Un aereo ne ha uno comune. R3. Se due piani hanno un punto in comune, allora hanno una retta comune, sulla quale giacciono tutti i punti comuni di questi piani. La posizione relativa del piano e del punto

Assiomi della stereometria.

R1. Per tre punti qualsiasi che non giacciono su una data linea passa un piano, e uno solo;

Sl.1. Per una linea retta ed un punto non giacente su di essa passa un piano, e uno solo;

Sl.2. Un piano passa per due linee che si intersecano, e solo una;

Sl.3. Un piano passa per due rette parallele, e solo una.

A2.Se due punti di una retta giacciono su un piano, allora tutti i punti della retta giacciono su questo piano;

R3. Se due piani hanno un punto in comune, allora hanno una retta comune, sulla quale giacciono tutti i punti comuni di questi piani.

Figure fondamentali della stereometria- punti (A, B, C...), Dritto (a, b, c...), aereo ( …) , poliedri e corpi di rotazione.

Sotto piano di taglio Una figura tridimensionale sarà intesa come un piano, su entrambi i lati del quale sono presenti i punti di questa figura.

Dietro misura della distanza tra un punto, una retta ed un piano prenderemo la lunghezza della loro perpendicolare comune.

2. La posizione relativa delle linee nello spazio.

Nello spazio due linee possono essere paralleli, intersecati o incrociati.

1A	sicuramente Parallelo Le linee nello spazio sono linee che giacciono sullo stesso piano e non si intersecano. Secondo il successivo 3. Un piano passa per due rette parallele, e solo una.
1B		T1 (sulla transitività). Due rette parallele ad una terza sono parallele tra loro.
2A	Secondo il prossimo 2. Dopo due intersecanti un piano passa per rette, e solo una
3A	sicuramente Si chiamano due rette incrocio, se non giacciono sullo stesso piano.
	T2 (Segno di attraversamento delle linee). Se una delle due linee giace su un certo piano e l'altra linea interseca questo piano in un punto che non appartiene alla prima linea, tali linee sono inclinate.
3B		sicuramente Angolo tra le linee che si intersecano chiamato angolo tra rette parallele che si intersecano.
3B		sicuramente La perpendicolare comune di due linee oblique è un segmento che ha le estremità su queste linee ed è ad esse perpendicolare (distanza tra le linee che si incrociano).

1. La posizione relativa delle rette e dei piani nello spazio.

Nello spazio possono esserci una linea retta e un piano parallelo, intersecante o dritto può giacere interamente su un piano.

1A	sicuramente Dritto chiamato parallelo al piano, se è parallela a una qualsiasi retta giacente su questo piano.
1B		T3 (Segno di parallelismo tra una linea e un piano). Una retta che non giace su un piano è parallela al piano se è parallela a una retta che giace su questo piano.
2A	sicuramente Si chiama la retta perpendicolare al piano, se è perpendicolare a qualsiasi linea intersecante che giace su questo piano.
2B		T4 (un segno di perpendicolarità di una linea e di un piano) Se una linea che interseca un piano è perpendicolare a due linee qualsiasi che si intersecano giacenti su questo piano, allora è anche perpendicolare ad ogni terza linea giacente su questo piano.
2B		T5 (circa due linee parallele perpendicolari alla terza). Se una delle due rette parallele è perpendicolare a un piano, anche l'altra retta è perpendicolare a questo piano.
2G		sicuramente L'angolo tra una linea e un piano è l'angolo tra una data linea e la sua proiezione sul piano.
2D	Def. Si chiama qualunque altra retta, diversa dalla perpendicolare e che interseca un piano inclinato a questo piano (vedi figura sotto). sicuramente Proiezione di un piano inclinato chiamato segmento che collega la base della perpendicolare e quella inclinata. T6 (circa la lunghezza della perpendicolare e inclinata). 1) Una perpendicolare condotta ad un piano più corta di quella inclinata a questo piano; 2) A obliqui uguali corrispondono proiezioni uguali; 3) Dei due inclinati è maggiore quello la cui sporgenza è maggiore.
2E		T7 (circa tre perpendicolari). Una retta tracciata su un piano passante per la base di un piano inclinato perpendicolare alla sua proiezione è anche perpendicolare all'inclinato stesso. T8 (inversione). Una linea retta tracciata su un piano, passante per la base di un piano inclinato e perpendicolare ad esso, è anche perpendicolare alla proiezione del piano inclinato su questo piano.
3A		Per l'assioma 2. Se due punti di una retta giacciono su un piano, allora tutti i punti della retta giacciono su questo piano

1. Disposizione reciproca degli aerei nello spazio.

Nello spazio, gli aerei possono esserlo parallelo O attraverso.

