Således beräknas längden på en vektor som kvadratroten av summan av kvadraterna av dess koordinater
. På liknande sätt beräknas längden på den n-dimensionella vektorn
. Om vi ​​minns att varje koordinat för vektorn är skillnaden mellan koordinaterna för slutet och början, så får vi formeln för längden på segmentet, dvs. Euklidiskt avstånd mellan punkter.

Skalär produkt två vektorer på ett plan är produkten av längderna av dessa vektorer och cosinus för vinkeln mellan dem:
. Det kan bevisas att den skalära produkten av två vektorer = (x 1, x 2) och = (y 1, y 2) är lika med summan av produkterna av motsvarande koordinater för dessa vektorer:
\u003d x 1 * y 1 + x 2 * y 2.

I n-dimensionellt rymd definieras punktprodukten av vektorerna X= (x 1 , x 2 ,...,x n) och Y= (y 1 , y 2 ,...,y n) som summan av produkterna av deras respektive koordinater: X*Y= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 * y 2 + ... + x n.

Operationen att multiplicera vektorer med varandra liknar att multiplicera en radmatris med en kolumnmatris. Vi betonar att resultatet blir ett tal, inte en vektor.

Den skalära produkten av vektorer har följande egenskaper (axiom):

1) Kommutativ egenskap: X*Y=Y*X.

2) Fördelningsegenskap med avseende på addition: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) För valfritt reellt tal 
.

4)
, om X inte är en nollvektor;
om X är en nollvektor.

Ett linjärt vektorrum där skalärprodukten av vektorer ges som uppfyller de fyra motsvarande axiomen kallas Euklidisk linjär vektorPlats.

Det är lätt att se att när vi multiplicerar en vektor med sig själv får vi kvadraten på dess längd. Så det är annorlunda längd vektor kan definieras som kvadratroten av dess skalära kvadrat:.

Längden på en vektor har följande egenskaper:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, där  är ett reellt tal;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Cauchy-Bunyakovsky ojämlikhet);

4) |X+Y||X|+|Y| ( triangelojämlikhet).

Vinkeln  mellan vektorer i ett n-dimensionellt rum bestäms utifrån konceptet med skalärprodukten. Ja, om
, Den där
. Denna bråkdel är inte större än en (enligt Cauchy-Bunyakovsky-ojämlikheten), så härifrån kan du hitta .

De två vektorerna kallas ortogonal eller vinkelrät om deras punktprodukt är noll. Det följer av definitionen av punktprodukten att nollvektorn är ortogonal mot vilken vektor som helst. Om båda ortogonala vektorerna är icke-noll, så är nödvändigtvis cos= 0, dvs.=/2 = 90 o.

Betrakta figur 7.4 igen. Det kan ses från figuren att cosinus för vinkeln  av vektorns lutning mot den horisontella axeln kan beräknas som
, och cosinus för vinkeln  för vektorns lutning mot den vertikala axeln som
. Dessa nummer kallas riktning cosinus. Det är lätt att se att summan av kvadraterna av riktningscosinus alltid är lika med ett: cos 2 +cos 2 = 1. På samma sätt kan vi introducera begreppet riktningscosinus för rum med högre dimensioner.

Vektor utrymme bas

För vektorer kan man definiera begreppen Linjär kombination,linjärt beroende Och oberoende liknande hur dessa koncept introducerades för matrisrader. Det är också sant att om vektorerna är linjärt beroende, så kan åtminstone en av dem uttryckas linjärt i termer av de andra (dvs det är en linjär kombination av dem). Det omvända påståendet är också sant: om en av vektorerna är en linjär kombination av de andra, så är alla dessa vektorer i aggregatet linjärt beroende.

Observera att om det bland vektorerna a l , a 2 , ... a m finns en nollvektor, så är denna samling av vektorer nödvändigtvis linjärt beroende. Faktum är att vi får  l a l +  2 a 2 +...+  m a m = 0, om vi till exempel likställer koefficienten  j med en nollvektor till ett, och alla andra koefficienter till noll. I detta fall kommer inte alla koefficienter att vara lika med noll ( j ≠ 0).

Dessutom, om några av vektorerna från uppsättningen vektorer är linjärt beroende, så är alla dessa vektorer linjärt beroende. Faktum är att om vissa vektorer ger en nollvektor i sin linjära kombination med koefficienter som inte samtidigt är noll, så kan de återstående vektorerna, multiplicerade med nollkoefficienter, adderas till denna summa av produkter, och det kommer fortfarande att vara en nollvektor.

Hur avgör man om vektorer är linjärt beroende?

Låt oss till exempel ta tre vektorer: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) och a 3 = (3, 1, 4, 3). Låt oss göra en matris från dem, där de kommer att vara kolumner:

Då kommer frågan om linjärt beroende att reduceras till att bestämma rangordningen för denna matris. Om det visar sig vara lika med tre, är alla tre kolumner linjärt oberoende, och om det visar sig vara mindre, kommer detta att indikera ett linjärt beroende av vektorerna.

Eftersom rangen är 2 är vektorerna linjärt beroende.

Observera att lösningen av problemet också kan startas med argument baserade på definitionen av linjärt oberoende. Komponera nämligen en vektorekvation  l a l +  2 a 2 +  3 a 3 \u003d 0, som kommer att ha formen  l * (1, 0, 1, 5) +  2 * (2, 1, 3, -2) * 3, 0, (3, 0, 0) = 3, 0, 0). Då får vi ett ekvationssystem:

Lösningen av detta system med Gauss-metoden kommer att reduceras till att erhålla samma stegmatris, bara det kommer att ha ytterligare en kolumn - fria medlemmar. De kommer alla att vara lika med noll, eftersom linjära transformationer av nollor inte kan leda till ett annat resultat. Det transformerade ekvationssystemet kommer att ha formen:

Lösningen för detta system blir (-s; -s; s), där s är ett godtyckligt tal; till exempel (-1;-1;1). Detta betyder att om vi tar  l \u003d -1;  2 \u003d -1 och  3 \u003d 1, då  l a l +  2 a 2 +  3 a 3 \u003d 0, dvs. vektorerna är faktiskt linjärt beroende.

Från det lösta exemplet blir det tydligt att om vi tar antalet vektorer mer än rummets dimension, så kommer de nödvändigtvis att vara linjärt beroende. Faktum är att om vi tog fem vektorer i det här exemplet, skulle vi få en 4 x 5 matris, vars rang inte kunde vara större än fyra. De där. det maximala antalet linjärt oberoende kolumner skulle fortfarande inte vara fler än fyra. Två, tre eller fyra fyrdimensionella vektorer kan vara linjärt oberoende, men fem eller fler kanske inte. Följaktligen kan inte mer än två vektorer vara linjärt oberoende i planet. Alla tre vektorer i det tvådimensionella rymden är linjärt beroende. I det tredimensionella rummet är alla fyra (eller fler) vektorer alltid linjärt beroende. Och så vidare.

