したがって、ベクトルの長さは、その座標の二乗の合計の平方根として計算されます。
。 同様に、n次元ベクトルの長さを計算します。
。 ベクトルの各座標が終点と始点の座標の差であることを思い出せば、セグメントの長さの公式が得られます。 点間のユークリッド距離。

スカラー積平面上の 2 つのベクトルは、これらのベクトルの長さとそれらの間の角度の余弦の積です。
。 2 つのベクトルのスカラー積は次のように証明できます。 = (x 1, x 2) および = (y 1, y 2) は、これらのベクトルの対応する座標の積の合計に等しくなります。
\u003d x 1 * y 1 + x 2 * y 2。

n 次元空間では、ベクトル X= (x 1 , x 2 ,...,x n) と Y= (y 1 , y 2 ,...,y n) の内積は、積の和として定義されます。それぞれの座標: X*Y \u003d x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n。

ベクトル同士を乗算する操作は、行行列と列行列を乗算することに似ています。 結果はベクトルではなく数値になることを強調します。

ベクトルのスカラー積には次の特性 (公理) があります。

1) 可換性: X*Y=Y*X。

２）加算に関する分配性：Ｘ（Ｙ＋Ｚ）＝Ｘ＊Ｙ＋Ｘ＊Ｚ。

3) 任意の実数の場合 
.

4)
、X がゼロベクトルでない場合。
X がゼロベクトルの場合。

対応する 4 つの公理を満たすベクトルのスカラー積が与えられる線形ベクトル空間をといいます。 ユークリッド線形ベクトル空.

任意のベクトルを単独で乗算すると、その長さの 2 乗が得られることは簡単にわかります。 だから違うんだよ 長さベクトルは、そのスカラー平方の平方根として定義できます。

ベクトルの長さには次の特性があります。

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|、ここで、 は実数です。

3) |X*Y||X|*|Y| ( コーシー・ブニャコフスキーの不等式);

4) |X+Y||X|+|Y| ( 三角不等式).

n 次元空間におけるベクトル間の角度  は、スカラー積の概念に基づいて決定されます。 確かに、もし
、 それか
。 この分数は 1 より大きくないため (コーシー-ブニャコフスキーの不等式によれば)、ここから  を求めることができます。

2 つのベクトルは次のように呼ばれます。 直交また 垂直内積がゼロの場合。 内積の定義から、ゼロ ベクトルは任意のベクトルに直交することがわかります。 両方の直交ベクトルがゼロ以外の場合、必然的に cos= 0、つまり =/2 = 90 o になります。

図 7.4 をもう一度考えてみましょう。 図から、水平軸に対するベクトルの傾きの角度の余弦は次のように計算できることがわかります。
、垂直軸に対するベクトルの傾きの角度  の余弦は次のようになります。
。 これらの番号は次のように呼ばれます 方向余弦。 方向余弦の二乗和が常に 1 に等しいことは簡単にわかります: cos 2 +cos 2 = 1。同様に、高次元の空間に対して方向余弦の概念を導入できます。

ベクトル空間基準

ベクトルの場合、次の概念を定義できます。 線形結合,線形依存性と 独立これらの概念が行列行に導入された方法と同様です。 また、ベクトルが線形依存している場合、それらの少なくとも 1 つは他のベクトルに関して線形に表現できる (つまり、ベクトルの線形結合である) ことも事実です。 逆のステートメントも真です。ベクトルの 1 つが他のベクトルの線形結合である場合、集合体内のこれらすべてのベクトルは線形従属になります。

ベクトル a l 、a 2 、...a m の中にゼロ ベクトルがある場合、このベクトルの集合は必然的に線形依存することに注意してください。 実際、たとえばゼロベクトルを持つ係数  j を 1 に等しく、他のすべての係数を 0 に等しいとすると、  l a l +  2 a 2 +...+  m a m = 0 が得られます。 この場合、すべての係数がゼロに等しくなるわけではありません ( j ≠ 0)。

さらに、ベクトルのセットの一部のベクトルが線形従属である場合、これらのベクトルはすべて線形従属になります。 実際、一部のベクトルが、同時にゼロではない係数との線形結合でゼロ ベクトルを与える場合、ゼロ係数を掛けた残りのベクトルをこの積の和に加算できますが、依然としてゼロ ベクトルのままです。

ベクトルが線形依存しているかどうかを判断するにはどうすればよいでしょうか?

たとえば、3 つのベクトル、a 1 = (1, 0, 1, 5)、a 2 = (2, 1, 3, -2)、および a 3 = (3, 1, 4, 3) を考えてみましょう。 それらから列となる行列を作成しましょう。

次に、線形依存の問題は、この行列のランクを決定することに帰着します。 これが 3 に等しい場合は、3 つの列すべてが線形独立であることを示し、それより小さい場合は、ベクトルの線形依存性を示します。

ランクが 2 であるため、ベクトルは線形依存します。

問題の解決は、線形独立性の定義に基づいた議論から始めることもできることに注意してください。 つまり、ベクトル方程式  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0 を作成します。これは、 l * (1, 0, 1, 5) + 2 * (2, 1, 3, -) の形式になります。 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0)。 次に、連立方程式が得られます。

ガウス法によるこのシステムの解法は、同じステップ行列を取得することに帰着しますが、列のないメンバーが 1 つ増えるだけです。 ゼロの線形変換では異なる結果が得られないため、それらはすべてゼロに等しくなります。 変換された連立方程式は次の形式になります。

このシステムの解は (-s; -s; s) になります。s は任意の数です。 たとえば、(-1;-1;1)。 これは、 l \u003d -1; 2 \u003d -1 および 3 \u003d 1 をとった場合、  l a l +  2 a 2 +  3 a 3 \u003d 0、つまり 実際にはベクトルは線形に依存します。

解決された例から、空間の次元よりも多くのベクトルの数を取る場合、それらは必然的に線形依存することが明らかになります。 実際、この例で 5 つのベクトルを取得すると、4 x 5 の行列が得られますが、そのランクは 4 を超えることはできません。 それらの。 線形独立列の最大数は依然として 4 つを超えません。 2 つ、3 つ、または 4 つの 4 次元ベクトルは線形独立である可能性がありますが、5 つ以上の場合はそうでない可能性があります。 したがって、平面内で線形独立できるベクトルは 2 つまでです。 2 次元空間内の任意の 3 つのベクトルは線形依存します。 3 次元空間では、4 つ (またはそれ以上) のベクトルは常に線形依存します。 等々。

それが理由です 寸法空間は、その中に存在できる線形独立ベクトルの最大数として定義できます。

n 次元空間の n 個の線形独立ベクトルの集合を R と呼びます。 基礎この空間。

定理。 各線形空間ベクトルは、基底ベクトルの線形結合として、さらに独自の方法で表現できます。

証拠。 ベクトル e l 、e 2 、...en が n 次元空間 R の基底を形成するとします。任意のベクトル X がこれらのベクトルの線形結合であることを証明しましょう。 ベクトル X を合わせると、ベクトルの数は (n + 1) になるため、これらの (n + 1) 個のベクトルは線形従属になります。 同時にゼロに等しくない数 l 、 2 、...、 n 、 があります。

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

この場合、0 です。 そうでなければ、 l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 が得られますが、すべての係数 l , 2 ,..., n が 0 に等しいわけではありません。 これは、基底ベクトルが線形に依存することを意味します。 したがって、最初の式の両辺は次のように分割できます。

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + Х = 0

X \u003d - ( l / ) e l - ( 2 / ) e 2 -...- ( n / ) e n

X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n、

ここで、x j = -( j /)、
.