1A	sicuramente Due aereo sono chiamati parallelo, se non si intersecano.
		T9 (un segno di piani paralleli). Se due rette che si intersecano di un piano sono rispettivamente parallele a due rette di un altro piano, allora questi piani sono paralleli.
1B		T 10 Se due piani paralleli sono intersecati da un terzo piano, allora le rette di intersezione sono parallele (proprietà dei piani paralleli 1).
1B		T 11 I segmenti di linee parallele racchiusi tra piani paralleli sono uguali (proprietà dei piani paralleli 2).
2A		Secondo l'assioma 3. Se due piani hanno un punto comune, allora hanno una linea comune su cui giacciono tutti i punti comuni di questi piani ( i piani si intersecano in linea retta).
2B		T12 (un segno di perpendicolarità dei piani). Se un piano passa per una linea perpendicolare ad un altro piano, questi piani sono perpendicolari.
2B		sicuramente Angolo diedroè una figura formata da due semipiani uscenti da una linea retta. Un piano perpendicolare allo spigolo di un angolo diedro interseca le sue facce lungo due raggi. L'angolo formato da questi raggi si chiama angolo lineare dell'angolo diedro. Dietro misura dell'angolo diedro si prende la misura dell'angolo lineare corrispondente.

Tre piani possono non avere un solo punto in comune (se almeno due di essi sono paralleli, e anche se le loro rette di intersezione sono parallele), possono avere un numero infinito di punti in comune (se passano tutti per una retta), oppure possono avere solo

un punto comune. Nel primo caso, il sistema di equazioni

non ha soluzioni, nella seconda ha innumerevoli soluzioni, nella terza ha una sola soluzione. Per la ricerca è più conveniente utilizzare i determinanti (§ 183, 190), ma è anche possibile ottenere utilizzando i mezzi dell'algebra elementare.

Esempio 1. Aerei

non hanno punti in comune, poiché i piani (1) e (2) sono paralleli (§ 125). Il sistema di equazioni è incoerente (le equazioni (1) e (2) si contraddicono a vicenda).

Esempio 2. Verifica se tre piani hanno punti in comune

Cerchiamo una soluzione al sistema (4)-(6). Eliminando 2 da (4) e (5), otteniamo. Eliminando 2 da (4) e (6), otteniamo. Queste due equazioni sono incoerenti. Ciò significa che i tre piani non hanno punti in comune. Poiché tra loro non ci sono piani paralleli, le tre linee lungo le quali i piani si intersecano a coppie sono parallele.

Esempio 3. Verifica se gli aerei hanno punti in comune

Procedendo come nell'esempio 2, otteniamo entrambi i tempi, cioè, appunto, non due, ma una equazione. Ha innumerevoli soluzioni. Ciò significa tre

I5 Qualunque siano i tre punti che non giacciono sulla stessa retta, per questi punti passa al massimo un piano.

I6 Se due punti A e B di una linea giacciono nel piano a, allora ogni punto della linea a giace nel piano a. (In questo caso diremo che la linea a giace nel piano a oppure che il piano a passa per la linea a.

I7 Se due piani aeb hanno un punto comune A, allora hanno almeno un altro punto comune B.

I8 Ci ​​sono almeno quattro punti che non giacciono sullo stesso piano.

Già da questi 8 assiomi si possono dedurre diversi teoremi di geometrie elementari, che sono chiaramente ovvi e, quindi, non sono dimostrati in un corso di geometria scolastica e sono addirittura talvolta, per ragioni logiche, inclusi negli assiomi dell'una o dell'altra scuola corso

Per esempio:

1. Due rette hanno al massimo un punto in comune.

2. Se due piani hanno un punto in comune, allora hanno una linea comune su cui giacciono tutti i punti comuni di questi due piani

Dimostrazione: (per mettersi in mostra):

Con I 7 $ B, che appartiene anche ad aeb, perché A,B "a, quindi secondo I 6 AB "b. Ciò significa che la retta AB è comune ai due piani.