Det är därför dimensionera mellanslag kan definieras som det maximala antalet linjärt oberoende vektorer som kan finnas i det.

Uppsättningen av n linjärt oberoende vektorer av det n-dimensionella rymden R kallas grund detta utrymme.

Sats. Varje linjär rymdvektor kan representeras som en linjär kombination av basvektorer, och dessutom på ett unikt sätt.

Bevis. Låt vektorerna e l , e 2 ,...e n bilda en bas för ett n-dimensionellt utrymme R. Låt oss bevisa att vilken vektor X som helst är en linjär kombination av dessa vektorer. Eftersom antalet vektorer tillsammans med vektorn X blir (n + 1) kommer dessa (n + 1) vektorer att vara linjärt beroende, d.v.s. det finns tal l , 2 ,..., n , som inte samtidigt är lika med noll, så att

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

I det här fallet 0, eftersom annars skulle vi få l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, där inte alla koefficienter l , 2 ,..., n är lika med noll. Detta betyder att basvektorerna skulle vara linjärt beroende. Därför kan vi dela upp båda sidorna av den första ekvationen i :

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + Х = 0

X \u003d - ( l / ) e l - ( 2 / ) e 2 -...- ( n / ) e n

X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n,

där x j = -( j /),
.

Låt oss nu bevisa att en sådan representation som en linjär kombination är unik. Antag motsatsen, dvs. att det finns en annan representation:

X \u003d y l e l + y 2 e 2 + ... + y n e n

Subtrahera från det term för term uttrycket som erhölls tidigare:

0 \u003d (y l - x 1) e l + (y 2 - x 2) e 2 + ... + (y n - x n) e n

Eftersom basvektorerna är linjärt oberoende får vi att (y j - x j) = 0,
, dvs y j = x j . Så uttrycket är detsamma. Teoremet har bevisats.

Uttrycket X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n kallas sönderfall vektor X enligt basen e l , e 2 ,...e n , och talen x l , x 2 ,... x n - koordinater vektor x med avseende på denna bas, eller i denna bas.

Det kan bevisas att om vektorer som inte är noll i ett n-dimensionellt euklidiskt utrymme är parvis ortogonala, då utgör de en bas. Låt oss faktiskt multiplicera båda sidor av ekvationen l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 med vilken vektor e i . Vi får  l (e l * e i) +  2 (e 2 * e i) +...+  n (e n * e i) = 0   i (e i * e i) = 0   i = 0 för  i.

Vektorerna e l , e 2 ,...e n av den n-dimensionella euklidiska rymdformen ortonormal grund, om dessa vektorer är parvis ortogonala och normen för var och en av dem är lika med en, dvs. om e i *e j = 0 för i≠ji |e i | = 1 för i.

Sats (utan bevis). Varje n-dimensionellt euklidiskt rum har en ortonormal grund.

Ett exempel på en ortonormal bas är ett system med n enhetsvektorer ei, där den i:te komponenten är lika med en och de återstående komponenterna är lika med noll. Varje sådan vektor kallas ort. Till exempel utgör vektororter (1, 0, 0), (0, 1, 0) och (0, 0, 1) grunden för ett tredimensionellt utrymme.

Den skalära produkten av vektorer (nedan i samriskföretagets text). Kära vänner! Matematikprovet innehåller en grupp problem för att lösa vektorer. Vi har redan övervägt några problem. Du kan se dem i kategorin "Vektorer". I allmänhet är teorin om vektorer enkel, det viktigaste är att studera den konsekvent. Beräkningar och åtgärder med vektorer i skolans matematikkurs är enkla, formlerna är inte komplicerade. Kolla upp . I den här artikeln kommer vi att analysera uppgifter om det gemensamma företaget av vektorer (ingår i provet). Nu "nedsänkning" i teorin:

H För att hitta koordinaterna för en vektor måste du subtrahera från koordinaterna för dess ändemotsvarande koordinater för dess början

Och vidare:

*Vektorlängd (modul) definieras enligt följande:

Dessa formler måste memoreras!!!

Låt oss visa vinkeln mellan vektorerna:

Det är klart att det kan variera från 0 till 180 0(eller i radianer från 0 till Pi).

Vi kan dra några slutsatser om den skalära produktens tecken. Längden på vektorer är uppenbarligen positiva. Så tecknet för den skalära produkten beror på värdet av cosinus för vinkeln mellan vektorerna.

Möjliga fall:

1. Om vinkeln mellan vektorerna är skarp (från 0 0 till 90 0), så kommer vinkelns cosinus att ha ett positivt värde.

2. Om vinkeln mellan vektorerna är trubbig (från 90 0 till 180 0), kommer vinkelns cosinus att ha ett negativt värde.

*Vid noll grader, det vill säga när vektorerna har samma riktning, är cosinus lika med ett och följaktligen blir resultatet positivt.

Vid 180 o, det vill säga när vektorerna har motsatta riktningar, är cosinus lika med minus ett,och resultatet blir negativt.

Nu den VIKTIGA POKEN!

Vid 90 o, det vill säga när vektorerna är vinkelräta mot varandra, är cosinus noll, och därmed är samriskföretaget noll. Detta faktum (konsekvens, slutsats) används för att lösa många problem där vi talar om det ömsesidiga arrangemanget av vektorer, inklusive i problem som ingår i den öppna banken av uppgifter i matematik.

Vi formulerar påståendet: skalärprodukten är lika med noll om och endast om de givna vektorerna ligger på vinkelräta linjer.

Så formlerna för SP-vektorerna är:

Om koordinaterna för vektorerna eller koordinaterna för punkterna för deras början och slut är kända, kan vi alltid hitta vinkeln mellan vektorerna:

Tänk på uppgifterna:

27724 Hitta den inre produkten av vektorerna a och b .

Vi kan hitta skalärprodukten av vektorer med en av två formler:

Vinkeln mellan vektorerna är okänd, men vi kan enkelt hitta vektorernas koordinater och sedan använda den första formeln. Eftersom början av båda vektorerna sammanfaller med origo, är koordinaterna för dessa vektorer lika med koordinaterna för deras ändar, dvs.

Hur man hittar koordinaterna för en vektor beskrivs i.

Vi beräknar:

Svar: 40

Hitta koordinaterna för vektorerna och använd formeln:

För att hitta koordinaterna för en vektor är det nödvändigt att subtrahera motsvarande koordinater för dess början från koordinaterna för slutet av vektorn, vilket betyder

Vi beräknar skalärprodukten:

Svar: 40

Hitta vinkeln mellan vektorerna a och b . Ge ditt svar i grader.

Låt vektorernas koordinater ha formen:

För att hitta vinkeln mellan vektorer använder vi formeln för skalärprodukten av vektorer:

Cosinus för vinkeln mellan vektorer:

Därav:

Koordinaterna för dessa vektorer är:

Låt oss koppla in dem i formeln:

Vinkeln mellan vektorerna är 45 grader.

