複素数の解決策。 学習ガイド: 複素数。 複素数の法と引数。 三角関数

クラス 12 . 複素数。

12.1. 代数形式での複素数の定義。 複素数の比較と複素平面上での表現。 複雑な活用。 複素数の加算、乗算、除算。

12.2. モジュラス、複素数の引数。

12.3. 複素数を記述する三角関数および指数形式。

12.4. 整数乗し、複素数から根を抽出します。

代数形式での複素数の定義。 複素数の比較と複素平面上での表現。 複雑な活用。 複素数の加算、乗算、除算。

代数形式の複素数は数値です

どこ
呼ばれた 虚数単位そして
- 実数:
呼ばれた 実数部;
- 虚数部複素数 。 形式の複素数
呼ばれた 純粋な虚数。 すべての複素数の集合は文字で表されます。 .

A優先、

すべての実数の集合 セットの一部です
: 。 一方、集合に属さない複素数もあります。 。 例えば、
そして
、 なぜなら
.

代数形式の複素数は、負の判別式を使用して二次方程式を解くときに自然に発生します。

例1。 方程式を解く
.

解決。 、

したがって、与えられた二次方程式には複素根があります。

,
.

例 2。 複素数の実数部と虚数部を求める

,

,
.

したがって、数値の実数部と虚数部は ,

任意の複素数
複素平面上のベクトルで表現される 、デカルト座標系で平面を表します
。 ベクトルの始まりは点にあります 、最後は座標のある点です
(図 1.) 軸
は実軸、軸と呼ばれます。
- 複素平面の虚軸 .

複素数は符号によってのみ比較されます。
。 。 少なくとも 1 つの等式がある場合:
違反したら
. タイプのエントリ
意味がわからない.

定義上、複雑 番号
は数値の複素共役と呼ばれます
。 この場合、こう書きます
。 それは明らかです
。 以下の複素数の上のバーは複素共役を意味します。

例えば、 。

複素数に対して加算（減算）、乗算、除算などの演算を実行できます。

1. 複素数の加算は次のように行われます:

加算演算のプロパティ:

- 可換性の性質。

- 結合性プロパティ。

複素数の幾何学的加算が容易にわかります。
それらに対応するものを平面上に追加することを意味します 平行四辺形の法則に従ったベクトル。

数値減算演算 番号から は次のように行われます:

2. 複素数の乗算は次のように行われます:

乗算演算のプロパティ:

- 可換性の性質。

- 結合性の性質;

- 分配の法則。

3. 複素数の割り算 場合にのみ実行可能
そして次のように行われます:

.

例 3。 探す
、 もし 。

例 4。 計算する
、 もし 。

z、なぜなら
.

.(痛い!)

次のステートメントの妥当性を検証するのは簡単です (自分で行うことをお勧めします)。

モジュラス、複素数の引数。

複素数法
(モジュール 示された ) は負ではない数値です
、つまり
.

幾何学的なセンス - 数値を表すベクトルの長さ 複雑な平面上で 。 方程式
すべての数値のセットを定義します (ベクトルあたり ) 端が単位円上にある
.

複素数引数
（口論 示された
) は角度です 実軸間のラジアン単位
と番号 複雑な平面上で 、 そして から数えると正です
前に 反時計回り、そして 負の場合 軸から測定
前に 時計回りに.

したがって、数値引数は 用語に至るまで曖昧に定義されている
、 どこ
。 間違いなく数値引数です 単位円の 1 回の横断内で定義される
表面上 . 通常、見つける必要があります
間隔内で
,このような値は数値引数の主値と呼ばれます そして示される
.

そして
数字 方程式から求めることができます
ここで、 必然的に 考慮に入れなければなりません飛行機のどの部分にあるのか ベクトルの終端にある - ドット
:

もし
(飛行機の第 1 四半期 ）、 それ ;

もし
(飛行機の第 2 四半期 ）、 それ;

もし
(飛行機の第 3 四半期 ）、 それ ;

もし
(飛行機の第 4 四半期 ）、 それ 。

実際には、数値の法と引数は
、これらは極座標です
ポイント
- ベクトルの終わり 表面上 .

