Funzioni generalizzate corrispondenti a forme quadratiche a coefficienti complessi. Equazioni differenziali omogenee del primo ordine Equazione omogenea generalizzata

Equazioni differenziali in funzioni generalizzate

Lascia che ci sia un'equazione. Se è una funzione ordinaria, allora la sua soluzione è una antiderivativa. Sia ora una funzione generalizzata.

Definizione. Una funzione generalizzata è chiamata funzione generalizzata primitiva se. Se è una funzione generalizzata singolare, allora ci sono casi possibili in cui la sua antiderivativa è una funzione generalizzata regolare. Ad esempio, un antiderivativo è; la primitiva è una funzione e la soluzione dell'equazione può essere scritta nella forma: , dove.

Esiste un'equazione lineare del -esimo ordine a coefficienti costanti

dove è una funzione generalizzata. Sia un polinomio differenziale del th ordine.

Definizione. Una soluzione generalizzata dell'equazione differenziale (8) è una funzione generalizzata per la quale vale la seguente relazione:

Se è una funzione continua, allora l'unica soluzione dell'equazione (8) è la soluzione classica.

Definizione. Una soluzione fondamentale dell'equazione (8) è qualsiasi funzione generalizzata tale che.

La funzione di Green è una soluzione fondamentale che soddisfa una condizione al contorno, iniziale o asintotica.

Teorema. Una soluzione dell'equazione (8) esiste e ha la forma:

a meno che non sia definita la convoluzione.

Prova. Veramente, . Secondo la proprietà di convoluzione segue: .

È facile vedere che la soluzione fondamentale di questa equazione è, poiché

Proprietà delle derivate generalizzate

L’operazione di differenziazione è lineare e continua da a:

dentro, se dentro;

Ogni funzione generalizzata è infinitamente differenziabile. In effetti, se, allora; a sua volta, ecc.;

Il risultato della differenziazione non dipende dall'ordine di differenziazione. Per esempio, ;

Se e, allora è valida la formula di Leibniz per la differenziazione di un prodotto. Per esempio, ;

Se è una funzione generalizzata, allora;

Se una serie composta da funzioni localmente integrabili converge uniformemente su ciascun insieme compatto, allora può essere differenziata termine per termine un numero qualsiasi di volte (come una funzione generalizzata) e la serie risultante convergerà.

Esempio. Permettere

La funzione è chiamata funzione Heaviside o funzione unitaria. È localmente integrabile e quindi può essere considerata una funzione generalizzata. Puoi trovare il suo derivato. Secondo la definizione, cioè .

Funzioni generalizzate corrispondenti a forme quadratiche a coefficienti complessi

Finora sono state considerate solo forme quadratiche a coefficienti reali. In questa sezione studiamo lo spazio di tutte le forme quadratiche a coefficienti complessi.

Il compito è determinare la funzione generalizzata, dove è un numero complesso. Tuttavia, nel caso generale non ci sarà una funzione analitica unica di. Pertanto, nello spazio di tutte le forme quadratiche, il "semipiano superiore" delle forme quadratiche con una parte immaginaria definita positiva viene isolato e per esse viene determinata una funzione. Vale a dire, se una forma quadratica appartiene a questo "semipiano", allora si presume che dove. Tale funzione è una funzione analitica unica di.

Possiamo ora associare la funzione ad una funzione generalizzata:

dove l'integrazione viene effettuata su tutto lo spazio. L'integrale (13) converge ed è una funzione analitica di in questo semipiano. Continuando analiticamente questa funzione, si determina il funzionale per altri valori.

Per le forme quadratiche con una parte immaginaria definita positiva, si trovano i punti singolari delle funzioni e si calcolano i residui di queste funzioni nei punti singolari.