Svar: 45

Definition 1

Skalärprodukten av vektorer kallas ett tal som är lika med produkten av dessa vektorers dyner och cosinus för vinkeln mellan dem.

Notationen för produkten av vektorerna a → och b → har formen a → , b → . Låt oss konvertera till formeln:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → och b → anger längderna på vektorerna, a → , b → ^ anger vinkeln mellan de givna vektorerna. Om minst en vektor är noll, det vill säga den har värdet 0, blir resultatet noll, a → , b → = 0

När vi multiplicerar en vektor med sig själv får vi kvadraten på dess dyn:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definition 2

Skalär multiplikation av en vektor i sig själv kallas en skalär kvadrat.

Beräknat enligt formeln:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Beteckningen a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → n pa → b → = b → n p b → a → visar att n p b → a → är den numeriska projektionen av a → på b → , n p a → a → a → varje projekt.

Vi formulerar definitionen av produkten för två vektorer:

Skalärprodukten av två vektorer a → med b → kallas produkten av längden av vektorn a → genom projektionen av b → av riktningen a → eller produkten av längden av b → genom projektionen av a →, respektive.

Prick produkten i koordinater

Beräkningen av den skalära produkten kan göras genom koordinaterna för vektorerna i ett givet plan eller i rymden.

Skalärprodukten av två vektorer på ett plan, i tredimensionell rymd, kallas summan av koordinaterna för de givna vektorerna a → och b → .

När du beräknar på planet för punktprodukten av givna vektorer a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) i det kartesiska systemet, använd:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

för tredimensionellt utrymme är uttrycket tillämpligt:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

Detta är faktiskt den tredje definitionen av dot-produkten.

Låt oss bevisa det.

Bevis 1

För beviset använder vi a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y för vektorer a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) på det kartesiska systemet.

Vektorer bör skjutas upp

OA → = a → = a x , a y och O B → = b → = b x , b y .

Då blir längden på vektorn A B → lika med A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Betrakta en triangel O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) är sant, baserat på cosinussatsen.

Av villkor kan man se att O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , så vi skriver formeln för att hitta vinkeln mellan vektorer annorlunda

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

Sedan följer av den första definitionen att b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , så (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Genom att tillämpa formeln för att beräkna längden på vektorer får vi:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 - y ) (b 2 - y ) (b 2 - y) = a x b x + a y b y

Låt oss bevisa jämlikheterna:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– respektive för vektorer av tredimensionellt rymd.

Skalärprodukten av vektorer med koordinater säger att den skalära kvadraten av en vektor är lika med summan av kvadraterna av dess koordinater i rymden respektive på planet. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) och (a →, a →) = a x 2 + a y2.

Dot produkt och dess egenskaper

Det finns punktproduktegenskaper som gäller för a → , b → och c → :

1. kommutativitet (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributivitet (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
3. associativ egenskap (λ a → , b →) = λ (a → , b →), (a → , λ b →) = λ (a → , b →), λ - vilket tal som helst;
4. den skalära kvadraten är alltid större än noll (a → , a →) ≥ 0 , där (a → , a →) = 0 när a → noll.

Exempel 1

Egenskaperna förklaras av definitionen av prickprodukten i planet och av egenskaperna för addition och multiplikation av reella tal.

Bevisa kommutativitetsegenskapen (a → , b →) = (b → , a →) . Från definitionen har vi att (a → , b →) = a y b y + a y b y och (b → , a →) = b x a x + b y a y .

Med egenskapen kommutativitet är likheterna a x · b x = b x · a x och a y · b y = b y · a y sanna, så a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Det följer att (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Distributiviteten är giltig för alla nummer:

(a (1) → + a (2) → + . . + a (n) →, b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) +. . . + (a (n) → , b →)

och (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) +. . . + (a → , b → (n)) ,

därför har vi

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a (1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) +. . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . ++ (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Prick produkt med exempel och lösningar

Alla problem med en sådan plan löses med hjälp av egenskaperna och formlerna för den skalära produkten:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n pa → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a →, b →) = a xb x + a y b y eller (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Låt oss titta på några exempel på lösningar.

Exempel 2

Längden på a → är 3, längden på b → är 7. Hitta prickprodukten om vinkeln har 60 grader.

Lösning

Efter villkor har vi all data, så vi beräknar med formeln:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Svar: (a → , b →) = 21 2 .

Exempel 3

Givna vektorer a → = (1 , - 1 , 2 - 3), b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Vad är den skalära produkten.

Lösning

I det här exemplet övervägs formeln för beräkning av koordinaterna, eftersom de anges i problemformuleringen:

(a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + (2 - 9) = - 9

Svar: (a → , b →) = - 9

Exempel 4

Hitta den inre produkten av A B → och A C → . Punkterna A (1 , - 3), B (5 , 4) , C (1 , 1) ges på koordinatplanet.

Lösning

Till att börja med beräknas vektorernas koordinater, eftersom punkternas koordinater ges av villkor:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

Genom att ersätta formeln med hjälp av koordinater får vi:

(A B →, A C →) = 40 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Svar: (A B → , A C →) = 28 .

Exempel 5

Med tanke på vektorerna a → = 7 m → + 3 n → och b → = 5 m → + 8 n → , hitta deras produkt. m → är lika med 3 och n → är lika med 2 enheter, de är vinkelräta.

Lösning

(a →, b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →). Genom att tillämpa den distribuerande egenskapen får vi:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Vi tar koefficienten utanför produktens tecken och får:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + → n →) + → 3 , → → 3 5 = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Genom egenskapen kommutativitet transformerar vi:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → →) = n → → →) (m → , m → ) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →)

Som ett resultat får vi:

(a →, b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →).

Nu tillämpar vi formeln för den skalära produkten med den vinkel som anges av villkoret:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) = 3 → 24 n → 3 co → 24 n → 2 + 24 2 2 = 411 .

Svar: (a → , b →) = 411

Om det finns en numerisk projektion.

Exempel 6

Hitta den inre produkten av a → och b → . Vektorn a → har koordinater a → = (9 , 3 , - 3) , projektionen b → har koordinater (- 3 , - 1 , 1) .

Lösning

Enligt villkor är vektorerna a → och projektionen b → motsatt riktade, eftersom a → = - 1 3 n p a → b → → , så projektionen b → motsvarar längden n p a → b → → , och med tecknet "-":

n pa → b → → = - n pa → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Genom att ersätta formeln får vi uttrycket:

(a → , b →) = a → n pa → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Svar: (a → , b →) = - 33 .

Problem med en känd skalär produkt, där det är nödvändigt att hitta längden på en vektor eller en numerisk projektion.

Exempel 7

Vilket värde ska λ ta för en given skalär produkt a → \u003d (1, 0, λ + 1) och b → \u003d (λ, 1, λ) kommer att vara lika med -1.

Lösning

Från formeln kan det ses att det är nödvändigt att hitta summan av produkterna av koordinater:

(a →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

I givet har vi (a → , b →) = - 1 .

För att hitta λ , beräknar vi ekvationen:

λ 2 + 2 · λ = - 1, därav λ = - 1 .