例5。 数値引数の係数と主値を求めます。

.

軸に沿った数値の引数
複素平面の 4 分の 1、2、3、4 を分離する 、これらの数値を平面上にグラフィック表示することですぐに見つかります。 .

複素数を記述する三角関数および指数形式。 三角関数および指数表記による複素数の乗算と除算。

三角記法複素数
次のようになります:

, (2)

どこ - モジュール、 - 複素数引数 。 このような複素数の表現は等式から得られます。

デモンストレーション(指数関数的) 複素数の表記形式
次のようになります:

, (3)

どこ - モジュール、 - 数値引数 。 複素数を指数形式 (3) で表現できる可能性は、三角関数形式 (2) とオイラーの公式からわかります。

. (4)

この公式は、TFKP (複素変数の関数の理論) コースで証明されます。

例6。 複素数の三角関数形式と指数関数形式を求めます: 例 5 より。

解決。 例 5 の結果を使用してみましょう。ここでは、示されたすべての番号のモジュールと引数が見つかります。

,

.

- 三角関数形式の数字の書き方 ,

- 指数を表す指数関数的な形式 .

3)

- 三角関数形式の数字の書き方 ,

- 指数を表す指数関数的な形式 .

三角関数形式の数値の書き方 ,

- 指数を表す指数関数的な形式 .

5)

- 三角関数形式の数字の書き方 ,

- 指数を表す指数関数的な形式 .

数値の三角関数形式 ,

.

7)

- 三角関数形式の数字の書き方 ,

- 数値の指数関数的な形式 .

- 三角関数形式の数字の書き方 ,

- 指数を表す指数関数的な形式 .

複素数を指数形式で記述すると、複素数の乗算と除算の演算について次の幾何学的解釈が得られます。 させて
- 指数形式の数値
.

1. 複素数を乗算する場合、その係数が乗算され、引数が加算されます。.

2. 複素数を割るとき 数字ごとに 複素数を取得する 、モジュール これはモジュールの比率に等しい 、および引数 - 違い
引数の数
.

整数乗し、複素数から根を抽出します。

A優先、

整数乗すると 複素数
、次のように進める必要があります: まずモジュールを見つけます。 そして議論 この番号; 導入 実証的な形で
; 探す
次の手順を実行することで

どこ 。 (5)

コメント。口論
数字
区間に属さない可能性があります
。 この場合、取得した値に従って、 主値を見つける 口論

数字
、数値を加算（または減算）します。
この意味で
、 に

区間に属していた
。 その後、式(5)に置き換える必要があります。 の上 .

例 7。 探す そして
、 もし
.

1)
=
(番号を参照 例6より）。

2)
、 どこ
.
.
.

したがって、 と で置き換えることができるので、

どこ
.

3)
、 どこ
.
.

交換しましょう の上 。 したがって、

根の抽出 度
複素数から
Moivre-Laplace の公式に従って実行されます

複素数について必要な情報を思い出してください。

複素数という形式の表現です ある + バイ、 どこ ある, bは実数であり、 私- いわゆる 虚数単位、二乗が -1 であるシンボル、つまり 私 2 = -1。 番号 ある呼ばれた 実部、および番号 b - 虚数部複素数 z = ある + バイ。 もし b= 0 の場合、代わりに ある + 0私簡単に書く ある。 実数は複素数の特殊なケースであることがわかります。

複素数の算術演算は実数の算術演算と同じであり、相互に加算、減算、乗算、除算を行うことができます。 足し算と引き算はルールに従って行われます（ ある + バイ) ± ( c + ディ) = (ある ± c) + (b ± d)私、および乗算 - ルールに従って ( ある + バイ) · ( c + ディ) = (交流 – BD) + (広告 + 紀元前)私(ここでは単にそれが使用されています 私 2 = -1)。 数値 = ある – バイ呼ばれた 複素共役に z = ある + バイ。 平等 z · = ある 2 + b 2 を使用すると、ある複素数を別の (ゼロ以外の) 複素数で割る方法を理解できます。

（例えば、 .)