ここで、線形結合のような表現が一意であることを証明しましょう。 逆のことを仮定します。つまり、 別の表現があることを示します。

X \u003d y l e l + y 2 e 2 + ... + y n en

そこから、前に取得した式を項ごとに減算します。

0 \u003d (y l - x 1) e l + (y 2 - x 2) e 2 + ... + (y n - x n) e n

基底ベクトルは線形独立であるため、(y j - x j) = 0 が得られます。
つまり、 y j = x j です。 だから表現も同じなんです。 定理は証明されました。

式 X \u003d x l e l + x 2 e 2 + ... + x n e n が呼び出されます 分解基底 e l 、 e 2 、...e n および数値 x l 、 x 2 、... x n に従ってベクトル X - 座標ベクトル x はこの基底に関して、またはこの基底内で計算されます。

n 次元ユークリッド空間の非ゼロ ベクトルがペアごとに直交する場合、それらが基底を形成することが証明できます。 実際、方程式 l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 の両辺に任意のベクトル e i を掛けてみましょう。  l (e l * e i) +  2 (e 2 * e i) +...+  n (en * e i) = 0   i (e i * e i) = 0   i = 0 for i が得られます。 。

n 次元ユークリッド空間のベクトル e l 、 e 2 、...en は次のようになります。 正規直交基底、これらのベクトルがペアごとに直交し、それぞれのノルムが 1 に等しい場合、つまり、 if e i *e j = 0 for i≠ji |e i | = 1 (i)

定理（証明なし）。 すべての n 次元ユークリッド空間には正規直交基底があります。

正規直交基底の例は、i 番目の成分が 1 に等しく、残りの成分が 0 に等しい n 個の単位ベクトル e i からなる系です。 このようなベクトルはそれぞれ次のように呼ばれます。 オルト。 たとえば、ベクトルオルト (1, 0, 0)、(0, 1, 0)、および (0, 0, 1) は 3 次元空間の基礎を形成します。

ベクトルのスカラー積 (以下、合弁事業の本文中)。 親愛なる友人！ 数学の試験には、ベクトルを解くための一連の問題が含まれています。 私たちはすでにいくつかの問題を検討しました。 これらは「ベクター」カテゴリにあります。 一般に、ベクトルの理論は単純であり、主なことはそれを一貫して研究することです。 学校の数学コースでのベクトルの計算と操作は単純であり、公式は複雑ではありません。 を調べてください。 この記事では、ベクトルの合弁事業に関するタスク (試験に含まれる) を分析します。 ここで理論に「没入」します。

H ベクトルの座標を見つけるには、その終端の座標から減算する必要があります。対応する先頭の座標

そしてさらに：

※ベクトルの長さ（係数）は次のように定義されます。

これらの公式は覚えておく必要があります!!!

ベクトル間の角度を示してみましょう。

0 から 180 0 まで変化する可能性があることは明らかです。(または 0 から Pi までのラジアン単位)。

スカラー積の符号について、いくつかの結論を導き出すことができます。 ベクトルの長さは明らかに正です。 したがって、スカラー積の符号は、ベクトル間の角度の余弦の値に依存します。

考えられるケース:

1. ベクトル間の角度が鋭い場合 (0 0 ～ 90 0)、角度のコサインは正の値になります。

2. ベクトル間の角度が鈍角 (90 0 ～ 180 0) の場合、角度のコサインは負の値になります。

*0 度、つまりベクトルが同じ方向の場合、コサインは 1 に等しいため、結果は正になります。

180 度、つまりベクトルの方向が逆の場合、コサインはマイナス 1 に等しくなります。そして結果はマイナスになります。

ここからが重要なポイントです！

90 度、つまりベクトルが互いに直交するとき、コサインはゼロになるため、合弁事業はゼロになります。 この事実 (結果、結論) は、数学のオープン タスク バンクに含まれる問題を含め、ベクトルの相互配置について話している多くの問題を解く際に使用されます。

次のステートメントを定式化します。指定されたベクトルが垂直線上にある場合に限り、スカラー積はゼロに等しくなります。

したがって、SP ベクトルの式は次のとおりです。

ベクトルの座標、またはその始点と終点の点の座標がわかっている場合は、常にベクトル間の角度を見つけることができます。

次のタスクを検討してください。

27724 ベクトル a と b の内積を求めます。

次の 2 つの公式のいずれかを使用して、ベクトルのスカラー積を求めることができます。

ベクトル間の角度は不明ですが、ベクトルの座標を簡単に見つけて最初の式を使用できます。 両方のベクトルの始点が原点と一致するため、これらのベクトルの座標は終点の座標と等しくなります。

ベクトルの座標を見つける方法については、で説明されています。

計算します:

答え: 40

ベクトルの座標を見つけて、次の式を使用します。

ベクトルの座標を見つけるには、ベクトルの終端の座標から、対応する始端の座標を減算する必要があります。つまり、

スカラー積を計算します。

答え: 40

ベクトル a と b の間の角度を見つけます。 度数で答えてください。

ベクトルの座標を次の形式にします。

ベクトル間の角度を見つけるには、ベクトルのスカラー積の公式を使用します。

ベクトル間の角度の余弦:

したがって、次のようになります。

これらのベクトルの座標は次のとおりです。

それらを式に代入してみましょう。

ベクトル間の角度は 45 度です。

答え: 45

定義 1

ベクトルのスカラー積は、これらのベクトルのダインとそれらの間の角度のコサインの積に等しい数値と呼ばれます。

ベクトル a → と b → の積の表記は、 a → 、 b → の形式になります。 式に変換してみましょう。

a → 、 b → = a → b → cos a → 、 b → ^ 。 a → および b → はベクトルの長さを示し、 a → 、 b → ^ は指定されたベクトル間の角度を示します。 少なくとも 1 つのベクトルがゼロ、つまり値が 0 の場合、結果はゼロ (a → 、 b → = 0) になります。

ベクトルを単独で乗算すると、そのダインの 2 乗が得られます。

a → 、 b → = a → b → cos a → 、 a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