Svar: λ = - 1 .

Den fysiska innebörden av den skalära produkten

Mekanik överväger tillämpningen av dot-produkten.

När man arbetar med A med en konstant kraft F → en kropp som rör sig från punkt M till N, kan man hitta produkten av längderna av vektorerna F → och M N → med cosinus för vinkeln mellan dem, vilket betyder att arbetet är lika med produkten av kraft- och förskjutningsvektorerna:

A = (F^, MN^).

Exempel 8

Förskjutningen av en materialpunkt med 3 meter under inverkan av en kraft lika med 5 Nton riktas i en vinkel på 45 grader i förhållande till axeln. Hitta en .

Lösning

Eftersom arbete är produkten av kraftvektorn och förskjutningen, så får vi, baserat på villkoret F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , A = (F → , S →) = F → S → cos (F → , S ° → ^) = 5 3) cos (4,5)

Svar: A = 15 2 2 .

Exempel 9

Materialpunkten, som rörde sig från M (2, - 1, - 3) till N (5, 3 λ - 2, 4) under kraften F → = (3, 1, 2), fungerade lika med 13 J. Beräkna längden på rörelsen.

Lösning

För givna koordinater för vektorn M N → har vi M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

Genom formeln för att hitta arbete med vektorerna F → = (3 , 1 , 2) och M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) får vi A = (F ⇒ , M N →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ .

Som villkor är det givet att A \u003d 13 J, vilket betyder 22 + 3 λ \u003d 13. Detta innebär λ = - 3 , därav M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

För att hitta reslängden M N → tillämpar vi formeln och ersätter värdena:

MN → = 32+ (-10)2+72 = 158.

Svar: 158 .

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Punktprodukt av vektorer

Vi fortsätter att hantera vektorer. Vid första lektionen Vektorer för dummies vi har övervägt begreppet vektor, handlingar med vektorer, vektorkoordinater och de enklaste problemen med vektorer. Om du kom till denna sida för första gången från en sökmotor rekommenderar jag starkt att du läser ovanstående introduktionsartikel, för för att tillgodogöra dig materialet behöver du bli vägledd i de termer och notation jag använder, ha grundläggande kunskaper om vektorer och kunna lösa elementära problem. Den här lektionen är en logisk fortsättning på ämnet, och i den kommer jag att analysera i detalj typiska uppgifter som använder den skalära produkten av vektorer. Detta är ett MYCKET VIKTIGT jobb.. Försök att inte hoppa över exemplen, de kommer med en användbar bonus - praktiken kommer att hjälpa dig att konsolidera materialet som täcks och "få din hand" på att lösa vanliga problem med analytisk geometri.

Addera vektorer, multiplicera en vektor med ett tal... Det vore naivt att tro att matematiker inte har kommit på något annat. Utöver de åtgärder som redan har övervägts finns det ett antal andra operationer med vektorer, nämligen: prickprodukt av vektorer, korsprodukt av vektorer Och blandad produkt av vektorer. Den skalära produkten av vektorer är bekant för oss från skolan, de andra två produkterna är traditionellt relaterade till kursen i högre matematik. Ämnena är enkla, algoritmen för att lösa många problem är stereotyp och förståelig. Den enda saken. Det finns en anständig mängd information, så det är inte önskvärt att försöka bemästra och lösa ALLT OCH PÅ EN GÅNG. Detta gäller särskilt för dummies, tro mig, författaren vill absolut inte känna sig som Chikatilo från matematiken. Nåväl, inte från matematiken, förstås, heller =) Mer förberedda elever kan använda materialen selektivt, i en viss mening, för att "förvärva" den saknade kunskapen, för dig kommer jag att vara en ofarlig greve Dracula =)

Till sist, låt oss öppna dörren lite och ta en titt på vad som händer när två vektorer möter varandra...

Definition av skalärprodukten av vektorer.
Egenskaper hos den skalära produkten. Typiska arbetsuppgifter

Begreppet prickprodukt

Först om vinkel mellan vektorer. Jag tror att alla intuitivt förstår vad vinkeln mellan vektorer är, men för säkerhets skull, lite mer. Överväg fria vektorer som inte är noll och . Om vi ​​skjuter upp dessa vektorer från en godtycklig punkt, får vi en bild som många redan har presenterat mentalt:

Jag erkänner, här beskrev jag situationen endast på nivån av förståelse. Om du behöver en strikt definition av vinkeln mellan vektorer, se läroboken, men för praktiska uppgifter behöver vi i princip inte det. Även HÄR OCH VIDARE kommer jag ibland att ignorera nollvektorer på grund av deras låga praktiska betydelse. Jag gjorde en reservation specifikt för avancerade besökare på webbplatsen, som kan förebrå mig för den teoretiska ofullständigheten i några av följande påståenden.

kan ta värden från 0 till 180 grader (från 0 till radianer) inklusive. Analytiskt skrivs detta faktum som en dubbel ojämlikhet: eller (i radianer).

I litteraturen är vinkelikonen ofta utelämnad och enkelt skriven.

Definition: Den skalära produkten av två vektorer är ett TAL lika med produkten av längderna av dessa vektorer och cosinus för vinkeln mellan dem:

Nu är det en ganska strikt definition.

Vi fokuserar på viktig information:

Beteckning: den skalära produkten betecknas med eller helt enkelt .

Resultatet av operationen är ett NUMMER: Multiplicera en vektor med en vektor för att få ett tal. Faktum är att om längderna på vektorer är tal, är cosinus för vinkeln ett tal, då deras produkt kommer också att vara ett nummer.

Bara ett par uppvärmningsexempel:

Exempel 1

Lösning: Vi använder formeln . I detta fall:

Svar:

Cosinusvärden finns i trigonometrisk tabell. Jag rekommenderar att du skriver ut det - det kommer att krävas i nästan alla delar av tornet och kommer att krävas många gånger.

Rent matematiskt är den skalära produkten dimensionslös, det vill säga resultatet, i det här fallet, är bara en siffra och det är allt. Ur fysikens problemsynpunkt har den skalära produkten alltid en viss fysisk betydelse, det vill säga efter resultatet måste en eller annan fysisk enhet anges. Det kanoniska exemplet på att beräkna en krafts arbete kan hittas i vilken lärobok som helst (formeln är exakt en prickprodukt). En krafts arbete mäts i Joule, därför kommer svaret att skrivas ganska specifikt, till exempel.

Exempel 2

Hitta om , och vinkeln mellan vektorerna är .

Detta är ett exempel på självbeslut, svaret finns i slutet av lektionen.

Vinkel mellan vektorer och punktproduktvärde

I exempel 1 visade sig den skalära produkten vara positiv och i exempel 2 visade den sig vara negativ. Låt oss ta reda på vad tecknet på den skalära produkten beror på. Låt oss titta på vår formel: . Längden på vektorer som inte är noll är alltid positiva: , så tecknet kan bara bero på värdet av cosinus.