La funzione generalizzata dipende analiticamente non solo, ma anche dai coefficienti della forma quadratica. Pertanto, è una funzione analitica nel “semipiano” superiore di tutte le forme quadratiche della forma in cui esiste una forma definita positiva. Di conseguenza, è determinato in modo univoco dai suoi valori sul “semiasse immaginario”, cioè sull’insieme delle forme quadratiche della forma, dove è una forma definita positiva.

Facendo clic sul pulsante "Scarica archivio", scaricherai il file di cui hai bisogno in modo completamente gratuito.
Prima di scaricare questo file, pensa a quei buoni saggi, test, tesine, dissertazioni, articoli e altri documenti che giacciono non reclamati sul tuo computer. Questo è il tuo lavoro, dovrebbe partecipare allo sviluppo della società e avvantaggiare le persone. Trova questi lavori e inviali alla knowledge base.
Noi e tutti gli studenti, dottorandi, giovani scienziati che utilizzano la base di conoscenza nei loro studi e nel loro lavoro vi saremo molto grati.

Per scaricare un archivio con un documento, inserisci un numero di cinque cifre nel campo sottostante e fai clic sul pulsante "Scarica archivio"

Documenti simili

Problemi di Cauchy per equazioni differenziali. Grafico della soluzione di un'equazione differenziale del primo ordine. Equazioni a variabili separabili e riduzione ad equazione omogenea. Equazioni lineari omogenee e disomogenee del primo ordine. Equazione di Bernoulli.

conferenza, aggiunta il 18/08/2012


Concetti di base della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Segno di un'equazione ai differenziali totali, costruzione di un integrale generale. I casi più semplici per trovare il fattore integrativo. Il caso di un moltiplicatore che dipende solo da X e solo da Y.

lavoro del corso, aggiunto il 24/12/2014


Caratteristiche delle equazioni differenziali come relazioni tra funzioni e loro derivate. Dimostrazione del teorema di esistenza e unicità della soluzione. Esempi e algoritmo per la risoluzione di equazioni alle derivate totali. Fattore integrativo negli esempi.

lavoro del corso, aggiunto il 02/11/2014


Equazioni differenziali di Riccati. Soluzione generale di un'equazione lineare. Trovare tutte le possibili soluzioni dell'equazione differenziale di Bernoulli. Risoluzione di equazioni a variabili separabili. Soluzioni generali e speciali dell'equazione differenziale di Clairaut.

lavoro del corso, aggiunto il 26/01/2015


Equazione con variabili separabili. Equazioni differenziali omogenee e lineari. Proprietà geometriche delle curve integrali. Differenziale completo di una funzione di due variabili. Determinazione dell'integrale con il metodo Bernoulli e variazioni di una costante arbitraria.

abstract, aggiunto il 24/08/2015


Concetti e soluzioni delle equazioni differenziali più semplici e delle equazioni differenziali di ordine arbitrario, comprese quelle a coefficienti analitici costanti. Sistemi di equazioni lineari. Comportamento asintotico delle soluzioni di alcuni sistemi lineari.

tesi, aggiunta il 06/10/2010


Integrale generale di un'equazione, applicazione del metodo di Lagrange per la risoluzione di un'equazione lineare disomogenea con funzione incognita. Risoluzione di un'equazione differenziale in forma parametrica. Condizione di Eulero, equazione del primo ordine ai differenziali totali.

test, aggiunto il 02/11/2011

Equazioni differenziali del 1° ordine a variabili separabili.

Definizione. Un'equazione differenziale con variabili separabili è un'equazione della forma (3.1) o un'equazione della forma (3.2)

Per separare le variabili nell'equazione (3.1), cioè ridurre questa equazione alla cosiddetta equazione a variabili separate, procedere come segue: ;

Ora dobbiamo risolvere l'equazione g(y)= 0. Se ha una soluzione reale sì=a, Quello sì=a sarà anche una soluzione dell'equazione (3.1).

L'equazione (3.2) si riduce ad un'equazione separata dividendo per il prodotto:

, che permette di ottenere l’integrale generale dell’equazione (3.2): . (3.3)

Le curve integrali (3.3) saranno integrate con soluzioni , se tali soluzioni esistono.