定義 2

ベクトル自体のスカラー乗算は、スカラー二乗と呼ばれます。

次の式に従って計算されます。

a → 、 b → = a → b → cos a → 、 b → ^ 。

a → 、 b → = a → b → cos a → 、 b → ^ = a → n p a → b → = b → n p b → a → と書くと、 n p b → a → は a → から b → 、 n p a への数値射影であることがわかります。 → a → - b → をそれぞれ a → に投影します。

2 つのベクトルの積の定義を定式化します。

2 つのベクトル a → と b → のスカラー積は、ベクトル a → の長さと b → の射影と方向 a → の積、または b → の長さと a → の射影の積と呼ばれます。それぞれ。

座標の内積

スカラー積の計算は、特定の平面または空間内のベクトルの座標を通じて実行できます。

3 次元空間の平面上の 2 つのベクトルのスカラー積は、指定されたベクトル a → と b → の座標の合計と呼ばれます。

デカルト系で指定されたベクトル a → = (a x, a y) 、 b → = (b x, b y) の内積の平面で計算する場合は、次を使用します。

a → 、 b → = a x b x + a y b y 、

3 次元空間の場合、次の式が適用されます。

a → 、 b → = a x b x + a y b y + a z b z 。

実際、これは内積の 3 番目の定義です。

それを証明しましょう。

証明1

それを証明するには、デカルト系のベクトル a → = (a x , a y) 、 b → = (b x , b y) に対して a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y を使用します。

ベクターは延期すべきだ

O A → = a → = a x , a y および O B → = b → = b x , b y 。

この場合、ベクトル A B → の長さは、 A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) に等しくなります。

三角形 O A B を考えてみましょう。

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) は、余弦定理に基づいて真です。

条件によって、 O A = a → 、 O B = b → 、 A B = b → - a → 、 ∠ A O B = a → 、 b → ^ であることがわかります。そのため、ベクトル間の角度を求める式を別の方法で記述します。

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) 。

次に、最初の定義から、 b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) となるため、 (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) 。

ベクトルの長さを計算する公式を適用すると、次のようになります。
a → 、 b → = 1 2 ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

等式を証明しましょう:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– それぞれ 3 次元空間のベクトルに対して。

ベクトルと座標のスカラー積は、ベクトルのスカラー二乗が空間内と平面上のそれぞれの座標の二乗の合計に等しいことを示します。 a → = (a x , a y , a z) 、 b → = (b x , b y , b z) および (a → , a →) = a x 2 + a y 2 。

内積とそのプロパティ

a → 、 b → 、および c → に適用される内積プロパティがあります。

1. 可換性 (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. 分配性 (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → 、c →) ;
3. 結合プロパティ (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - 任意の数。
4. スカラー二乗は常にゼロより大きくなります (a → , a →) ≥ 0 で、a → 0 の場合は (a → , a →) = 0 となります。

例1

性質は、平面内の内積の定義と実数の加算と乗算の性質によって説明されます。

可換性性質 (a → , b →) = (b → , a →) を証明します。 定義から、 (a → , b →) = a y b y + a y b y および (b → , a →) = b x a x + b y a y となります。

可換性の性質により、等式 a x · b x = b x · a x および a y · b y = b y · a y は真であるため、 a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y となります。

したがって、 (a → , b →) = (b → , a →) となります。 Q.E.D.

分布性はどの数値に対しても有効です。

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . 。 。 + (a (n) → , b →)

および (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + 。 。 。 + (a → , b → (n)) ,

したがって、私たちは

(a (1) → + a (2) → + . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . + b (m) →) = = (a ( 1) → 、b (1) →) + (a (1) → 、b (2) →) + 。 。 。 + (a (1) → 、b (m) →) + + (a (2) → 、b (1) →) + (a (2) → 、b (2) →) + 。 。 。 + (a (2) → 、b (m) →) + 。 。 。 + + (a (n) → 、b (1) →) + (a (n) → 、b (2) →) + 。 。 。 + (a (n) → 、b (m) →)

例と解決策を含む内積

このような計画の問題は、スカラー積に関するプロパティと公式を使用して解決されます。

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y または (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (a → 、a →) = a → 2 。

解決策の例をいくつか見てみましょう。

例 2

a → の長さは 3、b → の長さは 7 です。角度が 60 度の場合の内積を求めます。

解決

条件ごとにすべてのデータがあるため、次の式で計算します。

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

答え: (a → , b →) = 21 2 。

例 3

ベクトル a → = (1 , - 1 , 2 - 3) 、 b → = (0 , 2 , 2 + 3) があるとします。 スカラー積とは何ですか。

解決

この例では、問題ステートメントで座標が指定されているため、座標を計算するための式が考慮されます。

(a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

答え: (a → , b →) = - 9

例 4

A B → と A C → の内積を求めます。 座標平面上に点 A (1 , - 3) 、B (5 , 4) 、C (1 , 1) が与えられます。

解決

まず、点の座標が条件によって与えられるため、ベクトルの座標が計算されます。

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

座標を使用して式に代入すると、次のようになります。

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 。

答え: (A B → , A C →) = 28 。

例5

ベクトル a → = 7 m → + 3 n → および b → = 5 m → + 8 n → が与えられた場合、それらの積を求めます。 m → は 3 単位に等しく、n → は 2 単位に等しく、それらは直交します。

解決

(a → 、 b →) = (7 m → + 3 n → 、5 m → + 8 n →) 。 分配プロパティを適用すると、次のようになります。

(7 m → + 3 n → 、5 m → + 8 n →) = = (7 m → 、5 m →) + (7 m → 、8 n →) + (3 n n → 、5 m →) + (3 n → 、8 n →)

積の符号の外側の係数を取得すると、次のようになります。

(7 m → 、5 m →) + (7 m → 、8 n →) + (3 n → 、5 m →) + (3 n → 、8 n →) = = 7 5 (m → 、m →) + 7 8 (m → 、n →) + 3 5 (n → 、m →) + 3 8 (n → 、n →) = = 35 (m → 、m →) + 56 (m → 、n →) + 15 (n → 、m →) + 24 (n → 、n →)

可換性の性質により、次のように変換します。

35 (m → 、m →) + 56 (m → 、n →) + 15 (n → 、m →) + 24 (n → 、n →) = = 35 (m → 、m →) + 56 (m →) 、n →) + 15 (m → 、n →) + 24 (n → 、n →) = = 35 (m → 、m →) + 71 (m → 、n → ) + 24 (n → 、n →)

その結果、次の結果が得られます。

(a → 、b →) = 35 (m → 、m →) + 71 (m → 、n →) + 24 (n → 、n →) 。

ここで、条件で指定された角度を使用してスカラー積の公式を適用します。

(a → 、b →) = 35 (m → 、m →) + 71 (m → 、n →) + 24 (n → 、n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 。