Notera: För en bättre förståelse av informationen nedan är det bättre att studera cosinusgrafen i manualen Grafer och funktionsegenskaper. Se hur cosinusen beter sig på segmentet.

Som redan noterats kan vinkeln mellan vektorerna variera inom , och följande fall är möjliga:

1) Om hörn mellan vektorer kryddad: (från 0 till 90 grader), sedan , Och prickprodukten kommer att vara positiv samregisserad, då anses vinkeln mellan dem vara noll, och den skalära produkten kommer också att vara positiv. Sedan är formeln förenklad: .

2) Om hörn mellan vektorer trubbig: (från 90 till 180 grader), då , och på motsvarande sätt, prickprodukten är negativ: . Specialfall: om vektorerna riktat motsatt, då beaktas vinkeln mellan dem utplacerade: (180 grader). Den skalära produkten är också negativ, eftersom

De omvända påståendena är också sanna:

1) Om , då är vinkeln mellan dessa vektorer spetsig. Alternativt är vektorerna samriktade.

2) Om , då är vinkeln mellan dessa vektorer trubbig. Alternativt är vektorerna riktade motsatta.

Men det tredje fallet är av särskilt intresse:

3) Om hörn mellan vektorer hetero: (90 grader) sedan och punktprodukt är noll: . Det omvända är också sant: om , då . Det kompakta uttalandet är formulerat enligt följande: Den skalära produkten av två vektorer är noll om och endast om de givna vektorerna är ortogonala. Kort matematisk notation:

! Notera : upprepa grunderna för matematisk logik: dubbelsidig logisk konsekvensikon läses vanligtvis "om och endast då", "om och endast om". Som du kan se är pilarna riktade åt båda håll - "av detta följer detta, och vice versa - från detta följer detta." Vad är förresten skillnaden från envägsföljningsikonen? Ikon hävdar bara det att "av detta följer detta", och inte det faktum att det omvända är sant. Till exempel: , men inte alla djur är en panter, så ikonen kan inte användas i det här fallet. Samtidigt, istället för ikonen Burk använd ensidig ikon. Till exempel, när vi löste problemet, fick vi reda på att vi drog slutsatsen att vektorerna är ortogonala: - en sådan post kommer att vara korrekt och till och med lämpligare än .

Det tredje fallet är av stor praktisk betydelse., eftersom det låter dig kontrollera om vektorerna är ortogonala eller inte. Vi kommer att lösa detta problem i den andra delen av lektionen.

Prick produktens egenskaper

Låt oss återgå till situationen när två vektorer samregisserad. I det här fallet är vinkeln mellan dem noll, , och den skalära produktformeln har formen: .

Vad händer om en vektor multipliceras med sig själv? Det är tydligt att vektorn är samriktad med sig själv, så vi använder ovanstående förenklade formel:

Numret är uppringt skalär kvadrat vektor och betecknas som .

Således, den skalära kvadraten av en vektor är lika med kvadraten på längden på den givna vektorn:

Från denna likhet kan du få en formel för att beräkna längden på en vektor:

Även om det verkar dunkelt, men lektionens uppgifter kommer att sätta allt på sin plats. För att lösa problem behöver vi också punkt produktegenskaper.

För godtyckliga vektorer och valfritt tal är följande egenskaper sanna:

1) - förskjutbar eller kommutativ skalär produktlag.

2) - distribution eller distributiv skalär produktlag. Enkelt uttryckt kan du öppna parenteser.

3) - kombination eller associativ skalär produktlag. Konstanten kan tas ut ur den skalära produkten.

Ofta upplevs alla möjliga egenskaper (som också måste bevisas!) av eleverna som onödigt skräp, som bara behöver memoreras och säkert glömmas bort direkt efter tentamen. Det verkar som att det som är viktigt här, alla vet redan från första klass att produkten inte förändras från en permutation av faktorerna:. Jag måste varna dig, i högre matematik med ett sådant tillvägagångssätt är det lätt att förstöra saker. Så till exempel är den kommutativa egenskapen inte giltig för algebraiska matriser. Det är inte sant för korsprodukt av vektorer. Därför är det åtminstone bättre att fördjupa sig i alla egenskaper som du kommer att möta under högre matematik för att förstå vad som kan och inte kan göras.

Exempel 3

.

Lösning: Låt oss först klargöra situationen med vektorn. Vad handlar det om? Summan av vektorerna och är en väldefinierad vektor, som betecknas med . Geometrisk tolkning av handlingar med vektorer finns i artikeln Vektorer för dummies. Samma persilja med en vektor är summan av vektorerna och .

Så, enligt tillståndet, krävs det att hitta den skalära produkten. I teorin måste du tillämpa arbetsformeln , men problemet är att vi inte vet längden på vektorerna och vinkeln mellan dem. Men i tillståndet ges liknande parametrar för vektorer, så vi kommer att gå åt andra hållet:

(1) Vi ersätter uttryck av vektorer.

(2) Vi öppnar parentesen enligt regeln för multiplikation av polynom, en vulgär tungvridare kan hittas i artikeln Komplexa tal eller Integration av en bråk-rationell funktion. Jag kommer inte att upprepa mig själv =) Förresten, den distribuerande egenskapen hos den skalära produkten tillåter oss att öppna parenteserna. Vi har rätten.

(3) I de första och sista termerna skriver vi kompakt de skalära kvadraterna av vektorerna: . I den andra termen använder vi den skalära produktens commuterbarhet: .

(4) Här är liknande termer: .

(5) I den första termen använder vi den skalära kvadratformeln, som nämndes för inte så länge sedan. Under den sista terminen fungerar samma sak: . Den andra termen utökas enligt standardformeln .

(6) Ersätt dessa villkor , och utför noggrant de slutliga beräkningarna.

Svar:

Det negativa värdet för punktprodukten anger att vinkeln mellan vektorerna är trubbig.

Uppgiften är typisk, här är ett exempel på en oberoende lösning:

Exempel 4

Hitta skalärprodukten av vektorerna och , om det är känt att .

Nu en annan vanlig uppgift, bara för den nya vektorlängdformeln. Beteckningarna här kommer att överlappa lite, så för tydlighetens skull kommer jag att skriva om den med en annan bokstav:

Exempel 5

Hitta längden på vektorn if .

Lösning blir som följer:

(1) Vi tillhandahåller vektoruttrycket.

(2) Vi använder längdformeln: , medan vi har ett heltalsuttryck som vektorn "ve".

(3) Vi använder skolans formel för kvadraten på summan. Var uppmärksam på hur det konstigt nog fungerar här: - i själva verket är det här kvadraten på skillnaden, och i själva verket är det så. De som vill kan ordna om vektorerna på platser: - det blev samma sak upp till en omarrangering av termerna.

(4) Det som följer är redan bekant från de två tidigare problemen.

Svar:

Eftersom vi pratar om längd, glöm inte att ange dimensionen - "enheter".

Exempel 6

Hitta längden på vektorn if .