複素数には、便利で視覚的な幾何学的表現があります。 z = ある + バイ座標を持つベクトルとして表すことができます ( ある; b) デカルト平面 (または、ほぼ同じ、点 - これらの座標を持つベクトルの端) 上にあります。 この場合、2 つの複素数の和は、対応するベクトルの和として表されます (これは、平行四辺形の法則によって求めることができます)。 ピタゴラスの定理によれば、座標を含むベクトルの長さ ( ある; b) は と等しい。 この値はと呼ばれます モジュール複素数 z = ある + バイ| で表されます。 z|。 このベクトルが x 軸の正の方向 (反時計回りに数えて) となす角度は、 口論複素数 z Arg で表されます z。 引数は一意に定義されず、2 の倍数の加算までのみ定義されます。 π ラジアン (度単位で数える場合は 360°) - 結局のところ、原点の周りでそのような角度を回転してもベクトルは変わらないことは明らかです。 しかし、長さのベクトルが r角度を形成します φ x 軸の正の方向を持つ場合、その座標は ( rコス φ ; r罪 φ ）。 したがって、次のことがわかります 三角記法複素数: z = |z| (cos(Arg z) + 私 sin(Arg z））。 複素数をこの形式で記述すると、計算が大幅に簡素化されるため、多くの場合便利です。 三角関数形式での複素数の乗算は非常に簡単に見えます。 z 1・ z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+引数 z 2) + 私 sin(Arg z 1+引数 z 2)) (2 つの複素数を乗算する場合、その係数が乗算され、引数が加算されます)。 ここからフォローしてください ドゥ・モアブルの公式: zn = |z|n(cos( n(引数 z)) + 私罪（ n(引数 z）））。 これらの公式を利用すると、複素数から任意の次数の根を抽出する方法を簡単に学ぶことができます。 z の n 乗根とても複素数です w、 何 うーん = z。 それは明らかです 、 そして、どこ kセットから任意の値を取得できます (0、1、...、 n- 1)。 これは、常に正確に存在することを意味します nルーツ n複素数からの次数 (平面上では、それらは正則の頂点に位置します) n-ゴン）。

複素数の問題を解決するには、基本的な定義を理解する必要があります。 このレビュー記事の主な目的は、複素数とは何かを説明し、複素数に関する基本的な問題を解決する方法を提示することです。 したがって、複素数は次の形式の数です。 z = a + bi、 どこ a、b- 実数。それぞれ複素数の実数部と虚数部と呼ばれ、次のことを示します。 a = Re(z)、b=Im(z).
私を虚数単位といいます。 i 2 \u003d -1。 特に、実数はすべて複素数と見なすことができます。 a = a + 0iここで、a は実数です。 もし a = 0そして b≠0、その場合、その数は純粋に虚数と呼ばれます。

ここで複素数の演算を紹介します。
2 つの複素数を考えます z 1 = a 1 + b 1 iそして z 2 = a 2 + b 2 i.

考慮する z = a + bi.

複素数のセットは実数のセットを拡張し、さらに実数のセットは有理数のセットを拡張します。 この埋め込みのチェーンは、図で見ることができます: N - 自然数、Z - 整数、Q - 有理数、R - 実数、C - 複素数。

複素数の表現

代数表記。

複素数を考えてみましょう z = a + bi、この複素数の書き方はと呼ばれます。 代数的な。 この書き方については、前のセクションで詳しく説明しました。 次の図をよく使用します。

三角関数の形式。

図からわかるように、この数字は、 z = a + bi別の方法で書くこともできます。 それは明らかです a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|したがって、 z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) を複素数の引数といいます。 この複素数の表現はと呼ばれます 三角関数形式。 三角関数形式の表記は非常に便利な場合があります。 たとえば、複素数の整数乗に使用すると便利です。 z = rcos(φ) + rsin(φ)i、 それ z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i、この式はと呼ばれます ドゥ・モアブルの公式.