答え: (a → , b →) = 411

数値予測がある場合。

例6

a → と b → の内積を求めます。 ベクトル a → の座標は a → = (9 , 3 , - 3) で、射影 b → の座標は (- 3 , - 1 , 1) です。

解決

条件により、ベクトル a → と射影 b → は逆の方向になります。 a → = - 1 3 n p a → b → → であるため、射影 b → は長さ n p a → b → → に対応し、「-」が付きます。サイン：

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11、

式に代入すると、次の式が得られます。

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 。

答え: (a → , b →) = - 33 。

ベクトルまたは数値射影の長さを求める必要がある既知のスカラー積の問題。

例 7

特定のスカラー積に対して λ が取るべき値は、 a → \u003d (1, 0, λ + 1) および b → \u003d (λ, 1, λ) は -1 に等しくなります。

解決

この式から、座標の積の合計を求める必要があることがわかります。

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ 。

与えられた場合、 (a → , b →) = - 1 となります。

λ を見つけるには、次の方程式を計算します。

λ 2 + 2 · λ = - 1 、したがって λ = - 1 です。

答え: λ = - 1 。

スカラー積の物理的意味

力学では内積の応用を考慮します。

点 M から N まで移動する物体を一定の力 F → で A に働かせるとき、ベクトル F → と M N → の長さと、それらの間の角度の余弦との積を求めることができます。これは、仕事が等しいことを意味します。力ベクトルと変位ベクトルの積：

A = (F → , M N →) 。

例8

5 Nton に等しい力の作用下での物質点の 3 メートルの変位は、軸に対して 45 度の角度で方向付けられます。 A を見つけます。

解決

仕事は力ベクトルと変位の積であるため、条件 F → = 5 、 S → = 3 、 (F → , S → ^) = 45 ° に基づいて、 A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 。

答え: A = 15 2 2 。

例9

力 F → = (3, 1, 2) の下で M (2, - 1, - 3) から N (5, 3 λ - 2, 4) に移動する質点は、13 J に等しい働きをしました。動きの長さ。

解決

ベクトル M N → の与えられた座標については、 M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) となります。

ベクトル F → = (3 , 1 , 2) および M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) を使用して仕事を求める公式により、A = (F ⇒ , M N →) = 3 3 + 1 (3) が得られます。 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ。

条件により、A \u003d 13 J、つまり22 + 3 λ \u003d 13が与えられます。 これは λ = - 3 を意味するため、 M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) となります。

移動長 M N → を求めるには、次の式を適用して値を代入します。

M N → = 3 2 + (-10) 2 + 7 2 = 158 。

答え: 158 。

テキスト内の間違いに気づいた場合は、それを強調表示して Ctrl+Enter を押してください。

ベクトルの内積

私たちはベクトルを扱い続けます。 最初のレッスンで ダミー用のベクトルベクトルの概念、ベクトルを使ったアクション、ベクトル座標、そしてベクトルに関する最も単純な問題について考えてきました。 検索エンジンから初めてこのページに来た場合は、上記の紹介記事を読むことを強くお勧めします。内容を理解するには、私が使用する用語と表記法についてガイドし、ベクトルの基本的な知識を持っている必要があるからです。そして初歩的な問題も解けるようになる。 このレッスンはトピックの論理的な継続であり、ベクトルのスカラー積を使用する典型的なタスクを詳細に分析します。 これは非常に重要な仕事です。。 例を飛ばさないようにしてください。これらの例には便利なボーナスが付いています。この演習は、取り上げられている内容を統合し、解析幾何学の一般的な問題を解決するのに役立ちます。

ベクトルを加算したり、ベクトルに数値を乗算したり…。 数学者が他に何かを考え出していないと考えるのは素朴でしょう。 すでに検討したアクションに加えて、ベクトルを使用した操作は他にも多数あります。 ベクトルの内積, ベクトルの外積と ベクトルの混合積。 ベクトルのスカラー積は学校でよく知られており、他の 2 つの積は伝統的に高等数学のコースに関連しています。 トピックはシンプルで、多くの問題を解決するためのアルゴリズムは定型的で理解しやすいものです。 唯一のもの。 かなりの量の情報があるため、すべてを一度にマスターして解決しようとすることは望ましくありません。 これは特にダミーに当てはまります。信じてください、著者は数学のチカチーロのように感じたくありません。 もちろん、数学からではありません =) より準備のできた生徒は、ある意味、欠けている知識を「獲得」するために教材を選択的に使用できます。あなたのために私は無害なドラキュラ伯爵になります =)

最後に、少しドアを開けて、2 つのベクトルが出会ったときに何が起こるかを見てみましょう。

ベクトルのスカラー積の定義。
スカラー積のプロパティ。 一般的なタスク

内積の概念

まずはについて ベクトル間の角度。 ベクトル間の角度がどのようなものかは誰でも直感的に理解できると思いますが、念のためもう少し説明します。 自由な非ゼロベクトルと を考えてみましょう。 これらのベクトルを任意の点から延期すると、多くの人がすでに頭の中で提示しているイメージが得られます。

正直に言いますが、私はここで状況を理解できるレベルでしか説明しませんでした。 ベクトル間の角度の厳密な定義が必要な場合は教科書を参照してくださいが、実際の作業では原則的にその必要はありません。 また、ここでもさらに、実用的な重要性が低いため、ゼロ ベクトルを無視することがあります。 私は、以下の記述のいくつかの理論的不完全性について私を非難することができる、このサイトへの上級訪問者のために特別に予約しました。

0 ～ 180 度 (0 ～ ラジアン) の値を取得できます。 分析的には、この事実は二重不等式として記述されます。 また (ラジアン単位)。

文献では、角度アイコンは省略され、単純に書かれることがよくあります。

意味： 2 つのベクトルのスカラー積は、これらのベクトルの長さとそれらの間の角度の余弦の積に等しい NUMBER です。

これはかなり厳密な定義です。

私たちは重要な情報に重点を置いています。

指定：スカラー積は、 または 単に で表されます。

操作の結果は NUMBER です: ベクトルとベクトルを乗算して数値を取得します。 実際、ベクトルの長さが数値、角度のコサインが数値の場合、その積は も数字になります。

ウォームアップの例をいくつか挙げます。

例1

解決：私たちは公式を使います 。 この場合：

答え：

コサイン値は次のとおりです。 三角関数表。 印刷することをお勧めします。タワーのほぼすべてのセクションで必要となり、何度も必要になります。

純粋に数学的な観点から見ると、スカラー積は無次元です。つまり、この場合、結果は単なる数値であり、それだけです。 物理学の問題の観点から見ると、スカラー積は常に特定の物理的意味を持ちます。つまり、結果の後に 1 つまたは別の物理単位を示す必要があります。 力の仕事を計算する標準的な例は、どの教科書にも記載されています (式は正確に内積です)。 力の仕事はジュールで測定されるため、たとえば、答えは非常に具体的に書かれます。