Equazioni differenziali omogenee del 1° ordine.

Definizione 1. Un'equazione del primo ordine si dice omogenea se il suo secondo membro soddisfa la relazione , detta condizione di omogeneità di una funzione di due variabili di dimensione zero.

Esempio 1. Mostrare che la funzione è omogenea di dimensione zero.

Soluzione. ,

Q.E.D.

Teorema. Qualsiasi funzione è omogenea e, viceversa, qualsiasi funzione omogenea di dimensione zero è ridotta alla forma .

Prova. La prima affermazione del teorema è ovvia, perché . Dimostriamo la seconda affermazione. Poniamo allora una funzione omogenea , che era ciò che doveva essere dimostrato.

Definizione 2. Equazione (4.1) in cui M E N– funzioni omogenee dello stesso grado, cioè hanno la proprietà per tutti, detta omogenea. Ovviamente questa equazione può sempre essere ridotta alla forma (4.2), anche se ciò potrebbe non essere necessario per risolverla. Un'equazione omogenea si riduce ad un'equazione con variabili separabili sostituendo la funzione desiderata sì secondo la formula y=zx, Dove z(x)– nuova funzione richiesta. Avendo effettuato questa sostituzione nell'equazione (4.2), otteniamo: o o .

Integrando si ottiene l'integrale generale dell'equazione rispetto alla funzione z(x) , che dopo ripetute sostituzioni fornisce l'integrale generale dell'equazione originale. Inoltre, se sono le radici dell'equazione, allora le funzioni sono soluzioni di un'equazione data omogenea. Se , allora l'equazione (4.2) assume la forma

E diventa un'equazione con variabili separabili. Le sue soluzioni sono semi-dirette: .

Commento. A volte è consigliabile utilizzare la sostituzione invece della sostituzione di cui sopra x=zy.

Equazione omogenea generalizzata.

L'equazione M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 si dice omogeneo generalizzato se è possibile selezionare tale numero K, che il lato sinistro di questa equazione diventa una funzione omogenea di un certo grado M relativamente x, y, dx E dy purché Xè considerato il valore della prima dimensione, sì – K- th misurazioni ,dx E dy – rispettivamente zero e (k-1) th misurazioni. Ad esempio, questa sarebbe l'equazione . (6.1) Valido in base alle ipotesi fatte riguardo alle misurazioni x, y, dx E dy membri del lato sinistro e dy avrà dimensioni -2, 2 rispettivamente K E K-1. Uguagliandoli, otteniamo una condizione che il numero richiesto deve soddisfare K: -2 = 2K=K-1. Questa condizione è soddisfatta quando K= -1 (con questo K tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione in esame avranno dimensione -2). Di conseguenza, l'equazione (6.1) è generalizzata omogenea.

Viene mostrato come riconoscere un'equazione differenziale omogenea generalizzata. Viene considerato un metodo per risolvere un'equazione differenziale omogenea generalizzata del primo ordine. Viene fornito un esempio di soluzione dettagliata di tale equazione.

Contenuto

Definizione

Un'equazione differenziale omogenea generalizzata del primo ordine è un'equazione della forma:
, dove α ≠ 0 , α ≠ 1 , f - funzione.

Come determinare se un'equazione differenziale è generalizzata omogenea

Per determinare se un'equazione differenziale è generalizzata omogenea, è necessario introdurre una costante t ed effettuare la sostituzione:
y → tα · y , x → t · x .
Se è possibile scegliere un valore α al quale la costante t diminuisce, allora questo è - Equazione differenziale omogenea generalizzata. La variazione della derivata y′ con questa sostituzione ha la forma:
.

Esempio

Determinare se l'equazione data è generalizzata omogenea:
.