実証的な形式。

考慮する z = rcos(φ) + rsin(φ)iは三角関数形式の複素数なので、別の形式で書きます z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ、最後の等式はオイラーの公式に従うため、複素数を記述する新しい形式が得られます。 z = re iφと呼ばれる 実証的な。 この表記形式は、複素数のべき乗にも非常に便利です。 z n = r n e inφ、 ここ n必ずしも整数である必要はなく、任意の実数にすることができます。 この形式の書き方は、問題を解決するためによく使用されます。

高等代数の基本定理

二次方程式 x 2 + x + 1 = 0 があると想像してください。 明らかに、この方程式の判別式は負であり、実根はありませんが、この方程式には 2 つの異なる複素根があることがわかります。 したがって、高等代数の主定理は、n 次の多項式には少なくとも 1 つの複素根があると述べています。 このことから、多重度を考慮すると、n 次の多項式には正確に n 個の複素根があることがわかります。 この定理は数学において非常に重要な結果であり、広く適用されています。 この定理の単純な帰結は、ちょうど n 個の個別の n 次の単一根が存在するということです。

主なタスクの種類

このセクションでは、単純な複素数問題の主な種類について検討します。 従来、複素数の問題は次のようなカテゴリに分類できます。

• 複素数に対して単純な算術演算を実行します。
• 複素数の多項式の根を求めます。
• 複素数のべき乗。
• 複素数から根を抽出します。
• 他の問題を解決するための複素数の応用。

ここで、これらの問題を解決するための一般的な方法を考えてみましょう。

複素数を使用した最も単純な算術演算は、最初のセクションで説明した規則に従って実行されますが、複素数が三角関数形式または指数関数形式で表現されている場合、この場合、複素数は代数形式に変換され、既知の規則に従って演算を実行できます。

多項式の根を求めることは、通常、二次方程式の根を求めることになります。 二次方程式があるとします。その判別式が非負であれば、その根は実数となり、よく知られた公式に従って求められます。 判別式が負の場合、 D = -1・a 2、 どこ あるが特定の数値である場合、判別式は次の形式で表すことができます。 D = (ia) 2したがって、 √D = i|a|, その後、二次方程式の根に既知の公式を使用できます。

例。 先ほどの二次方程式 x 2 + x + 1 = 0 に戻りましょう。
判別式 - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
これで、ルートを簡単に見つけることができます。

複素数の累乗は、いくつかの方法で実行できます。 代数形式の複素数を小さい累乗 (2 または 3) まで上げたい場合は、直接乗算することでこれを行うことができますが、次数が大きい場合 (問題ではそれがさらに大きくなることがよくあります)、次のようにする必要があります。この数値を三角関数または指数形式で書き、既知の方法を使用します。

例。 z = 1 + i を考えて 10 乗します。
z を指数形式で書きます: z = √2 e iπ/4 。
それから z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
代数形式に戻りましょう: z 10 = -32i。

複素数からの根の抽出は、べき乗の逆演算であるため、同様の方法で行われます。 根を抽出するには、指数形式で数値を記述することがよく使用されます。

例。 単一性の次数 3 のすべての根を求めます。 これを行うには、方程式 z 3 = 1 のすべての根を見つけます。指数形式で根を探します。
方程式に r 3 e 3iφ = 1 または r 3 e 3iφ = e 0 を代入します。
したがって、r = 1、3φ = 0 + 2πk、よって φ = 2πk/3 となります。
φ = 0、2π/3、4π/3 でさまざまな根が得られます。
したがって、 1 、 e i2π/3 、 e i4π/3 は根です。
または代数形式では次のようになります。

最後のタイプの問題には、非常に多様な問題が含まれており、それらを解決するための一般的な方法はありません。 このようなタスクの簡単な例を次に示します。

金額を調べる sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

この問題の定式化は複素数を参照していませんが、複素数の助けを借りて簡単に解決できます。 これを解決するには、次の表現が使用されます。


この表現を和に代入すると、問題は通常の等比数列の和に帰着します。

結論

複素数は数学で広く使用されています。このレビュー記事では、複素数の基本演算について説明し、いくつかのタイプの標準問題を説明し、それらを解くための一般的な方法を簡単に説明しました。複素数の可能性をより詳細に研究するには、以下を参照することをお勧めします。専門的な文献を使用します。