例 2

どうかを見つける 、ベクトル間の角度は です。

これは自己決定のための例であり、答えはレッスンの最後にあります。

ベクトル間の角度と内積値

例 1 ではスカラー積が正であることがわかり、例 2 では負であることがわかります。 スカラー積の符号が何に依存するかを調べてみましょう。 式を見てみましょう。 。 非ゼロベクトルの長さは常に正であるため、符号はコサインの値にのみ依存します。

ノート： 以下の情報をよりよく理解するには、マニュアルのコサイン グラフを検討することをお勧めします。 グラフと関数のプロパティ。 セグメント上でコサインがどのように動作するかを確認します。

すでに述べたように、ベクトル間の角度は範囲内で変化する可能性があります。 , 以下のようなケースが考えられます。

1) もし コーナーベクトル間 辛い: (0 度から 90 度まで)、その後 、 と 内積は正になります 共同監督の場合、それらの間の角度はゼロとみなされ、スカラー積も正になります。 であるため、式は次のように簡略化されます。

2) もし コーナーベクトル間 鈍い: (90 度から 180 度まで)、その後 、それに応じて、 内積が負です: 。 特殊なケース: ベクトルの場合 反対に向けられた、その後、それらの間の角度が考慮されます 配備された：（180度）。 スカラー積も負です。

逆のステートメントも当てはまります。

1) の場合、これらのベクトル間の角度は鋭角です。 あるいは、ベクトルは同方向です。

2) の場合、これらのベクトル間の角度は鈍角になります。 あるいは、ベクトルは反対の方向を向く。

しかし、3 番目のケースは特に興味深いものです。

3) もし コーナーベクトル間 真っ直ぐ：（90度）そして 内積はゼロです: 。 逆もまた真です: if , then 。 コンパクトなステートメントは次のように定式化されます。 2 つのベクトルのスカラー積は、指定されたベクトルが直交している場合にのみゼロになります。。 短い数学表記:

！ ノート ： 繰り返す 数理論理学の基礎: 両面の論理的帰結アイコンは通常、「その場合に限り」、「その場合に限り」と読み取られます。 ご覧のとおり、矢印は両方向に向いています。「これからはこれが続き、その逆も同様です。ここからはこれが続きます」。 ところで、一方的なフォローアイコンとの違いは何でしょうか？ アイコンの主張 それだけで「これからこれが続く」ということであって、その逆が真であるという事実ではありません。 例: ですが、すべての動物がヒョウであるわけではないため、この場合にはアイコンを使用できません。 同時にアイコンの代わりに できる片面アイコンを使用します。 たとえば、問題を解決しているときに、ベクトルは直交しているという結論に達したことがわかりました。 - そのような記録は正確であり、それよりもさらに適切です。 .

3 番目のケースは実際的に非常に重要です。ベクトルが直交しているかどうかを確認できるためです。 この問題はレッスンの 2 番目のセクションで解決します。

内積のプロパティ

2 つのベクトルが存在する状況に戻りましょう。 共同監督。 この場合、それらの間の角度はゼロであり、スカラー積公式は次の形式になります。

ベクトルをそれ自体で乗算するとどうなるでしょうか? ベクトルがそれ自体と相互に方向を向いていることは明らかなので、上記の簡略化した式を使用します。

番号が呼ばれます スカラー二乗ベクトル、および として表されます。

したがって、 ベクトルのスカラー二乗は、指定されたベクトルの長さの二乗に等しくなります。

この等式から、ベクトルの長さを計算する式を得ることができます。

曖昧に見えますが、レッスンのタスクによってすべてが適切に配置されます。 問題を解決するには、次のことも必要です 内積のプロパティ.

任意のベクトルおよび任意の数値については、次のプロパティが当てはまります。

1) - 置換可能または 可換スカラー積の法則。

2) - 配布または 分配的なスカラー積の法則。 簡単に言えば、括弧を開けることができます。

3) - 組み合わせまたは 連想的なスカラー積の法則。 定数は内積から取り出すことができます。

多くの場合、あらゆる種類のプロパティ (これも証明する必要があります!) は学生にとって不必要なゴミとして認識されており、暗記し、試験直後に安全に忘れるだけで済みます。 ここで重要なことは、因子の順列によって製品が変化しないことを誰もが1年生からすでに知っていることだと思われるでしょう。 警告しなければなりませんが、高等数学においてこのようなアプローチを使用すると、物事が台無しになりやすくなります。 したがって、たとえば、可換プロパティは次の場合には無効です。 代数行列。 それは真実ではありません ベクトルの外積。 したがって、できることとできないことを理解するために、高等数学の過程で遭遇するすべての特性を少なくとも詳しく調べたほうがよいでしょう。

例 3

.

解決：まず、ベクトルで状況を明確にしましょう。 それは一体何でしょうか？ ベクトルと の合計は明確に定義されたベクトルであり、 で示されます。 ベクトルを使用したアクションの幾何学的解釈については、記事を参照してください。 ダミー用のベクトル。 ベクトルを持つ同じパセリは、ベクトル と の合計です。

したがって、条件に応じてスカラー積を求める必要があります。 理論的には、実際の公式を適用する必要があります , しかし問題は、ベクトルの長さとベクトル間の角度がわからないことです。 ただし、条件では、同様のパラメーターがベクトルに指定されているため、別の方法をとります。

(1) ベクトルの式を代入します。

(2) 多項式の乗算の規則に従って括弧を開きます。記事には下品な早口言葉が見られます。 複素数また 分数有理関数の積分。 繰り返しはしません =) ところで、スカラー積の分配特性により、括弧を開けることができます。 私たちにはその権利があります。

(3) 最初と最後の項では、ベクトルのスカラー二乗をコンパクトに記述します。 。 第 2 項では、スカラー積の可換性を使用します。

(4) 同様の用語は次のとおりです。

(5) 第 1 項では、少し前に述べたスカラー二乗公式を使用します。 最後の項でも、それぞれ同じことが機能します。 第 2 項は標準公式に従って展開されます。 .

(6) これらの条件を代入する 、最終計算は慎重に行ってください。

答え：

内積の負の値は、ベクトル間の角度が鈍角であるという事実を示します。

このタスクは典型的なもので、独立したソリューションの例を次に示します。

例 4

既知の場合は、ベクトル と のスカラー積を求めます。 .

ここで、新しいベクトルの長さの式に関するもう 1 つの一般的なタスクを説明します。 ここでの指定は少し重複するため、明確にするために別の文字で書き直します。

例5

次の場合にベクトルの長さを求めます。 .

解決は次のようになります。

(1) ベクトル式を提供します。

(2) 長さの公式: を使用しますが、ベクトル "ve" として整数式を使用します。

(3) 和の二乗には学校の公式を使います。 ここでそれがどのように不思議に機能するかに注目してください。 - 実際、これは差の二乗であり、実際、そのとおりです。 希望する人は、ベクトルを場所によって再配置することができます。 - 用語の再配置までは同じことが判明しました。

(4) 以下の内容は、前の 2 つの問題ですでによく知られています。

答え：

長さについて話しているので、寸法「単位」を示すことを忘れないでください。

例6

次の場合にベクトルの長さを求めます。 .