Detta är ett gör-det-själv-exempel. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Vi fortsätter att pressa ut användbara saker ur den skalära produkten. Låt oss titta på vår formel igen . Med proportionsregeln återställer vi vektorernas längder till nämnaren på vänster sida:

Låt oss byta delar:

Vad är meningen med denna formel? Om längden på två vektorer och deras skalära produkt är kända, kan cosinus för vinkeln mellan dessa vektorer beräknas, och följaktligen själva vinkeln.

Är den skalära produkten ett nummer? Siffra. Är vektorlängder tal? Tal. Därför är ett bråk också ett visst tal. Och om cosinus för vinkeln är känd: , sedan med den inversa funktionen är det lätt att hitta själva vinkeln: .

Exempel 7

Hitta vinkeln mellan vektorerna och , om det är känt att .

Lösning: Vi använder formeln:

I slutskedet av beräkningar användes en teknik - eliminering av irrationalitet i nämnaren. För att eliminera irrationalitet multiplicerade jag täljaren och nämnaren med .

Så om , Den där:

Värdena för inversa trigonometriska funktioner kan hittas av trigonometrisk tabell. Även om detta sällan händer. I problem med analytisk geometri uppträder vissa klumpiga björnliknande mycket oftare, och värdet på vinkeln måste hittas ungefär med hjälp av en miniräknare. Faktum är att vi kommer att se den här bilden om och om igen.

Svar:

Återigen, glöm inte att ange dimensionen - radianer och grader. Personligen, för att medvetet "ta bort alla frågor", föredrar jag att ange båda (såvida det inte, naturligtvis, av villkoret krävs att svaret endast presenteras i radianer eller endast i grader).

Nu kommer du att kunna klara en svårare uppgift på egen hand:

Exempel 7*

Angivna är längderna på vektorerna och vinkeln mellan dem. Hitta vinkeln mellan vektorerna , .

Uppgiften är inte så mycket svår som flervägs.
Låt oss analysera lösningsalgoritmen:

1) Enligt villkoret krävs det att hitta vinkeln mellan vektorerna och , så du måste använda formeln .

2) Vi hittar den skalära produkten (se exempel nr 3, 4).

3) Hitta längden på vektorn och längden på vektorn (se exempel nr 5, 6).

4) Slutet på lösningen sammanfaller med exempel nr 7 - vi känner till talet , vilket betyder att det är lätt att hitta själva vinkeln:

Kort lösning och svar i slutet av lektionen.

Den andra delen av lektionen ägnas åt samma punktprodukt. Koordinater. Det blir ännu lättare än i första delen.

Punktprodukt av vektorer,
ges av koordinater på ortonormal basis

Svar:

Det behöver inte sägas att det är mycket trevligare att hantera koordinater.

Exempel 14

Hitta skalärprodukten av vektorer och om

Detta är ett gör-det-själv-exempel. Här kan du använda operationens associativitet, det vill säga inte räkna, utan omedelbart ta trippeln ur skalärprodukten och multiplicera med den sist. Lösning och svar i slutet av lektionen.

I slutet av stycket, ett provokativt exempel på att beräkna längden på en vektor:

Exempel 15

Hitta längder på vektorer , Om

Lösning:återigen föreslår metoden i föregående avsnitt sig själv: men det finns ett annat sätt:

Låt oss hitta vektorn:

Och dess längd enligt den triviala formeln :

Den skalära produkten är inte aktuell här alls!

Hur out of business är det när man beräknar längden på en vektor:
Sluta. Varför inte dra fördel av den uppenbara längdegenskapen hos en vektor? Vad kan man säga om längden på en vektor? Denna vektor är 5 gånger längre än vektorn. Riktningen är motsatt, men det spelar ingen roll, för vi pratar om längd. Uppenbarligen är vektorns längd lika med produkten modul antal per vektorlängd:
- modulens tecken "äter" det möjliga minus av numret.

Således:

Svar:

Formeln för cosinus för vinkeln mellan vektorer som ges av koordinater

Nu har vi fullständig information så att den tidigare härledda formeln för cosinus för vinkeln mellan vektorer uttryck i termer av vektorkoordinater:

Cosinus för vinkeln mellan planvektorer och , givet i den ortonormala grunden , uttrycks med formeln:
.

Cosinus för vinkeln mellan rymdvektorer, givet i ortonormal grund , uttrycks med formeln:

Exempel 16

Tre hörn i en triangel ges. Hitta (vertexvinkel ).

Lösning: Enligt villkor krävs inte ritningen, men ändå:

Den önskade vinkeln är markerad med en grön båge. Vi minns omedelbart skolans beteckning av vinkeln: - särskild uppmärksamhet på mitten bokstav - detta är spetsen på vinkeln vi behöver. För korthetens skull kan det också skrivas enkelt.

Från ritningen är det ganska uppenbart att triangelns vinkel sammanfaller med vinkeln mellan vektorerna och , med andra ord: .

Det är önskvärt att lära sig hur man utför den analys som utförs mentalt.

Låt oss hitta vektorerna:

Låt oss beräkna den skalära produkten:

Och längden på vektorerna:

Cosinus av en vinkel:

Det är denna ordning av uppgiften som jag rekommenderar till dummies. Mer avancerade läsare kan skriva beräkningarna "på en rad":

Här är ett exempel på ett "dåligt" cosinusvärde. Det resulterande värdet är inte slutgiltigt, så det finns ingen mening med att bli av med irrationaliteten i nämnaren.

Låt oss hitta vinkeln:

Om du tittar på ritningen är resultatet ganska rimligt. För att kontrollera vinkeln kan även mätas med en gradskiva. Skada inte bildskärmens beläggning =)

Svar:

I svaret, glöm inte det frågade om triangelns vinkel(och inte om vinkeln mellan vektorerna), glöm inte att ange det exakta svaret: och det ungefärliga värdet på vinkeln: hittas med en miniräknare.

De som har njutit av processen kan beräkna vinklarna och se till att den kanoniska jämlikheten är sann

Exempel 17

En triangel ges i rymden av koordinaterna för dess hörn. Hitta vinkeln mellan sidorna och

Detta är ett gör-det-själv-exempel. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen

Ett litet sista avsnitt kommer att ägnas åt projektioner, där den skalära produkten också är "involverad":

Projektion av en vektor på en vektor. Vektorprojektion på koordinataxlar.
Vector riktning cosinus

Tänk på vektorer och:

Vi projicerar vektorn på vektorn, för detta utelämnar vi från början och slutet av vektorn vinkelräta per vektor (gröna prickade linjer). Föreställ dig att ljusstrålar faller vinkelrätt mot en vektor. Då kommer segmentet (röd linje) att vara vektorns "skugga". I detta fall är projektionen av en vektor på en vektor segmentets LÄNGD. Det vill säga, PROJEKTION ÄR ETT TAL.

Detta NUMMER betecknas enligt följande: , "stor vektor" betecknar en vektor SOM projekt, "liten nedsänkt vektor" betecknar vektorn PÅ som projiceras.