文学

§ 1. 複素数: 定義、幾何学的な解釈、代数、三角関数、指数関数形式での演算

複素数の定義

複雑な等式

複素数の幾何学的表現

複素数の法と引数

複素数の代数形式と三角関数形式

複素数の指数形式

オイラーの公式

§ 2. 関数 (多項式) 全体とその基本特性。 複素数の集合に関する代数方程式の解法

次次の代数方程式の定義

多項式の基本的な性質

複素数の集合に関する代数方程式を解く例

自己吟味のための質問

用語集

§ 1. 複素数: 定義、幾何学的な解釈、代数、三角関数、指数関数形式での演算

複素数の定義 ( 複素数の定義を定式化する)

複素数 z は次の形式の式です。

代数形式の複素数、(1)

ここで、x、 y Î;

- 複素共役 番号z ;

- 反対の数字 番号z ;

- 複素ゼロ ;

- これは複素数のセットです。

1)z = 1 + 私Þ Re z= 1、私 z = 1, = 1 – 私、 = –1 – 私 ;

2)z = –1 + 私Þ Re z= –1、私 z = , = –1 – 私、 = –1 –私 ;

3)z = 5 + 0私= 5 Þ Re z= 5、私 z = 0, = 5 – 0私 = 5, = –5 – 0私 = –5

Þ もし私が z= 0 の場合 z = バツ- 実数;

4)z = 0 + 3私 = 3私Þ Re z= 0、私 z = 3, = 0 – 3私 = –3私 , = –0 – 3私 = – 3私

Þ 再の場合 z= 0 の場合 z = そうだね - 純粋虚数.

複雑な等式 (複素等価性の意味を定式化する)

1) ;

2) .

1 つの複素等式は、2 つの実数等式からなる系と等価です。 これらの実数式は、実数部と虚数部を分離することによって複素数式から得られます。

1) ;

2) .

複素数の幾何学的表現 ( 複素数の幾何学的表現とは何ですか?)

複素数 zドット ( バツ , y) 複素平面上の、またはこの点の動径ベクトル。

サイン z第 2 象限の は、デカルト座標系が複素平面として使用されることを意味します。

複素数の法と引数 ( 複素数の法と引数は何ですか?)

複素数の法は非負の実数です

.(2)

幾何学的には、複素数の法は、その数を表すベクトルの長さです。 z、または点の極半径 ( バツ , y).

次の数を複素平面上に描き、三角関数形式で書きます。

1)z = 1 + 私 Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

つまり、z = 0 の場合、次のようになります。

, j不定。

複素数の算術演算 (定義を示し、複素数の算術演算の主な特性をリストします。)

複素数の足し算（引き算）

z 1± z 2 = (バツ 1 + そうだね 1)±( バツ 2 + そうだね 2) = (バツ 1± バツ 2) + 私 (y 1± y 2),(5)

つまり、複素数を加算 (減算) する場合、その実数部と虚数部が加算 (減算) されます。

1)(1 + 私) + (2 – 3私) = 1 + 私 + 2 –3私 = 3 – 2私 ;

2)(1 + 2私) – (2 – 5私) = 1 + 2私 – 2 + 5私 = –1 + 7私 .

加算の基本的な性質

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

代数形式での複素数の乗算

z 1∙z 2 = (バツ 1 + そうだね 1)∙(バツ 2 + そうだね 2) = バツ 1バツ 2 + バツ 1そうだね 2 + そうだね 1バツ 2 + 私 2y 1y 2 = (6)

= (バツ 1バツ 2 – y 1y 2) + 私 (バツ 1y 2 + y 1バツ 2),

つまり、代数形式での複素数の乗算は、二項式と二項式の代数乗算の規則に従って実行され、その後、実数と虚数での類似のものの置換と縮小が続きます。

1)(1 + 私)∙(2 – 3私) = 2 – 3私 + 2私 – 3私 2 = 2 – 3私 + 2私 + 3 = 5 – 私 ;

2)(1 + 4私)∙(1 – 4私) = 1 – 42 私 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + 私)2 = 22 + 4私 + 私 2 = 3 + 4私 .