これはDIYの例です。 完全な解決策と答えはレッスンの最後にあります。

私たちはスカラー積から有用なものを絞り出し続けます。 もう一度公式を見てみましょう 。 比例の法則により、ベクトルの長さを左辺の分母にリセットします。

パーツを交換しましょう:

この式の意味は何でしょうか? 2 つのベクトルの長さとそのスカラー積がわかっている場合、これらのベクトル間の角度の余弦を計算でき、結果として角度自体も計算できます。

スカラー積は数値ですか? 番号。 ベクトルの長さは数値ですか? 数字。 したがって、分数も数値です。 角度の余弦がわかっている場合: 次に、逆関数を使用すると、角度自体を簡単に見つけることができます。 .

例 7

ベクトル と の間の角度がわかっている場合は、その角度を求めます。

解決：次の式を使用します。

計算の最終段階では、分母の不合理性の排除という手法が使用されました。 不合理性をなくすために、分子と分母に を掛けました。

それで、もし 、 それか：

逆三角関数の値は次のように求めることができます。 三角関数表。 これはめったに起こりませんが。 解析幾何学の問題では、ぎこちないクマのようなものが非常に頻繁に現れるため、角度の値は電卓を使用して近似的に求める必要があります。 実際、私たちはこの写真を何度も見ることになります。

答え：

ここでも、ラジアンと度の寸法を指定することを忘れないでください。 個人的には、意図的に「すべての質問を削除」するために、両方を示すことを好みます (もちろん、条件によってラジアンのみまたは度のみで答えを提示する必要がある場合を除きます)。

これで、より困難なタスクにも自分で対処できるようになります。

例 7*

ベクトルの長さとそれらの間の角度が与えられます。 ベクトル間の角度 、 を求めます。

このタスクは、マルチウェイほど難しくはありません。
解決アルゴリズムを分析してみましょう。

1) 条件に従って、ベクトルと の間の角度を見つける必要があるため、次の式を使用する必要があります。 .

2) スカラー積を求めます (例 3、4 を参照)。

3) ベクトルの長さとベクトルの長さを求めます (例 5、6 を参照)。

4) 解の終わりは例 7 と一致します。数値はわかっています。これは、角度自体を見つけるのが簡単であることを意味します。

短い解答とレッスンの最後に解答。

レッスンの 2 番目のセクションでは、同じ内積を扱います。 コーディネート。 最初の部分よりもさらに簡単になります。

ベクトルの内積、
正規直交基底の座標によって与えられる

答え：

言うまでもなく、座標を扱うのがはるかに楽しくなります。

例 14

ベクトルのスカラー積を求めます。

これはDIYの例です。 ここでは、演算の結合性を使用できます。つまり、カウントせずに、すぐにスカラー積からトリプルを取り出し、最後にそれを掛けます。 レッスンの最後に解答と答えを示します。

この段落の最後には、ベクトルの長さを計算する刺激的な例が示されています。

例 15

ベクトルの長さを求める 、 もしも

解決：繰り返しますが、前のセクションの方法がそれ自体を示唆しています: しかし、別の方法があります:

ベクトルを見つけてみましょう。

そしてその長さは自明な公式によれば :

スカラー積はここではまったく関係ありません。

ベクトルの長さを計算するのがどれほど無駄であるか:
ストップ。 ベクトルの明白な長さの特性を利用してみませんか? ベクトルの長さについて何が言えるでしょうか? このベクトルはベクトルの 5 倍の長さです。 方向が逆ですが、長さの話なので問題ありません。 明らかに、ベクトルの長さは次の積に等しいです。 モジュールベクトルの長さごとの数:
- モジュールの符号は、数値のマイナスを「吸収」します。

したがって：

答え：

座標によって与えられるベクトル間の角度の余弦を求める公式

これで完全な情報が得られたので、以前に導出したベクトル間の角度の余弦の公式を求めることができます。 ベクトル座標で表現します。

平面ベクトル間の角度の余弦そして、正規直交基底で与えられると、 という式で表されます:
.

空間ベクトル間の角度の余弦、正規直交基底で与えられる、 という式で表されます:

例 16

三角形の 3 つの頂点が与えられます。 (頂点角度) を見つけます。

解決：条件により、図面は必須ではありませんが、それでも次のとおりです。

必要な角度は緑色の円弧でマークされます。 私たちはすぐに角度の学校指定を思い出します： - 特別な注意 真ん中文字 - これは必要な角度の頂点です。 簡潔にするために、単純に書くこともできます。

この図から、三角形の角度がベクトル と の間の角度と一致することは明らかです。つまり、次のようになります。 .

精神的に実行される分析を実行する方法を学ぶことが望ましい。

ベクトルを見つけてみましょう。

スカラー積を計算してみましょう。

ベクトルの長さは次のとおりです。

角度の余弦:

私が初心者にお勧めするのは、このタスクの順序です。 より上級の読者は、計算を「1 行で」書くことができます。

「悪い」コサイン値の例を次に示します。 結果の値は最終的なものではないため、分母の非合理性を取り除くことにあまり意味はありません。

角度を見つけてみましょう:

図面を見ると、その結果は非常に納得のいくものです。 角度を確認するには、分度器を使用して測定することもできます。 モニターのコーティングを傷つけないでください =)

答え：

答えの中で忘れてはいけないのは、 三角形の角度について質問されました(ベクトル間の角度についてではありません)、正確な答えと角度のおおよその値を示すことを忘れないでください。 電卓で求めた。

このプロセスを楽しんだ人は角度を計算し、正規の等価性が真であることを確認できます。

例 17

三角形は、その頂点の座標によって空間内で与えられます。 辺間の角度を見つけて、

これはDIYの例です。 レッスンの最後に完全な解答と答えが表示されます

最後の小さなセクションでは、スカラー積も「関与」する投影について説明します。

ベクトルのベクトルへの投影。 座標軸へのベクトル投影。
ベクトル方向余弦

ベクトルと次のことを考えてみましょう。

ベクトルをベクトルに投影します。このために、ベクトルの先頭と末尾を省略します。 垂線ベクトルごと (緑の点線)。 光線がベクトル上に垂直に当たると想像してください。 すると、セグメント（赤い線）がベクトルの「影」になります。 この場合、ベクトルのベクトルへの射影はセグメントの長さになります。 つまり、投影は数字です。

この数値は次のように表されます。「大きいベクトル」はベクトルを示します。 どれのプロジェクトでは、「小さな添字ベクトル」はベクトルを示します の上それが投影されます。

