal?

18. Vad är namnet eller betydelsen av formeln?

19. Förklara betydelsen av notationen i denna formel:

27. Ge definitioner och lista huvudegenskaperna för aritmetiska operationer på komplexa tal.

28. Vad är namnet eller betydelsen av formeln?

29. Förklara betydelsen av notationen i denna formel:

31. Vad är namnet eller betydelsen av formeln?

32. Förklara betydelsen av notationen i denna formel:

34. Vad är namnet eller betydelsen av formeln?

35. Förklara betydelsen av notationen i denna formel:

61. Lista huvudegenskaperna hos polynom.

63. Ange egenskapen för att dividera ett polynom med skillnaden (x – x0).

65. Vad är namnet eller betydelsen av formeln?

66. Förklara betydelsen av notationen i denna formel:

67. ⌂ .

69. Ange satsen: algebras grundläggande sats.

70. Vad är namnet eller betydelsen av formeln?

71. Förklara betydelsen av notationen i denna formel:

75. Ange egenskapen för antalet rötter i en algebraisk ekvation.

78. Ange egenskapen för nedbrytningen av ett polynom med reella koefficienter till linjära och kvadratiska faktorer.

Ordlista

Den k-faldiga nollan för ett polynom är... (sid. 18)

ett algebraiskt polynom kallas... (sid. 14)

en algebraisk ekvation av n:e graden kallas... (s. 14)

den algebraiska formen av ett komplext tal kallas... (s. 5)

argumentet för ett komplext tal är... (sida 4)

den reella delen av ett komplext tal z är... (sidan 2)

ett komplext konjugerat tal är... (sida 2)

komplex noll är... (sida 2)

ett komplext tal kallas... (sida 2)

en rot av grad n av ett komplext tal kallas... (sid. 10)

roten till ekvationen är... (sid. 14)

polynomets koefficienter är... (sid. 14)

den imaginära enheten är... (sida 2)

den imaginära delen av ett komplext tal z är... (sidan 2)

modulen för ett komplext tal kallas... (sid. 4)

nollan för en funktion kallas... (sid. 14)

exponentialformen av ett komplext tal kallas... (s. 11)

ett polynom kallas... (sid. 14)

en enkel nolla i ett polynom kallas... (sid. 18)

det motsatta talet är... (sida 2)

graden av ett polynom är... (sid. 14)

den trigonometriska formen av ett komplext tal kallas... (s. 5)

Moivres formel är... (s. 9)

Eulers formler är... (sida 13)

hela funktionen heter... (sid. 14)

ett rent imaginärt tal är... (sid. 2)