Effettuiamo la sostituzione y → t α y, x → t x, y′ → t α- 1 anno:
;
.
Dividere per tα+ 5 :
;
.
L'equazione non conterrà t if
4α - 6 = 0, α = 3/2 .
Da quando α = 3/2 , t è diminuito, quindi questa è un'equazione omogenea generalizzata.

Metodo risolutivo

Consideriamo l'equazione differenziale omogenea generalizzata del primo ordine:
(1) .
Mostriamo che si riduce a un'equazione omogenea mediante sostituzione:
t = xα .
Veramente,
.
Da qui
; .
(1) :
;
.

Questa è un'equazione omogenea. Si può risolvere con la sostituzione:
y = zt,
dove z è una funzione di t.
Quando si risolvono i problemi, è più semplice utilizzare immediatamente la sostituzione:
y = z x α,
dove z è una funzione di x.

Un esempio di risoluzione di un'equazione differenziale omogenea generalizzata del primo ordine

Risolvere l'equazione differenziale
(P.1) .

Controlliamo se questa equazione è generalizzata omogenea. Per farlo (P.1) effettuare una sostituzione:
y → tα y , x → t x , y′ → t α- 1 anno.
.
Dividere per tα:
.
t verrà cancellato se poniamo α = - 1 . Ciò significa che questa è un'equazione omogenea generalizzata.

Facciamo una sostituzione:
y = z x α = z x - 1 ,
dove z è una funzione di x.
.
Sostituisci nell'equazione originale (P.1):
(P.1) ;
;
.
Moltiplicare per x e aprire le parentesi:
;
;
.
Separiamo le variabili: moltiplichiamo per dx e dividiamo per x z 2 . Quando z ≠ 0 abbiamo:
.
Integriamo utilizzando la tabella degli integrali:
;
;
;
.
Potenziamo:
.
Sostituiamo la costante e C → C e togliamo il segno del modulo, poiché la scelta del segno desiderato è determinata dalla scelta del segno della costante C:
.

Torniamo alla variabile y. Sostituisci z = xy:
.
Dividi per x:
(P.2) .

Quando abbiamo diviso per z 2 , abbiamo assunto che z ≠ 0 . Consideriamo ora la soluzione z = xy = 0 , o y = 0 .
Da quando y = 0 , lato sinistro dell'espressione (P.2) non è definito, allora all'integrale generale risultante aggiungiamo la soluzione y = 0 .

;
.

Riferimenti:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Raccolta di problemi di matematica superiore, “Lan”, 2003.

def 1 Tipo DU

chiamato Equazioni differenziali omogenee del primo ordine(ODU).

Gi 1 Lasciamo che siano soddisfatte le seguenti condizioni per la funzione:

1) continuo a

Allora ODE (1) ha un integrale generale, che è dato dalla formula:

dove c'è una primitiva della funzione Conè una costante arbitraria.

Nota 1 Se per alcuni la condizione è soddisfatta, nel processo di risoluzione dell'ODE (1) le soluzioni del modulo potrebbero andare perse; tali casi devono essere trattati con più attenzione e ciascuno di essi deve essere controllato separatamente.

Quindi dal teorema Gi1 Dovrebbe algoritmo generale per la risoluzione dell'ODE (1):

1) Effettua una sostituzione:

2) Si otterrà così un'equazione differenziale a variabili separabili, che andrà integrata;

3) Ritorno alle vecchie variabili g;

4) Controllare i valori per il loro coinvolgimento nella soluzione telecomando originale, in base al quale la condizione sarà soddisfatta

5) Scrivi la risposta.

Esempio 1 Risolvi DE (4).

Soluzione: DE (4) è un'equazione differenziale omogenea, poiché ha la forma (1). Facciamo una modifica (3), questo porterà l'equazione (4) nella forma:

L'equazione (5) è l'integrale generale di DE (4).

Si noti che quando si separano le variabili e si divide per, le soluzioni potrebbero andare perse, ma questa non è una soluzione per DE (4), che può essere facilmente verificata mediante sostituzione diretta nell'uguaglianza (4), poiché questo valore non è incluso nel dominio di definizione dell'originale DE.