3. Per una linea e un punto che non giace su di essa, nonché per due linee che si intersecano, passa uno e un solo piano.

4. Su ciascun piano ci sono tre punti che non giacciono sulla stessa linea.

COMMENTO: Usando questi assiomi puoi dimostrare alcuni teoremi e la maggior parte di essi sono semplicissimi. In particolare, è impossibile dimostrare da questi assiomi che l'insieme degli elementi geometrici sia infinito.

GRUPPO II Assiomi dell'ordine.

Se tre punti sono dati su una linea retta, allora uno di essi può essere correlato agli altri due in una relazione “si trovano tra”, che soddisfa i seguenti assiomi:

II1 Se B si trova tra A e C, allora A, B, C sono punti diversi della stessa retta e B si trova tra C e A.

II2 Qualunque siano i due punti A e B, esiste almeno un punto C sulla linea AB tale che B si trovi tra A e C.

II3 Tra tre punti qualsiasi di una linea ce n'è al più uno compreso tra gli altri due

Secondo Hilbert, per segmento AB(BA) intendiamo una coppia di punti A e B. I punti A e B sono chiamati estremi del segmento, e qualsiasi punto compreso tra i punti A e B è chiamato punto interno del segmento AB(BA).

COMMENTO: Ma da II 1-II 3 non consegue ancora che ogni segmento abbia punti interni, ma da II 2, Þ che il segmento abbia punti esterni.

II4 (Assioma di Pasqua) Siano A, B, C tre punti che non giacciono sulla stessa retta, e sia una retta nel piano ABC che non passi per nessuno dei punti A, B, C. Allora se una retta a passa per un punto del segmento AB, allora passa anche per un punto del segmento AC o BC.

Sl.1: Qualunque siano i punti A e C, esiste almeno un punto D sulla linea AC compresa tra A e C.

Documento: I 3 Þ$ cioè non giacente sulla retta AC

Sl.2. Se C si trova sul segmento AD e B tra A e C, allora B si trova tra A e D e C tra B e D.

Ora possiamo dimostrare due affermazioni

DC3 L'affermazione II 4 vale anche se i punti A, B e C giacciono sulla stessa retta.

E la cosa più interessante.

Livello 4 . Tra due punti qualsiasi su una linea c'è un numero infinito di altri punti (sé).

Tuttavia non è possibile stabilire che l’insieme dei punti su una retta non sia numerabile .

Gli assiomi dei gruppi I e II ci consentono di introdurre concetti importanti come semipiano, semiretta, semispazio e angolo. Per prima cosa dimostriamo il teorema.

Gi1. Una retta a giacente sul piano a divide l'insieme dei punti di questo piano che non giacciono sulla retta a in due sottoinsiemi non vuoti così che se i punti A e B appartengono allo stesso sottoinsieme, allora il segmento AB non ha comune punti con la linea a; se questi punti appartengono a sottoinsiemi diversi, allora il segmento AB ha un punto in comune con la retta a.

Idea: viene introdotta una relazione, cioè A e B Ï UN sono nella relazione Δ se il segmento AB non ha punti in comune con la retta UN oppure questi punti coincidono. Successivamente sono stati considerati gli insiemi di classi di equivalenza rispetto alla relazione Δ. È dimostrato che ce ne sono solo due utilizzando un ragionamento semplice.

Odr1 Ciascuno dei sottoinsiemi di punti definiti dal teorema precedente è chiamato semipiano con frontiera a.

Allo stesso modo possiamo introdurre i concetti di raggio e semispazio.

Ray- H, e la linea retta è .

Odr2 Un angolo è una coppia di raggi h e k che partono dallo stesso punto O e non giacciono sulla stessa retta. quindi O è chiamato vertice dell'angolo, e i raggi h e k sono i lati dell'angolo. Lo denotiamo nel solito modo: Ðhk.