Själva posten lyder så här: "projektionen av vektorn "a" på vektorn "be"".

Vad händer om vektorn "be" är "för kort"? Vi ritar en rak linje som innehåller vektorn "be". Och vektorn "a" kommer redan att projiceras till vektorns riktning "vara", helt enkelt - på en rak linje som innehåller vektorn "be". Samma sak kommer att hända om vektorn "a" sätts åt sidan i det trettionde riket - den kommer fortfarande att projiceras lätt på linjen som innehåller vektorn "be".

Om vinkeln mellan vektorer kryddad(som på bilden), alltså

Om vektorerna ortogonal, alltså (projektionen är en punkt vars dimensioner antas vara noll).

Om vinkeln mellan vektorer trubbig(i figuren, ordna om vektorns pil mentalt), sedan (samma längd, men taget med ett minustecken).

Lägg åt sidan dessa vektorer från en punkt:

Uppenbarligen ändras inte dess projektion när en vektor flyttas

1. Definition och enkla egenskaper. Låt oss ta vektorerna a och b som inte är noll och lägga dem åt sidan från en godtycklig punkt O: OA = a och OB = b. Värdet på vinkeln AOB kallas vinkeln mellan vektorerna a och b och betecknas (a,b). Om åtminstone en av de två vektorerna är noll, anses vinkeln mellan dem, per definition, vara rätt. Observera att vinkeln mellan vektorer per definition är minst 0 och högst . Dessutom är vinkeln mellan två vektorer som inte är noll lika med 0 om och endast om dessa vektorer är samriktade och lika med om och bara om de är i motsatta riktningar.

Låt oss kontrollera att vinkeln mellan vektorerna inte beror på valet av punkt O. Detta är uppenbart om vektorerna är kolinjära. Annars sätter vi åt sidan från en godtycklig punkt O 1 vektorer O 1 A 1 = a och o 1 I 1 = b och notera att trianglarna AOB och A 1 HANDLA OM 1 I 1 är lika på tre sidor, eftersom |OA| = |O 1 A 1 | = |a|, |OB| = |O 1 I 1 | = |b|, |AB| = |A 1 I 1 | = |b–а|. Därför är vinklarna AOB och A 1 HANDLA OM 1 I 1 är jämlika.

Nu kan vi ge det viktigaste i detta stycke

(5.1) Definition. Skalärprodukten av två vektorer a och b (betecknade med ab) är talet 6 , lika med produkten av längderna av dessa vektorer och cosinus för vinkeln mellan vektorerna. Kort sagt:

ab = |a||b|cos (a,b).

Operationen att hitta den skalära produkten kallas skalär multiplikation av vektorer. Skalärprodukten aa av en vektor med sig själv kallas den skalära kvadraten av denna vektor och betecknas en 2 .

(5.2) Den skalära kvadraten av en vektor är lika med kvadraten på dess längd.

 Om |a|  0 då (a,a) = 0, varifrån a 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . Om a = 0, då a 2 = |a| 2 = 0. 

(5.3) Cauchys ojämlikhet. Modulen för den skalära produkten av två vektorer överstiger inte produkten av moduler av faktorer: |ab| |a||b|. I detta fall uppnås likhet om och endast om vektorerna a och b är kolinjära.

 Per definition |ab| = ||a||b|cos (a,b)| = |a||b||cos (a,b)|  |a||b. Detta bevisar själva Cauchy-ojämlikheten. Låt oss nu märka. att för vektorer som inte är noll uppnås a och b likhet i den om och endast om |cos (a,b)| = 1, dvs. på (a,b) = 0 eller (a,b) =  . Det senare är ekvivalent med att vektorerna a och b är samriktade eller motsatt riktade, d.v.s. kolinjär. Om åtminstone en av vektorerna a och b är noll, så är de kolinjära och |ab| = |a||b| = 0. 

2. Grundläggande egenskaper för skalär multiplikation. Dessa inkluderar följande:

(CS1) ab = ba (kommutativitet);

(CS2) (xa)b = x(ab) (associativitet);

(CS3) a(b+c) = ab + ac (distributivitet).

Kommutativiteten här är uppenbar, eftersom ab =  ba. Associativitet för x = 0 är också uppenbar. Om x > 0 då

(ha)b = |ha||b|cos (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

för (xa, b) = (a,b) (från samriktningen av vektorerna xa och a - Fig. 21). Om x< 0 då

(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

för (xa, b) = –  (a,b) (från motsatt riktning av vektorerna xa och a - Fig.22). Därmed är också associativitet bevisad.

Att bevisa distribution är svårare. För detta behöver vi sådana

(5.4) Lemma. Låt a vara en vektor som inte är noll parallell med linjen l och b en godtycklig vektor. Sedan den ortogonala projektionenb" av vektorn b till linjen l är lika med
.



Om b = 0, dåb" = 0 och ab = 0, så att i detta fall lemmat är sant. I det följande kommer vi att anta att vektorn b" inte är noll. I det här fallet, från en godtycklig punkt O på den räta linjen l, avsätter vi vektorerna OA = a och OB = b, och släpper även den vinkelräta BB "från punkten B till den räta linjen l. Per definitionOB" = b"Och (a,b) =  AOW. Beteckna AOB igenom och bevisa lemmat separat för vart och ett av följande tre fall:

1)  <  /2. Därefter vektorerna a och samregisserad (fig. 23) och

b" = =
=
.

2)  >  /2 . Därefter vektorerna a ochb"motsatt riktad (fig. 24) och

b" = – = –
= .

3)  =  /2. Sedanb" = 0 och ab = 0, varifrånb" =
= 0. 

Vi bevisar nu fördelningen av (CS3). Det är uppenbart om vektorn a är noll. Låt a  0. Dra sedan en linje l || a, och beteckna medb"Ochc" ortogonala projektioner av vektorerna b och c på den och genomd" vara den ortogonala projektionen av vektorn d = b + c på den. Enligt sats 3.5d" = b"+ c". Genom att tillämpa Lemma 5.4 på den sista jämställdheten får vi jämställdheten
=
. Om vi ​​multiplicerar det skalärt med a, finner vi det 2 =
, varifrån ad = ab+ac, som skulle bevisas.

Egenskaperna för skalär multiplikation av vektorer som bevisats av oss liknar motsvarande egenskaper för multiplikation av tal. Men inte alla egenskaper för multiplikation av tal överförs till skalär multiplikation av vektorer. Här är typiska exempel:

1

) Om ab = 0, betyder det inte att a = 0 eller b = 0. Exempel: två vektorer som inte är noll som bildar en rät vinkel.

2) Om ab = ac, betyder det inte att b = c, även om vektorn a är icke-noll. Exempel: b och c är två olika vektorer av samma längd, som bildar lika stora vinklar med vektorn a (fig. 25).

3) Det är inte sant att alltid a(bc) = (ab)c: om så bara för att giltigheten av en sådan jämlikhet för bc, ab 0 antyder att vektorerna a och c är kolinjära.