Risposta:

Nota 2 A volte puoi scrivere ODE in termini di differenziali di variabili X E tu. Si consiglia di passare da questa notazione del telecomando all'espressione tramite la derivata e solo successivamente effettuare la sostituzione (3).

Equazioni differenziali ridotte a omogenee.

def 2 La funzione viene chiamata funzione omogenea di grado k nella zona, per il quale l'uguaglianza sarà soddisfatta:

Ecco i tipi più comuni di equazioni differenziali che possono essere ridotte alla forma (1) dopo varie trasformazioni.

1) dov'è la funzione è omogeneo, grado zero, cioè vale l'uguaglianza: DE (6) si riduce facilmente alla forma (1), se poniamo , che viene ulteriormente integrata utilizzando la sostituzione (3).

2) (7), dove le funzioni sono omogenee dello stesso grado K . Anche DE della forma (7) viene integrata utilizzando la sostituzione (3).

Esempio 2 Risolvi DE (8).

Soluzione: Mostriamo che DE (8) è omogeneo. Dividiamo per ciò che è possibile, poiché non è una soluzione a DE (8).

Facciamo una modifica (3), questo porterà l'equazione (9) nella forma:

L'equazione (10) è l'integrale generale di DE (8).

Si noti che quando si separano le variabili e si divide per, le soluzioni corrispondenti ai valori di e potrebbero andare perse. Controlliamo queste espressioni. Sostituiamoli in DE (8):

Risposta:

È interessante notare che risolvendo questo esempio appare una funzione chiamata “segno” del numero X(si legge" segno x"), definito dall'espressione:

Nota 3 Non è necessario ridurre il DE (6) o (7) alla forma (1); se è evidente che il DE è omogeneo, allora si può immediatamente effettuare la sostituzione

3) Un DE della forma (11) viene integrato come ODE se , e la sostituzione viene inizialmente eseguita:

(12), dove è la soluzione del sistema: (13), quindi utilizzare la sostituzione (3) per la funzione. Dopo aver ricevuto l'integrale generale, ritornano alle variabili X E A.

Se , quindi, assumendo nell'equazione (11), otteniamo un'equazione differenziale con variabili separabili.

Esempio 3 Risolvere il problema di Cauchy (14).

Soluzione: Mostriamo che la DE (14) è ridotta a una DE omogenea e integrata secondo lo schema sopra riportato:

Risolviamo il sistema disomogeneo di equazioni algebriche lineari (15) utilizzando il metodo Cramer:

Facciamo un cambio di variabili e integriamo l'equazione risultante:

(16) – Integrale generale di DE (14). Separando le variabili, le soluzioni potrebbero andare perse dividendo per un'espressione, che potrebbe essere ottenuta esplicitamente dopo aver risolto l'equazione quadratica. Tuttavia, sono presi in considerazione nell'integrale generale (16) a

Troviamo una soluzione al problema di Cauchy: sostituiamo i valori e nell'integrale generale (16) e troviamo Con.

Pertanto l’integrale parziale sarà dato dalla formula:

Risposta:

4) È possibile ridurre alcune equazioni differenziali a equazioni omogenee per una nuova funzione ancora sconosciuta se applichiamo una sostituzione della forma:

In questo caso il numero M viene selezionato a condizione che l'equazione risultante, se possibile, diventi omogenea in una certa misura. Tuttavia, se ciò non può essere fatto, allora l'ED in esame non può essere ridotto in questo modo a uno omogeneo.

Esempio 4 Risolvi DE. (18)

Soluzione: Mostriamo che DE (18) è ridotto a un DE omogeneo utilizzando la sostituzione (17) e viene ulteriormente integrato utilizzando la sostituzione (3):

Cerchiamo Con:

Pertanto, una soluzione particolare di DE (24) ha la forma