Il punto M si dice punto interno dell'angolo hk se il punto M e il raggio k giacciono nello stesso semipiano con la frontiera e il punto M e il raggio k giacciono nello stesso semipiano con la frontiera. L’insieme dei punti interni si chiama regione interna di un angolo.

L'area esterna dell'angolo è un insieme infinito, perché tutti i punti di un segmento i cui estremi si trovano su lati diversi di un angolo sono interni. La seguente proprietà è spesso inclusa negli assiomi per ragioni metodologiche.

Proprietà: Se un raggio parte dal vertice di un angolo e passa per almeno un punto interno di questo angolo, allora interseca un segmento qualsiasi i cui estremi si trovano su lati diversi dell'angolo. (Autocostruzione)

GRUPPO III. Assiomi di congruenza (uguaglianza)

Su un insieme di segmenti e angoli viene introdotta una relazione di congruenza o uguaglianza (indicata con “=”), che soddisfa gli assiomi:

III 1 Se sono dati un segmento AB e un raggio uscente dal punto A /, allora $ t.B / appartenente a questo raggio, per cui AB = A / B / .

III 2 Se A / B / =AB e A // B // =AB, allora A / B / =A // B // .

III 3 Sia A-B-C, A / -B / -C / , AB=A / B / e BC=B / C / , quindi AC=A / C /

Odr3 Se O / è un punto, h / è un raggio che emana da questo punto, e l / è un semipiano con confine , allora il triplo di oggetti O / ,h / e l / è chiamato bandiera (O / ,h / ,l /).

III 4 Siano dati Ðhk e flag (О / ,h / ,l /). Allora nel semipiano l / esiste un unico raggio k / uscente dal punto O / tale che Ðhk = Ðh / k / .

III 5 Siano A, B e C tre punti che non giacciono sulla stessa retta. Se, in questo caso, AB = A / B / , AC = A / C / , ÐB / A / C / = ÐBAC, allora ÐABC = ÐA / B / C / .

1. Il punto B/B III 1 è l'unico su questa trave (proprio)

2. La relazione di congruenza dei segmenti è una relazione di equivalenza sull'insieme dei segmenti.

3. In un triangolo isoscele gli angoli alle basi sono uguali. (Secondo III 5).

4. Segni di uguaglianza dei triangoli.

5. La relazione di congruenza degli angoli è una relazione di equivalenza sull'insieme degli angoli. (Rapporto)

6. Un angolo esterno di un triangolo è maggiore di ciascun angolo del triangolo che non gli è adiacente.

7. In ogni triangolo l'angolo maggiore è opposto al lato maggiore.

8. Ogni segmento ha uno e un solo punto medio

9. Ogni angolo ha una e una sola bisettrice

Si possono introdurre i seguenti concetti:

Odr4 Un angolo uguale a quello adiacente si chiama angolo retto.

È possibile definire angoli verticali, perpendicolari e obliqui, ecc.

È possibile dimostrare l'unicità di ^. Puoi introdurre i concetti > e< для отрезков и углов:

Odr5 Se sono dati i segmenti AB e A / B / e $ t.C, cioè A / -C-B / e A / C = AB, allora A / B / >AB.

Odr6 Se sono dati due angoli Ðhk e Ðh / k /, e se per la regione interna Ðhk ed il suo vertice si può tracciare una semiretta l tale che Ðh / k / = Ðhl, allora Ðhk > Ðh / k / .

E la cosa più interessante è che con l'aiuto degli assiomi dei gruppi I-III si può introdurre il concetto di movimento (sovrapposizione).

È stato fatto qualcosa del genere:

Siano dati due insiemi di punti p e p / e supponiamo che tra i punti di questi insiemi si stabilisca una corrispondenza biunivoca. Ciascuna coppia di punti M e N dell'insieme p definisce un segmento MN. Siano M / e N / punti dell'insieme p / corrispondenti ai punti MN. Concordiamo di chiamare il segmento M / N / corrispondente al segmento MN.

Odr7 Se la corrispondenza tra p e p / è tale che i segmenti corrispondenti risultano sempre reciprocamente congruenti, allora imposta p e p / si dicono congruenti . Inoltre, dicono anche che ciascuno degli insiemi p e p / è ottenuto movimento da un altro o che uno di questi insiemi possa essere sovrapposto all'altro. I punti corrispondenti dell'insieme p e p / sono detti sovrapposti.