複素数の乗算三角関数形式

z 1∙z 2 = r 1(cos j 1 + 私罪 j 1)× r 2(cos j 2 + 私罪 j 2) =

= r 1r 2(cos j 1コス j 2 + 私コス j 1罪 j 2 + 私罪 j 1コス j 2 + 私 2 罪 j 1罪 j 2) =

= r 1r 2((cos j 1コス j 2-罪 j 1罪 j 2) + 私(cos j 1罪 j 2+罪 j 1コス j 2))

三角関数形式の複素数の積。つまり、複素数を三角関数形式で乗算すると、その係数が乗算され、引数が加算されます。

乗算の基本的な性質

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - 可換性。

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2)× z 3 = z 1×( z 2× z 3） - 結合性。

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - 加算に関する分配性。

4)z×0 = 0; z×1 = z ;

複素数の除算

割り算は掛け算の逆なので、

もし z × z 2 = z 1と z 2 ¹ 0、その後 。

代数形式で除算を実行する場合、分数の分子と分母に分母の複素共役が乗算されます。

代数形式での複素数の割り算。(7)

三角関数形式で除算を実行する場合、モジュールが分割され、引数が減算されます。

三角関数形式での複素数の割り算。(8)

2)
.

複素数の自然べき乗

自然べき乗は、三角関数形式で実行する方が便利です。

モアブル式、(9)

つまり、複素数を自然累乗すると、その係数がその累乗され、引数に指数が乗算されます。

(1 + を計算します) 私)10.

備考

1. 三角関数形式で乗算と自然べき乗の演算を実行する場合、角度値は 1 回転を超えて取得できます。 ただし、関数 と の周期性の特性に従って、それらは常に角度に換算したり、完全な回転の整数を落とすことによって換算できます。

2. 意味 は複素数の引数の主値と呼ばれます。

この場合、すべての可能な角度の値は次のとおりです。

、 であることは明らかです。

複素数から自然次数の根を抽出する

オイラーの公式(16)

三角関数と実数変数は、純粋な虚数指数をもつ指数関数 (指数) で表現されます。

§ 2. 関数 (多項式) 全体とその基本特性。 複素数の集合に関する代数方程式の解法

同じ次数の 2 つの多項式 nそれらの係数が変数の同じべき乗で一致する場合にのみ、互いにまったく等しい。 バツ、 あれは

証拠

w 恒等式 (3) は "xн (または "xн)" に当てはまります

Þ に対して有効です。 を代入すると、 の = ブン .

(3)の項を相互に消滅させましょう のそして ブン両方の部分を次のように割ります バツ :

このアイデンティティは「」にも当てはまります。 バツ、いつを含む バツ = 0

Þ 仮定すると バツ= 0、得られます の – 1 = ブン – 1.

(3") の期間で相互に消滅する の– 1と ある n– 1 と両方の部分を次のように割ります。 バツ、結果として得られるのは

同様に議論を続けると、次のようになります。 の – 2 = ブン –2, …, あ 0 = b 0.

したがって、2-x 多項式の同一性から、それらの係数は同じ次数で一致することが証明されます。 バツ .

逆のステートメントは当然明白です。 2 つの多項式のすべての係数が同じである場合、それらは同じ関数であるため、それらの値は引数のすべての値で同じになり、これはそれらが同一であることを意味します。 性質 1 は完全に証明されました。 v

多項式を割るとき PN (バツ) の差 ( バツ – バツ 0) 余りは次と等しい PN (バツ 0)、つまり

ベズーの定理(4)

どこ Qn – 1(バツ) - 除算の整数部分。次数の多項式です ( n – 1).