エントリ自体は次のようになります。「ベクトル「a」のベクトル「be」への投影」。

ベクトル「be」が「短すぎる」場合はどうなるでしょうか? ベクトル「be」を含む直線を描きます。 そしてベクトル「a」はすでに投影されています 「be」のベクトルの方向へ、単純に - ベクトル「be」を含む直線上。 ベクトル「a」が 30 番目の王国で脇に置かれている場合にも、同じことが起こります。ベクトル「be」を含む直線上に簡単に射影されます。

角度があればベクトル間 辛い(写真のように)、その後

ベクトルの場合 直交、その後 (投影は、次元がゼロであると想定される点です)。

角度があればベクトル間 鈍い（図では、ベクトルの矢印を頭の中で再配置します）、次に（同じ長さですが、マイナス記号を付けます）。

これらのベクトルを 1 点から脇に置きます。

明らかに、ベクトルを移動しても、その投影は変わりません。

1. 定義と単純なプロパティ。 非ゼロベクトル a と b をとり、それらを任意の点 O から脇に置きましょう: OA = a および OB = b。 角度 AOB の値は、ベクトル a とベクトル b の間の角度と呼ばれ、次のように表されます。 (a、b)。 2 つのベクトルのうち少なくとも 1 つがゼロの場合、定義により、それらの間の角度は正しいとみなされます。 定義上、ベクトル間の角度は少なくとも 0、最大でも 0 であることに注意してください。 。 さらに、2 つの非ゼロ ベクトル間の角度は、これらのベクトルが同方向で次の値に等しい場合にのみ 0 に等しくなります。 それらが反対方向にある場合に限ります。

ベクトル間の角度が点 O の選択に依存しないことを確認してみましょう。ベクトルが同一線上にある場合、これは明らかです。 それ以外の場合は、任意の点 O から脇に置きます。 1 ベクトル O 1 あ 1 = a と o 1 の 1 = b で、三角形 AOB と A に注意してください。 1 だいたい 1 の 1 |OA| は 3 辺で等しいため、 = |O 1 あ 1 | = |a|、|OB| = |O 1 の 1 | = |b|, |AB| = |A 1 の 1 | = |b–а|。 したがって、角度 AOB と A 1 だいたい 1 の 1 は同じ。

さて、この段落で重要なことを説明します

(5.1) 定義。 2 つのベクトル a と b (ab で示される) のスカラー積は次の数値になります。 6 、これらのベクトルの長さとベクトル間の角度の余弦の積に等しい。 簡単に言うと:

ab = |a||b|cos (a、b)。

スカラー積を求める操作は、ベクトルのスカラー倍算と呼ばれます。 ベクトルとそれ自体とのスカラー積 aa は、このベクトルのスカラー二乗と呼ばれ、 2 .

(5.2) ベクトルのスカラー二乗は、その長さの二乗に等しい。

 |a| の場合  0、それでは (あ、あ) = 0、そこから 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 。 a = 0 の場合、a 2 = |a| 2 = 0. 

(5.3) コーシーの不等式。 2 つのベクトルのスカラー積の係数は、因子の係数の積を超えません: |ab| |a||b|。 この場合、ベクトル a と b が同一線上にある場合にのみ、等価性が達成されます。

 定義により |ab| = ||a||b|cos (a,b)| = |a||b||cos (a,b)|  |a||b。 これはコーシーの不等式そのものを証明します。 さて、気づきましょう。 非ゼロ ベクトル a と b については、 |cos の場合にのみ、等価性が達成されます。 (a,b)| = 1、つまり で (a、b) = 0 または (a、b) =  。 後者は、ベクトル a と b が同じ方向を向いているか、逆の方向を向いているという事実と等価です。 共線的。 ベクトル a と b の少なくとも 1 つがゼロの場合、それらは同一線上にあり、|ab| になります。 = |a||b| = 0. 

2. スカラー倍算の基本的な性質。 これらには次のものが含まれます。

(CS1) ab = ba (可換性);

(CS2) (xa)b = x(ab) (結合性);

(CS3) a(b+c) = ab + ac (分配性)。

ここでの可換性は明らかです。 腹筋 =  ば。 x = 0 の結合性も明らかです。 x > 0 の場合

(は)b = |ハ||b|cos (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab)、

ために (xa, b) = (a,b) (ベクトル xa と a の同一方向から - 図 21)。 ×の場合< 0、それでは

(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab)、

ために (xa, b) = –  (a,b) (ベクトル xa と a の反対方向から - 図 22)。 したがって、結合性も証明されます。

分配性を証明するのはさらに困難です。 このためには、そのようなものが必要です

(5.4) 補題。 a を直線 l に平行な非ゼロベクトル、b を任意のベクトルとする。 次に、正射影b直線 l に対するベクトル b の " は次と等しい
.



b = 0 の場合、b" = 0 および ab = 0 であるため、この場合、補助定理は true です。以下では、ベクトル b" が非ゼロであると仮定します。 この場合、直線 l の任意の点 O から、ベクトル OA = a および OB = b を脇に置き、点 B から直線 l への垂線 BB も下ろします。定義により、○B」 = b" と (a、b) =  ああ。 示す AOBスルー 次の 3 つの場合のそれぞれについて補題を個別に証明します。

1)  <  /2. 次に、ベクトル a と 共同監督 (図 23) と

b" = =
=
.

2)  >  /2 。 次に、ベクトル a とb「反対方向（図24）と

b" = – = –
= .

3)  =  /2. それからb" = 0とab = 0、どこからb" =
= 0. 

ここで (CS3) の分配性を証明します。 ベクトル a がゼロであるかどうかは明らかです。 しましょう  0. 次に線を引きます l || a、で表しますb" とc" ベクトル b と c をそれに直交投影し、d" は、ベクトル d = b + c への正射影になります。定理 3.5 よりd" = b"+ c補題 5.4 を最後の等式に適用すると、次の等式が得られます。
=
。 これに a をスカラー的に乗算すると、次のことがわかります。 2 =
、どこから ad = ab+ac となり、これが証明されることになります。

私たちが証明したベクトルのスカラー乗算の性質は、対応する数値の乗算の性質に似ています。 ただし、数値の乗算のすべての特性がベクトルのスカラー倍算に引き継がれるわけではありません。 典型的な例を次に示します。

1

) ab = 0 の場合、これは a = 0 または b = 0 を意味しません。例: 直角を形成する 2 つの非ゼロ ベクトル。

2) ab = ac の場合、たとえベクトル a がゼロでなくても、これは b = c であることを意味しません。 例: b と c は同じ長さの 2 つの異なるベクトルであり、ベクトル a と等しい角度を形成します (図 25)。

3) 常に a(bc) = (ab)c であるということは真実ではありません: bc、ab に対するそのような等式が妥当であるという理由だけであれば 0 は、ベクトル a と c が同一線上にあることを意味します。

3. ベクトルの直交性。 2 つのベクトル間の角度が正しい場合、そのベクトルは直交していると呼ばれます。 ベクトルの直交性は アイコンで示されます .