Approvazione1: I punti che giacciono su una retta, quando si muovono, si trasformano in punti che giacciono anch'essi su una certa retta.

Utv2 L'angolo tra due segmenti che connettono un punto di un insieme con i suoi altri due punti è congruente all'angolo tra i segmenti corrispondenti di un insieme congruente.

Puoi introdurre il concetto di rotazione, spostamento, composizione dei movimenti, ecc.

GRUPPO IV. Continuità degli assiomi E.

IV 1 (Assioma di Archimede). Siano AB e CD alcuni segmenti. Allora sulla retta AB esiste un insieme finito di punti A 1, A 2, ..., A n tali che siano soddisfatte le seguenti condizioni:

1. A-A 1 -A 2, A 1 -A 2 -A 3, ..., A n -2 -A n -1 -A n

2. AA 1 = UN 1 UN 2 = … = UN n-1 UN n = CD

3. A-B-An

IV2 (Assioma di Cantor) Sia data su una linea arbitraria a una sequenza infinita di segmenti A1B1, A2B2,..., di cui ciascuno successivo giace interno al precedente e, inoltre, per ogni segmento CD esiste un numero naturale n tale che AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.

Dalle condizioni dell'assioma di Cantor segue immediatamente che tale m.M è unico, perché se così non è, e sostantivo. ancora una t.N, poi il segmento MN

Si può dimostrare che gli assiomi I-III e IV 1 , IV 2 equivalgono alla seguente proposizione di Dedekind.

Il teorema di Dedekind Sia data una partizione dei punti del segmento [AB] in due classi K 1 e K 2, quelle K 1 È K 2 = [AB], K 1 ÇK 2 =Æ, che soddisfano due condizioni:

a) АОК 1, ВОК 2 e le classi K 1 e K 2 contengono punti diversi dai punti A e B.

b) Qualsiasi punto di classe K 1, diverso da A, si trova tra il punto A e qualsiasi punto di classe K 2

Allora $ t.M 0 del segmento [AB], tale che ogni punto compreso tra A e M 0 appartiene alla classe K 1, e qualsiasi punto compreso tra M 0 e B appartiene alla classe K 2.

Si chiama partizione del segmento [AB] nelle classi K 1, K 2 che soddisfano le condizioni a)-c). Sezione Dedekind . Si può dimostrare che il punto M 0 che genera la sezione è unico.

Sulla base degli assiomi dei gruppi I-IV, è possibile costruire una teoria sulla misurazione di segmenti e angoli. Si può anche dimostrare che $ è una biiezione. insieme di punti su una retta ad un insieme R numeri reali, l'ordine viene mantenuto. Ma è impossibile costruire una teoria delle aree e dei volumi, perché Avevo bisogno dell'assioma del parallelismo.

GRUPPO V. Assioma del parallelismo .

V. Sia a una linea arbitraria, e A un punto che non giace su questa linea. Allora nel piano definito dal punto A e dalla retta a esiste al più una retta passante per A e non intersecante a.

Basandosi su IV, si può costruire una teoria del parallelismo, della somiglianza, ecc. giustificare la trigonometria, introdurre le coordinate, dimostrare che una retta si trova su un piano (definizione di un'equazione di primo grado, ecc.)

COMMENTO: V * Sia a una retta arbitraria, A un punto non giacente sulla stessa retta, allora nel piano definito da t.A e dalla retta a vi sono almeno due rette passanti per A e non intersecanti a.

Gruppo I-IVÈV * - Viene costruita la geometria Lobachevskij.

Com'è possibile che, sostituendo un solo assioma, abbiamo ottenuto una geometria completamente diversa? Qui dovremo toccare i fondamenti stessi della matematica e le regole per costruire teorie matematiche.

Nella planimetria l'aereo è una delle figure principali, quindi è molto importante averne una chiara comprensione. Questo articolo è stato creato per trattare questo argomento. Innanzitutto viene fornito il concetto di piano, la sua rappresentazione grafica e vengono mostrate le designazioni dei piani. Successivamente si considera il piano insieme a un punto, una linea retta o un altro piano e le opzioni derivano dalla posizione relativa nello spazio. Nel secondo, terzo e quarto paragrafo dell'articolo vengono analizzate tutte le opzioni per la posizione relativa di due piani, una retta e un piano, nonché punti e piani, vengono forniti gli assiomi di base e le illustrazioni grafiche. In conclusione, vengono forniti i principali metodi per definire un piano nello spazio.