証拠

w 剰余を含む割り算の式を書いてみましょう。

PN (バツ) = (バツ – バツ 0)∙Qn – 1(バツ) + あ ,

どこ Qn – 1(バツ) - 次多項式 ( n – 1),

あ- 剰余。多項式を「列内で」二項式に分割するためのよく知られたアルゴリズムによる数値です。

この等価性は「」に当てはまります。 バツ、いつを含む バツ = バツ 0 Þ

PN (バツ 0) = (バツ 0 – バツ 0)× Qn – 1(バツ 0) + あ Þ

あ = PN (バツ 0)、h.t.d. v

ベズーの定理からの帰結。 剰余のない二項式による多項式の除算について

番号の場合 バツ 0 が多項式のゼロである場合、この多項式は差 ( バツ – バツ 0) 剰余なし、つまり

Þ .(5)

1) 、なぜなら P 3(1)°0

2) 以来 P 4(-2)°0

3) なぜなら P 2(-1/2)°0

多項式を「列内」で二項式に分割します。

_

_

_

_

_

次数 n ³ 1 のすべての多項式には、実数または複素数のゼロが少なくとも 1 つあります。

この定理の証明は私たちのコースの範囲を超えています。 したがって、証明なしで定理を受け入れます。

この定理と多項式を使用したベズーの定理に取り組んでみましょう PN (バツ).

後 nこれらの定理を 倍に適用すると、次のことが得られます。

どこ ある 0 は次の係数です。 バツ n V PN (バツ).

代数学の基本定理からの帰結。 多項式の線形因数への分解について

複素数の集合上の次数の多項式は次のように分解されます。 n線形因子、つまり

多項式の線形因数への分解 (6)

ここで、x1、x2、...xn は多項式のゼロです。

同時に、もし k集合からの数字 バツ 1, バツ 2, … xn互いに一致し、数値 a と一致すると、積 (6) の因数 ( バツ– a) k。 それから番号 バツ= a が呼び出されます k 倍ゼロ多項式 PN ( バツ) 。 もし k= 1 の場合、ゼロが呼び出されます 単純なゼロ多項式 PN ( バツ) .

1)P 4(バツ) = (バツ – 2)(バツ– 4)3Þ バツ 1 = 2 - 単純なゼロ、 バツ 2 = 4 - トリプルゼロ。

2)P 4(バツ) = (バツ – 私)4 バツ = 私- 多重度 4 はゼロです。

性質 4 (代数方程式の根の数について)

n 次の代数方程式 Pn(x) = 0 は、各根がその多重度と同じ回数カウントされる場合、複素数のセット上にちょうど n 個の根を持ちます。

1)バツ 2 – 4バツ+ 5 = 0 - 2 次の代数方程式

Þ バツ 1.2 = 2 ± = 2 ± 私- 2つの根;

2)バツ 3 + 1 = 0 - 3 次の代数方程式

Þ バツ 1,2,3 = - 3つの根;

3)P 3(バツ) = バツ 3 + バツ 2 – バツ– 1 = 0 バツ 1 = 1、なぜなら P 3(1) = 0.

多項式を除算する P 3(バツ） の上 （ バツ – 1):

バツ 3	+	バツ 2	–	バツ	–	1	バツ – 1
バツ 3	–	バツ 2	バツ 2 + 2バツ +1
2バツ 2	–	バツ
2バツ 2	–	2バツ
バツ	–	1
バツ	–	1
0

初期方程式

P 3(バツ) = バツ 3 + バツ 2 – バツ– 1 = 0 Û( バツ – 1)(バツ 2 + 2バツ+ 1) = 0 w( バツ – 1)(バツ + 1)2 = 0

Þ バツ 1 = 1 - 単純なルート、 バツ 2 \u003d -1 - 二重根。

1) ペアの複素共役根です。

実数係数を持つ多項式は、実数係数を持つ一次関数と二次関数の積に分解されます。

証拠

w しましょう バツ 0 = ある + バイ- 多項式ゼロ PN (バツ）。 この多項式のすべての係数が実数の場合、その係数もゼロになります (プロパティ 5 による)。

二項積を計算します :

複素数多項式

わかりました ( バツ – ある)2 + b 2 - 実係数を持つ平方三項式。

したがって、式 (6) の複素共役根を持つ二項式のペアは、実係数を持つ平方三項式になります。 v

1)P 3(バツ) = バツ 3 + 1 = (バツ + 1)(バツ 2 – バツ + 1);

2)P 4(バツ) = バツ 4 – バツ 3 + 4バツ 2 – 4バツ = バツ (バツ –1)(バツ 2 + 4).