ベクトル間の角度を定義するとき、ゼロ ベクトルと他のベクトルの間の角度を直線とみなすことに同意しました。 したがって、ゼロベクトルは任意のベクトルと直交します。 この契約により、私たちはそのようなことを証明することができます

(5.5) 2 つのベクトルの直交性の符号。 2 つのベクトルは、その内積が 0 である場合にのみ直交します。

 a と b を任意のベクトルとする。 それらの少なくとも 1 つがゼロであれば、それらは直交し、スカラー積は 0 に等しくなります。したがって、この場合、定理は真です。 ここで、与えられたベクトルが両方とも非ゼロであると仮定しましょう。 定義により、ab = |a||b|cos (a、b)。 私たちの仮定によれば、数値 |a| と |b| が 0 に等しくない場合、ab = 0 コス (a, b) = 0  (a, b) = /2、それは証明されるべきでした。

ab = 0 という等式は、ベクトルの直交性の定義としてよく採用されます。

(5.6) 必然的結果。 ベクトル a が各ベクトル a に直交する場合、 1 、…、A P の場合、それらの線形結合のいずれにも直交します。

 等式 aa から次のことに注意するだけで十分です。 1 = … = ああ P = 0 は等価性を意味します a(x 1 あ 1 + … +x P あ P ) = x 1 (ああ 1 ) + … + x P (ああ P ) = 0. 

系 5.6 から、線と平面の垂直性に関する学校基準を導き出すのは簡単です。 実際、ある線分 MN が 2 つの交差する線分 AB および AC に垂直であるとします。 この場合、ベクトル MN はベクトル AB とベクトル AC に直交します。 平面ABC上の任意の直線DEを取ってみましょう。 ベクトル DE は、非共線ベクトル AB および AC と同一平面上にあるため、それらの中で展開します。 しかし、それはベクトル MN にも直交しています。つまり、線 MN と DE は垂直です。 線分 MN は平面 ABC からの任意の線に垂直であることがわかり、これは証明されるべきでした。

4.正規直交基底。 (5.7) 定義。 ベクトル空間の基底は、第 1 にそのすべてのベクトルが単位長を持ち、第 2 にそのベクトルの任意の 2 つが直交する場合に正規直交であると言われます。

3 次元空間における正規直交基底のベクトルは通常、文字 i、j、k で表され、ベクトル平面上では文字 i と j で表されます。 2 つのベクトルの直交性の符号と、ベクトルのスカラー二乗とその長さの二乗が等しいことを考慮すると、空間 V の基底 (i,j,k) の正規直交条件が決まります。 3 次のように書くことができます:

(5.8) 私 2 = j 2 = k 2 = 1、ij = ik = jk = 0、

ベクトル平面の基底 (i,j) は次のようになります。

(5.9) 私 2 = j 2 = 1、ij = 0。

ベクトル a と b が正規直交基底 (i,j,k) で空間 V を持つものとします。 3 座標 (a 1 、A 2 、A 3 ) と (b 1 b 2 、b 3 ） それぞれ。 それからab = (あ 1 i+あ 2 j+あ 3 k)(b 1 i+b 2 j+b 3 k) = a 1 b 1 私 2 +a 2 b 2 j 2 +a 3 b 3 k 2 +a 1 b 2 ij+a 1 b 3 イク+ア 2 b 1 じ+あ 2 b 3 jk+a 3 b 1 キ+ア 3 b 2 kj = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 . ベクトル a のスカラー積の式は次のようになります (a 1 、A 2 、A 3 ) と b(b 1 、b 2 、b 3 ) 空間 V の正規直交基底における座標によって与えられます。 3 :

(5.10) ab = a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 .

ベクトルの場合、a(a 1 、A 2 ) と b(b 1 、b 2 ) ベクトル平面上の正規直交基底の座標によって与えられ、次の形式になります。

(5.11) ab = a 1 b 1 +a 2 b 2 .

b = a を式 (5.10) に代入してみましょう。 正規直交基底では、 2 = a 1 2 +a 2 2 +a 3 2 。 なぜなら、 2 = |a| 2 、ベクトル a (a 1 、A 2 、A 3 ) 空間 V の正規直交基底における座標によって定義される 3 :

(5.12) |a| =
.

ベクトル平面上では、(5.11) のおかげで、次の形式になります。

(5.13) |a| =
.

b = i、b = j、b = k を式 (5.10) に代入すると、さらに 3 つの便利な等式が得られます。

(5.14) ai = a 1 、aj = a 2 、ak = a 3 .

ベクトルとベクトルの長さのスカラー積を求めるための座標式が簡単であることが、正規直交基底の主な利点です。 非正規直交基底の場合、これらの公式は一般に不正確であり、この場合にそれらを適用することは重大な間違いです。

5. 方向余弦。 空間 V の正規直交基底 (i,j,k) を取り込みます。 3 ベクトル a(a 1 、A 2 、A 3 ）。 それからai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (a、i)。一方、ai = a 1 式5.14によると。 判明したのは、

(5.15) 1 = |a|cos (a、i)。

そして同様に、

あ 2 = |a|cos (a,j)、および 3 = |a|cos (a、k)。

ベクトル a が単位の場合、これら 3 つの等式は特に単純な形になります。

(5.16) あ 1 = cos (a、i)、あ 2 = cos (a、j)、あ 3 = cos (a、k)。

ベクトルと正規直交基底のベクトルによって形成される角度の余弦は、指定された基底におけるこのベクトルの方向余弦と呼ばれます。 式 5.16 が示すように、正規直交基底における単位ベクトルの座標は、その方向余弦に等しくなります。

5.15 から、次のことがわかります。 1 2 +a 2 2 +a 3 2 = |a| 2 (cos 2  (a,i)+cos 2  (a,j)+cos 2  (a、k))。 一方、 1 2 +a 2 2 +a 3 2 = |a| 2 。 判明したのは、

(5.17) 非ゼロベクトルの二乗方向余弦の合計は 1 に等しくなります。

この事実は、いくつかの問題を解決するのに役立ちます。

(5.18) 問題。 直方体の対角線は、2 つの辺が同じ頂点角 60 度から出ている形になります。 。 この頂点から出ている 3 番目のエッジとどのような角度を形成しますか?

 空間 V の正規直交基底を考えます。 3 、そのベクトルは、指定された頂点から出てくる平行六面体のエッジによって表されます。 対角ベクトルはこの基底の 2 つのベクトルと 60 の角度を形成するため、 、その 3 つの方向余弦のうち 2 つの二乗は cos に等しい 2 60  = 1/4。 したがって、3 番目の余弦の 2 乗は 1/2 であり、この余弦自体は 1/
。 したがって、必要な角度は 45 です . 