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Piano: concetti di base, simboli e immagini.

Le figure geometriche più semplici e fondamentali nello spazio tridimensionale sono un punto, una linea retta e un piano. Abbiamo già un'idea di un punto e di una linea su un piano. Se posizioniamo un piano su cui sono rappresentati punti e linee nello spazio tridimensionale, otteniamo punti e linee nello spazio. L'idea di un piano nello spazio ci permette di ottenere, ad esempio, la superficie di un tavolo o di una parete. Tuttavia, un tavolo o un muro hanno dimensioni finite e il piano si estende oltre i suoi confini fino all'infinito.

I punti e le linee nello spazio sono designati allo stesso modo di un piano, rispettivamente in lettere latine grandi e piccole. Ad esempio, i punti A e Q, le linee a e d. Se vengono dati due punti che giacciono su una linea, allora la linea può essere denotata con due lettere corrispondenti a questi punti. Ad esempio, la retta AB o BA passa per i punti A e B. Gli aerei sono solitamente indicati con lettere greche minuscole, ad esempio aerei o.

Quando si risolvono i problemi, diventa necessario rappresentare gli aerei in un disegno. Un piano è solitamente rappresentato come un parallelogramma o una regione chiusa semplice arbitraria.

Un piano viene solitamente considerato insieme a punti, linee rette o altri piani e si presentano varie opzioni per le loro posizioni relative. Passiamo alla loro descrizione.

La posizione relativa del piano e del punto.

Partiamo dall'assioma: ci sono punti su ogni piano. Da ciò segue la prima opzione per la posizione relativa del piano e del punto: il punto può appartenere al piano. In altre parole, un piano può passare per un punto. Per indicare che un punto appartiene ad un piano si usa il simbolo “”. Ad esempio, se l'aereo passa per il punto A, puoi scrivere brevemente .

Dovrebbe essere chiaro che su un dato piano nello spazio ci sono infiniti punti.

Il seguente assioma mostra quanti punti nello spazio devono essere segnati affinché definiscano un determinato piano: per tre punti che non giacciono sulla stessa linea passa un piano, e uno solo. Se si conoscono tre punti che giacciono su un piano, il piano può essere indicato con tre lettere corrispondenti a questi punti. Ad esempio, se un aereo passa attraverso i punti A, B e C, può essere designato ABC.

Formuliamo un altro assioma, che dà la seconda versione della posizione relativa del piano e del punto: ci sono almeno quattro punti che non giacciono sullo stesso piano. Quindi, un punto nello spazio potrebbe non appartenere al piano. Infatti, in virtù dell'assioma precedente, un piano passa per tre punti nello spazio, e il quarto punto può giacere o meno su questo piano. Quando scrivi brevemente, usa il simbolo “”, che equivale alla frase “non appartiene”.

Ad esempio, se il punto A non giace nel piano, utilizzare la notazione breve.

Retta e piano nello spazio.

Innanzitutto una linea retta può giacere su un piano. In questo caso almeno due punti di questa linea giacciono nel piano. Ciò è stabilito dall'assioma: se due punti di una linea giacciono su un piano, allora tutti i punti di questa linea giacciono sul piano. Per registrare brevemente l'appartenenza di una certa linea ad un dato piano, utilizzare il simbolo “”. Ad esempio, la notazione significa che la linea retta a giace nel piano.

In secondo luogo, una linea retta può intersecare un piano. In questo caso la retta e il piano hanno un unico punto in comune, che si chiama punto di intersezione della retta e del piano. Quando scrivo brevemente indico l'intersezione con il simbolo “”. Ad esempio, la notazione significa che la retta a interseca il piano nel punto M. Quando un piano interseca una certa linea retta, nasce il concetto di angolo tra la linea retta e il piano.