3. Ortogonalitet av vektorer. Två vektorer kallas ortogonala om vinkeln mellan dem är rätt. Ortogonalitet av vektorer indikeras av ikonen .

När vi definierade vinkeln mellan vektorer kom vi överens om att betrakta vinkeln mellan nollvektorn och vilken annan vektor som helst som en rät linje. Därför är nollvektorn ortogonal mot någon. Detta avtal tillåter oss att bevisa sådant

(5.5) Tecken på ortogonalitet för två vektorer. Två vektorer är ortogonala om och endast om deras punktprodukt är 0.

 Låt a och b vara godtyckliga vektorer. Om åtminstone en av dem är noll, är de ortogonala, och deras skalära produkt är lika med 0. I det här fallet är alltså satsen sann. Låt oss nu anta att båda givna vektorerna är icke-noll. Per definition är ab = |a||b|cos (a,b). Eftersom enligt vårt antagande siffrorna |a| och |b| inte är lika med 0, då är ab = 0 cos (a, b) = 0  (a, b) = /2, som skulle bevisas.

Likheten ab = 0 tas ofta som definitionen av ortogonalitet hos vektorer.

(5.6) Följd. Om vektorn a är ortogonal mot var och en av vektorerna a 1 , …, A P , då är den också ortogonal mot någon av deras linjära kombinationer.

 Det räcker att notera att från jämställdheten aa 1 = … = aa P = 0 innebär likheten a(x 1 A 1 + … +x P A P ) = x 1 (ah 1 ) + … + x P (ah P ) = 0. 

Från följd 5.6 är det lätt att härleda skolkriteriet för vinkelrätheten hos en linje och ett plan. Låt verkligen någon linje MN vara vinkelrät mot två skärande linjer AB och AC. Då är vektorn MN ortogonal mot vektorerna AB och AC. Låt oss ta vilken rät linje DE som helst i planet ABC. Vektorn DE är i samma plan som de icke-kollinjära vektorerna AB och AC, och expanderar därför i dem. Men då är den också ortogonal mot vektorn MN, det vill säga linjerna MN och DE är vinkelräta. Det visar sig att linjen MN är vinkelrät mot vilken linje som helst från planet ABC, vilket skulle bevisas.

4. Ortonormala baser. (5.7) Definition. En bas för ett vektorrum sägs vara ortonormalt om för det första alla dess vektorer har enhetslängd och för det andra är två av dess vektorer ortogonala.

Vektorer av ortonormal basis i tredimensionellt rymd betecknas vanligtvis med bokstäverna i, j och k, och på vektorplanet med bokstäverna i och j. Med hänsyn till tecknet på ortogonalitet för två vektorer och likheten mellan skalära kvadraten av en vektor och kvadraten på dess längd, ortonormalitetsvillkoren för basen (i,j,k) för rymden V 3 kan skrivas så här:

(5.8) i 2 = j 2 = k 2 = 1 , ij = ik = jk = 0,

och basen (i,j) för vektorplanet - enligt följande:

(5.9) i 2 = j 2 = 1, ij = 0.

Låt vektorerna a och b ha i den ortonormala basen (i,j,k) mellanrummen V 3 koordinater (a 1 , A 2 , A 3 ) och (b 1 b 2 ,b 3 ) respektive. Sedanab = (A 1 i+A 2 j+A 3 k)(b 1 i+b 2 j+b 3 k) = a 1 b 1 i 2 +a 2 b 2 j 2 +a 3 b 3 k 2 +a 1 b 2 ij+a 1 b 3 ik+a 2 b 1 ji+a 2 b 3 jk+a 3 b 1 ki+a 3 b 2 kj = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 . Så här är formeln för skalärprodukten av vektorer a (a 1 ,A 2 ,A 3 ) och b(b 1 ,b 2 ,b 3 ) ges av deras koordinater i den ortonormala basen för utrymmet V 3 :

(5.10) ab = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 .

För vektorer a(a 1 ,A 2 ) och b(b 1 ,b 2 ) ges av deras koordinater i en ortonormal basis på vektorplanet, den har formen

(5.11) ab = a 1 b 1 + a 2 b 2 .

Låt oss byta ut b = a i formeln (5.10). Det visar sig att i den ortonormala basen a 2 = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 . Eftersom a 2 = |a| 2 , får vi en sådan formel för att hitta längden på vektorn a (a 1 ,A 2 ,A 3 ) definieras av dess koordinater i den ortonormala basen för utrymmet V 3 :

(5.12) |a| =
.

På vektorplanet, i kraft av (5.11), tar det formen

(5.13) |a| =
.

Genom att ersätta b = i, b = j, b = k i formeln (5.10), får vi ytterligare tre användbara likheter:

(5.14) ai = a 1 , aj = a 2 , ak = a 3 .

Enkelheten med koordinatformler för att hitta den skalära produkten av vektorer och vektorlängd är den största fördelen med ortonormala baser. För icke-ortonormala baser är dessa formler generellt sett felaktiga, och deras tillämpning i detta fall är ett grovt misstag.

5. Riktningskosinus. Ta in en ortonormal basis (i,j,k) mellanrummen V 3 vektor a(a 1 ,A 2 ,A 3 ). Sedanai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (a, i).Å andra sidan, ai = a 1 enligt formel 5.14. Det visar sig att

(5.15) a 1 = |a|cos (a, i).

och likaså,

A 2 = |a|cos (a,j), och 3 = |a|cos (a, k).

Om vektorn a är enhet tar dessa tre likheter en särskilt enkel form:

(5.16) A 1 = cos (a, i),A 2 = cos (a, j),A 3 = cos (a, k).

Cosinuserna för vinklarna som bildas av en vektor med vektorerna för en ortonormal bas kallas riktningscosinus för denna vektor i den givna basen. Som formlerna 5.16 visar är koordinaterna för en enhetsvektor på ortonormal basis lika med dess riktningscosinus.

Från 5.15 följer att en 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = |a| 2 (cos 2  (a,i)+cos 2  (a,j)+cos 2  (a, k)). Å andra sidan, a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = |a| 2 . Det visar sig att

(5.17) summan av cosinus i kvadrat för en vektor som inte är noll är lika med 1.

Detta faktum är användbart för att lösa vissa problem.

(5.18) Problem. Diagonalen av en rektangulär parallellepiped bildas med två av dess kanter som kommer ut från samma vertexvinklar på 60 . Vilken vinkel bildar den med den tredje kanten som kommer ut ur denna vertex?

 Betrakta en ortonormal grund för utrymmet V 3 , vars vektorer representeras av kanterna på parallellepipeden som kommer ut från den givna vertexen. Eftersom den diagonala vektorn bildar vinklar på 60 med två vektorer av denna bas , kvadraterna av två av dess tre riktnings cosinus är lika med cos 2 60  = 1/4. Därför är kvadraten på den tredje cosinus 1/2, och denna cosinus i sig är 1/
. Så den önskade vinkeln är 45 . 