複素数の集合に関する代数方程式を解く例 ( 複素数の集合に関する代数方程式を解く例を与える)

1. 1 次の代数方程式:

、単純なルートはこれだけです。

2. 二次方程式:

, - 常に 2 つのルート (異なるか等しい) があります。

1) .

3. 2 項の次数方程式:

, - 常にルートが異なります。

,

答え： 、 .

4. 3次方程式を解きます。

3 次方程式には 3 つの根 (実数または複素数) があり、各根はその多重度に応じて数えられる必要があります。 この方程式の係数はすべて実数であるため、方程式の複素根がある場合は、ペアごとの複素共役になります。

選択により、方程式の最初の根が見つかります。

ベズーの定理の当然の帰結による。 この除算を「列内」で計算します。

_
_
_

多項式を線形係数と二乗係数の積として表すと、次のようになります。

.

二次方程式の根として他の根を見つけます。

答え： 、 .

5. 数値が既知の場合、実係数を使用して最小次数の代数方程式を作成します。 バツ 1 = 3 および バツ 2 = 1 + 私そのルーツであり、 バツ 1 は二重根であり、 バツ 2 - シンプル。

この数値は方程式の根でもあります。 方程式の係数は実数でなければなりません。

合計すると、目的の方程式には 4 つの根があります。 バツ 1, バツ 1,バツ 2、。 したがって、次数は 4 です。ゼロを含む 4 次の多項式を作成します。 バツ

11. 複素ゼロとは何ですか?

13. 複素等価性の意味を定式化する。

15. 複素数の法と引数は何ですか?

17. 複素数の引数は何ですか?

18. 式の名前または意味は何ですか?

19. この式の表記の意味を説明してください。

27. 複素数の算術演算の定義を示し、主な特性をリストします。

28. 式の名前または意味は何ですか?

29. この式の表記の意味を説明してください。

31. 式の名前または意味は何ですか?

32. この式の表記の意味を説明してください。

34. 式の名前または意味は何ですか?

35. この式の表記の意味を説明してください。

61. 多項式の主な性質を列挙します。

63. 多項式を差分 (x - x0) で除算するプロパティを定式化します。

65. 式の名前または意味は何ですか?

66. この式の表記の意味を説明してください。

67. ⌂ .

69. 定理を定式化する 代数学の定理は基本です。

70. 式の名前または意味は何ですか?

71. この式の表記の意味を説明してください。

75. 代数方程式の根の数に関する性質を定式化します。

78. 実係数を持つ多項式の一次因子と二次因子への分解に関するプロパティを定式化します。

用語集

多項式の k 倍ゼロは... (p. 18) と呼ばれます。

代数多項式は... (p. 14) と呼ばれます。

n次の代数方程式は...と呼ばれます (p. 14)

複素数の代数形式は... (p. 5) と呼ばれます。

複素数の引数は... (p. 4)

複素数 z の実部は... (2 ページ)

複素共役は... (ページ 2)

複素ゼロは... (2 ページ)

複素数はと呼ばれます... (p. 2)

複素数の n 乗根は... (p. 10) と呼ばれます。

方程式の根は...と呼ばれます (p. 14)

多項式係数は... (p. 14)

虚数単位は... (2 ページ)

複素数 z の虚数部は... (2 ページ)

複素数の法は... (p. 4) と呼ばれます。

関数のゼロが呼び出されます... (p. 14)

複素数の指数形式は... (p. 11) と呼ばれます。

多項式は次のように呼ばれます... (p. 14)

多項式の単純なゼロは... (p. 18) と呼ばれます。

反対の数字は... (ページ 2)

多項式の次数は... (p. 14)

複素数の三角形式は... (p. 5) と呼ばれます。

ドゥ・モアブルの公式は... (p. 9)

オイラーの公式は... (p. 13)

関数全体が呼び出されます... (p. 14)

純粋な虚数とは... (p. 2)