Separatamente, vale la pena concentrarsi sulla linea retta che interseca il piano ed è perpendicolare a qualsiasi linea retta giacente su questo piano. Tale retta si dice perpendicolare al piano. Per registrare brevemente la perpendicolarità utilizzare il simbolo “”. Per uno studio più approfondito della materia si può fare riferimento all'articolo perpendicolarità di una retta e di un piano.

Di particolare importanza nella risoluzione dei problemi relativi al piano è il cosiddetto vettore normale del piano. Un vettore normale di un piano è qualsiasi vettore diverso da zero che giace su una linea perpendicolare a questo piano.

In terzo luogo, una linea retta può essere parallela al piano, cioè può non avere punti in comune. Quando si scrive brevemente la concorrenza, utilizzare il simbolo "". Ad esempio, se la linea a è parallela al piano, allora possiamo scrivere . Ti consigliamo di studiare questo caso in modo più dettagliato facendo riferimento all'articolo parallelismo di una linea e di un piano.

Va detto che una retta giacente in un piano divide questo piano in due semipiani. La retta in questo caso si chiama confine dei semipiani. Due punti qualsiasi dello stesso semipiano giacciono sullo stesso lato di una linea, e due punti di semipiani diversi giacciono su lati opposti della linea di confine.

Disposizione reciproca degli aerei.

Due piani nello spazio possono coincidere. In questo caso hanno almeno tre punti in comune.

Due piani nello spazio possono intersecarsi. L'intersezione di due piani è una linea retta, stabilita dall'assioma: se due piani hanno un punto comune, allora hanno una linea retta comune su cui giacciono tutti i punti comuni di questi piani.

In questo caso sorge il concetto di angolo tra piani che si intersecano. Di particolare interesse è il caso in cui l'angolo tra i piani è di novanta gradi. Tali piani sono chiamati perpendicolari. Ne abbiamo parlato nell'articolo perpendicolarità dei piani.

Infine, due piani nello spazio possono essere paralleli, cioè non avere punti in comune. Ti consigliamo di leggere l'articolo Parallelismo dei piani per comprendere appieno questa opzione per la disposizione relativa dei piani.

Metodi per definire un piano.

Ora elencheremo i modi principali per definire un piano specifico nello spazio.

Innanzitutto un piano può essere definito fissando tre punti nello spazio che non giacciono sulla stessa retta. Questo metodo si basa sull'assioma: attraverso tre punti qualsiasi che non giacciono sulla stessa linea passa un unico piano.

Se un piano è fisso e specificato nello spazio tridimensionale indicando le coordinate dei suoi tre punti diversi che non giacciono sulla stessa retta, allora possiamo scrivere l'equazione del piano passante per i tre punti dati.

I due metodi successivi per definire un piano sono una conseguenza del precedente. Si basano sui corollari dell'assioma del piano passante per tre punti:

• un piano passa per una retta e un punto non giacente su di essa, e uno solo (vedi anche l'articolo equazione del piano passante per una retta e un punto);
• Per due rette che si intersecano passa un solo piano (ti consigliamo di leggere il materiale nell'articolo: equazione del piano che passa per due rette che si intersecano).

Il quarto modo per definire un piano nello spazio si basa sulla definizione di linee parallele. Ricordiamo che due rette nello spazio si dicono parallele se giacciono sullo stesso piano e non si intersecano. Pertanto, indicando due linee parallele nello spazio, determineremo l'unico piano in cui giacciono queste linee.

Se un piano è dato nel modo indicato nello spazio tridimensionale rispetto a un sistema di coordinate rettangolari, allora possiamo creare un'equazione per un piano che passa attraverso due linee parallele.

Nelle lezioni di geometria delle scuole superiori si dimostra il seguente teorema: per un punto fisso dello spazio passa un unico piano perpendicolare ad una data retta. Pertanto, possiamo definire un piano se specifichiamo il punto attraverso il quale passa e una linea ad esso perpendicolare.

Se un sistema di coordinate rettangolari è fissato nello spazio tridimensionale e un piano è specificato nel modo indicato, allora è possibile costruire un'equazione per un piano che passa per un dato punto perpendicolare a una data linea retta.

Invece di una linea perpendicolare al piano, puoi specificare uno dei vettori normali di questo piano. In questo caso è possibile scrivere